Metoda e koeficientëve të pacaktuar

Në matematikë, metoda e koeficientëve të pacaktuar është një qasje për të gjetur një zgjidhje të veçantë për disa ekuacione diferenciale jo-homogjene të zakonshme dhe marrëdhëniet e rekurencës . Është e lidhur ngushtë me metodën e asgjësuesit, por në vend që të përdoret një lloj i veçantë operatori diferencial (asgjësuesi) për të gjetur formën më të mirë të mundshme të zgjidhjes së caktuar, bëhet një ansatz ose 'supozim' për formën e duhur, i cili më pas testohet duke diferencuar ekuacionin që rezulton. Për ekuacionet komplekse, metoda e asgjësuesit ose ndryshimi i parametrave kërkon më pak kohë për t'u kryer.

Konsideroni një ekuacion diferencial të zakonshëm jo-homogjen linear të formës

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)}=g(x)}$

ku ${\displaystyle y^{(i)}}$ tregon derivatin i-të të ${\displaystyle y}$, dhe ${\displaystyle c_{i}}$ tregojnë një funksion të ${\displaystyle x}$ .

Metoda e koeficientëve të pacaktuar ofron një metodë të drejtpërdrejtë për marrjen e zgjidhjes për këtë EDZ kur plotësohen dy kritere: ^[1]

1. ${\displaystyle c_{i}}$ janë konstante.
2. ${\displaystyle g(x)}$ është një funksion konstant, një funksion polinomial, funksion eksponencial ${\displaystyle e^{\alpha x}}$, funksionet e sinusit ose kosinusit ${\displaystyle \sin {\beta x}}$ ose ${\displaystyle \cos {\beta x}}$, ose shuma dhe produkte të fundme të këtyre funksioneve ( ${\displaystyle {\alpha }}$, ${\displaystyle {\beta }}$ konstante).

Metoda konsiston në gjetjen e zgjidhjes së përgjithshme homogjene ${\displaystyle y_{c}}$ për ekuacionin diferencial homogjen linear plotësues

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)}=0,}$

dhe një integral të veçantë ${\displaystyle y_{p}}$ të EDZ jo-homogjen linear bazuar në ${\displaystyle g(x)}$ . Pastaj zgjidhja e përgjithshme ${\displaystyle y}$ të EDZ jo-homogjen linear do të ishte

${\displaystyle y=y_{c}+y_{p}.}$ ^[2]

Nëse ${\displaystyle g(x)}$ jepet si shuma e dy funksioneve ${\displaystyle h(x)+w(x)}$ dhe thuhet se ${\displaystyle y_{p_{1}}}$ është zgjidhja e bazuar në ${\displaystyle h(x)}$ dhe ${\displaystyle y_{p_{2}}}$ zgjidhja e bazuar në ${\displaystyle w(x)}$ . Pastaj, duke përdorur parimin e mbivendosjes, mund të themi se integrali i veçantë ${\displaystyle y_{p}}$ është ^[2]

${\displaystyle y_{p}=y_{p_{1}}+y_{p_{2}}.}$

Funksioni i x	Trajta për y
${\displaystyle ke^{ax}\!}$	${\displaystyle Ce^{ax}\!}$
${\displaystyle kx^{n},\;n=0,1,2,\ldots \!}$	${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}K_{i}x^{i}\!}$
${\displaystyle k\cos(ax){\text{ or }}k\sin(ax)\!}$	${\displaystyle K\cos(ax)+M\sin(ax)\!}$
${\displaystyle ke^{ax}\cos(bx){\text{ or }}ke^{ax}\sin(bx)\!}$	${\displaystyle e^{ax}(K\cos(bx)+M\sin(bx))\!}$
${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}k_{i}x^{i}\right)\cos(bx){\text{ or }}\ \left(\sum _{i=0}^{n}k_{i}x^{i}\right)\sin(bx)\!}$	${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}Q_{i}x^{i}\right)\cos(bx)+\left(\sum _{i=0}^{n}R_{i}x^{i}\right)\sin(bx)}$
${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}k_{i}x^{i}\right)e^{ax}\cos(bx){\text{ or }}\left(\sum _{i=0}^{n}k_{i}x^{i}\right)e^{ax}\sin(bx)\!}$	${\displaystyle e^{ax}\left(\left(\sum _{i=0}^{n}Q_{i}x^{i}\right)\cos(bx)+\left(\sum _{i=0}^{n}R_{i}x^{i}\right)\sin(bx)\right)}$

Gjeni një integral të caktuar të ekuacionit

${\displaystyle y''+y=t\cos t.}$

Ana e djathtë ${\displaystyle t\cos t}$ ka formën

${\displaystyle P_{n}e^{\alpha t}\cos {\beta t}}$

me ${\displaystyle n=2,{\text{ , }}\alpha =0{\text{ , }}\beta =1}$.

