[go: up one dir, main page]

Jump to content

Metoda e koeficientëve të pacaktuar

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë

matematikë, metoda e koeficientëve të pacaktuar është një qasje për të gjetur një zgjidhje të veçantë për disa ekuacione diferenciale jo-homogjene të zakonshme dhe marrëdhëniet e rekurencës . Është e lidhur ngushtë me metodën e asgjësuesit, por në vend që të përdoret një lloj i veçantë operatori diferencial (asgjësuesi) për të gjetur formën më të mirë të mundshme të zgjidhjes së caktuar, bëhet një ansatz ose 'supozim' për formën e duhur, i cili më pas testohet duke diferencuar ekuacionin që rezulton. Për ekuacionet komplekse, metoda e asgjësuesit ose ndryshimi i parametrave kërkon më pak kohë për t'u kryer.

Përshkrimi i metodës

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Konsideroni një ekuacion diferencial të zakonshëm jo-homogjen linear të formës

ku tregon derivatin i-të të , dhe tregojnë një funksion të .

Metoda e koeficientëve të pacaktuar ofron një metodë të drejtpërdrejtë për marrjen e zgjidhjes për këtë EDZ kur plotësohen dy kritere: [1]

  1. janë konstante.
  2. është një funksion konstant, një funksion polinomial, funksion eksponencial , funksionet e sinusit ose kosinusit ose , ose shuma dhe produkte të fundme të këtyre funksioneve ( , konstante).

Metoda konsiston në gjetjen e zgjidhjes së përgjithshme homogjene për ekuacionin diferencial homogjen linear plotësues

dhe një integral të veçantë të EDZ jo-homogjen linear bazuar në . Pastaj zgjidhja e përgjithshme të EDZ jo-homogjen linear do të ishte

[2]

Nëse jepet si shuma e dy funksioneve dhe thuhet se është zgjidhja e bazuar në dhe zgjidhja e bazuar në . Pastaj, duke përdorur parimin e mbivendosjes, mund të themi se integrali i veçantë është [2]

Format tipike të integralit të veçantë

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Funksioni i x Trajta për y

Gjeni një integral të caktuar të ekuacionit

Ana e djathtë ka formën

me .

Meqenëse është një rrënjë e thjeshtë e ekuacionit karakteristik

duhet të provojmë një integral të veçantë të formës

Duke zëvendësuar në ekuacionin diferencial, kemi identitetin

Duke krahasuar të dyja palët, kemi

e cila ka zgjidhjen

Pastaj marrim një integral të veçantë

Merrni parasysh ekuacionin diferencial linear johomogjen të mëposhtëm:


Ky është si shembulli i parë i mësipërm, përveç se pjesa johomogjene ( ) nuk është linearisht e pavarur nga zgjidhja e përgjithshme e pjesës homogjene ( ); si rezultat, ne duhet të shumëzojmë supozimin tonë me një fuqi mjaftueshëm të madhe prej x për ta bërë atë linearisht të pavarur.

Këtu supozimi ynë bëhet:

Duke zëvendësuar këtë funksion dhe derivatin e tij në ekuacionin diferencial, mund të zgjidhet për A :

Pra, zgjidhja e përgjithshme për këtë ekuacion diferencial është:

Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit:

është një polinom i shkallës së dytë, kështu që ne kërkojmë një zgjidhje duke përdorur të njëjtën formë,

Futja e këtij funksioni të veçantë në ekuacionin origjinal jep,

e cila jep:

Duke zgjedhur konstantet marrim:

Për të zgjidhur për zgjidhjen e përgjithshme,

ku është zgjidhja homogjene Prandaj, zgjidhja e përgjithshme është:

  1. ^ Zill, Dennis G., Warren S. Wright (2014). Advanced Engineering Mathematics. Jones and Bartlett. fq. 125. ISBN 978-1-4496-7977-4. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Emra të shumëfishtë: lista e autorëve (lidhja)
  2. ^ a b Dennis G. Zill (14 maj 2008). A First Course in Differential Equations. Cengage Learning. ISBN 978-0-495-10824-5. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name "Zill2008" defined multiple times with different content