Meqenëse ${\displaystyle \alpha +i\beta =i}$ është një rrënjë e thjeshtë e ekuacionit karakteristik

${\displaystyle \lambda ^{2}+1=0}$

duhet të provojmë një integral të veçantë të formës

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{p}&=t\left[F_{1}(t)e^{\alpha t}\cos {\beta t}+G_{1}(t)e^{\alpha t}\sin {\beta t}\right]\\&=t\left[F_{1}(t)\cos t+G_{1}(t)\sin t\right]\\&=t\left[\left(A_{0}t+A_{1}\right)\cos t+\left(B_{0}t+B_{1}\right)\sin t\right]\\&=\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\right)\cos t+\left(B_{0}t^{2}+B_{1}t\right)\sin t.\end{aligned}}}$

Duke zëvendësuar ${\displaystyle y_{p}}$ në ekuacionin diferencial, kemi identitetin

${\displaystyle {\begin{aligned}t\cos t&=y_{p}''+y_{p}\\&=\left[\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\right)\cos t+\left(B_{0}t^{2}+B_{1}t\right)\sin t\right]''+\left[\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\right)\cos t+\left(B_{0}t^{2}+B_{1}t\right)\sin t\right]\\&=\left[2A_{0}\cos t+2\left(2A_{0}t+A_{1}\right)(-\sin t)+\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\right)(-\cos t)+2B_{0}\sin t+2\left(2B_{0}t+B_{1}\right)\cos t+\left(B_{0}t^{2}+B_{1}t\right)(-\sin t)\right]\\&\qquad +\left[\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\right)\cos t+\left(B_{0}t^{2}+B_{1}t\right)\sin t\right]\\&=[4B_{0}t+(2A_{0}+2B_{1})]\cos t+[-4A_{0}t+(-2A_{1}+2B_{0})]\sin t.\end{aligned}}}$

Duke krahasuar të dyja palët, kemi

${\displaystyle {\begin{cases}1=4B_{0}\\0=2A_{0}+2B_{1}\\0=-4A_{0}\\0=-2A_{1}+2B_{0}\end{cases}}}$

e cila ka zgjidhjen

${\displaystyle A_{0}=0,\quad A_{1}=B_{0}={\frac {1}{4}},\quad B_{1}=0.}$

Pastaj marrim një integral të veçantë

${\displaystyle y_{p}={\frac {1}{4}}t\cos t+{\frac {1}{4}}t^{2}\sin t.}$

Merrni parasysh ekuacionin diferencial linear johomogjen të mëposhtëm:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y+e^{x}.}$

Ky është si shembulli i parë i mësipërm, përveç se pjesa johomogjene ( ${\displaystyle e^{x}}$ ) nuk është linearisht e pavarur nga zgjidhja e përgjithshme e pjesës homogjene ( ${\displaystyle c_{1}e^{x}}$ ); si rezultat, ne duhet të shumëzojmë supozimin tonë me një fuqi mjaftueshëm të madhe prej x për ta bërë atë linearisht të pavarur.

Këtu supozimi ynë bëhet:

${\displaystyle y_{p}=Axe^{x}.}$

Duke zëvendësuar këtë funksion dhe derivatin e tij në ekuacionin diferencial, mund të zgjidhet për A :

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(Axe^{x}\right)=Axe^{x}+e^{x}}$

${\displaystyle Axe^{x}+Ae^{x}=Axe^{x}+e^{x}}$

${\displaystyle A=1.}$

Pra, zgjidhja e përgjithshme për këtë ekuacion diferencial është:

${\displaystyle y=c_{1}e^{x}+xe^{x}.}$

Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=t^{2}-y}$

${\displaystyle t^{2}}$ është një polinom i shkallës së dytë, kështu që ne kërkojmë një zgjidhje duke përdorur të njëjtën formë,

${\displaystyle y_{p}=At^{2}+Bt+C,}$

Futja e këtij funksioni të veçantë në ekuacionin origjinal jep,

${\displaystyle 2At+B=t^{2}-(At^{2}+Bt+C),}$

${\displaystyle 2At+B=(1-A)t^{2}-Bt-C,}$

${\displaystyle (A-1)t^{2}+(2A+B)t+(B+C)=0.}$

e cila jep:

${\displaystyle A-1=0,\quad 2A+B=0,\quad B+C=0.}$

Duke zgjedhur konstantet marrim:

${\displaystyle y_{p}=t^{2}-2t+2}$

Për të zgjidhur për zgjidhjen e përgjithshme,

${\displaystyle y=y_{p}+y_{c}}$

ku ${\displaystyle y_{c}}$ është zgjidhja homogjene ${\displaystyle y_{c}=c_{1}e^{-t}}$ Prandaj, zgjidhja e përgjithshme është:

${\displaystyle y=t^{2}-2t+2+c_{1}e^{-t}}$

1. ^ Zill, Dennis G., Warren S. Wright (2014). Advanced Engineering Mathematics. Jones and Bartlett. fq. 125. ISBN 978-1-4496-7977-4. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Emra të shumëfishtë: lista e autorëve (lidhja)
2. ^ ^{a b} Dennis G. Zill (14 maj 2008). A First Course in Differential Equations. Cengage Learning. ISBN 978-0-495-10824-5. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name "Zill2008" defined multiple times with different content