Efekti i fluturës

Në teorinë e kaosit, efekti i fluturës është varësia e ndjeshme nga kushtet fillestare në të cilat një ndryshim i vogël në një gjendje të një sistemi jolinear determinist mund të rezultojë në ndryshime të mëdha në një gjendje të mëvonshme.

Termi është i lidhur ngushtë me punën e matematikanit dhe meteorologut Edward Norton Lorenz. Ai vuri në dukje se efekti i fluturës rrjedh nga shembulli metaforik i detajeve të një tornadoje (koha e saktë e formimit, rruga e saktë e ndjekur) duke u ndikuar nga shqetësime të vogla si një flutur e largët që përplas krahët disa javë më parë. Lorenz fillimisht përdori një pulëbardhë që shkaktonte një stuhi, por u bind ta bënte atë më poetik me përdorimin e një fluture dhe tornado deri në vitin 1972. ^{[1] [2]} Ai e zbuloi efektin kur vëzhgoi modelin e tij të motit me të dhënat e gjendjes fillestare që ishin rrumbullakosur në një mënyrë në dukje të parëndësishme. Ai vuri në dukje se modeli i motit do të dështonte të riprodhonte rezultatet e vrapimeve me të dhënat e gjendjes fillestare të pakontrolluara. Një ndryshim shumë i vogël në kushtet fillestare kishte krijuar një rezultat dukshëm të ndryshëm. ^[3]

Ideja se shkaqet e vogla mund të kenë efekte të mëdha në mot u pranua më herët nga matematikani dhe inxhinieri francez Henri Poincaré. Matematikani dhe filozofi amerikan Norbert Wiener gjithashtu kontribuoi në këtë teori. Puna e Lorenz-it vendosi konceptin e paqëndrueshmërisë së atmosferës së Tokës në një bazë sasiore dhe e lidhi konceptin e paqëndrueshmërisë me vetitë e klasave të mëdha të sistemeve dinamike të cilat janë duke kaluar nëpër dinamika jolineare dhe kaos determinist.

Koncepti i efektit flutur është përdorur që atëherë jashtë kontekstit të shkencës së motit si një term i gjerë për çdo situatë ku një ndryshim i vogël supozohet të jetë shkaku i pasojave më të mëdha.

Në The Vocation of Man (1800), Johann Gottlieb Fichte thotë "nuk mund të hiqni një kokërr të vetme rëre nga vendi i saj pa ... ndryshuar diçka në të gjitha pjesët e tërësisë së pamat".

Teoria e kaosit dhe varësia e ndjeshme nga kushtet fillestare u përshkruan në forma të shumta të literaturës. Kjo dëshmohet nga rasti i problemit me tre trupa nga Poincaré në 1890. Më vonë ai propozoi se fenomene të tilla mund të ishin të zakonshme, për shembull, në meteorologji. ^[4]

Në 1898, Jacques Hadamard vuri në dukje divergjencën e përgjithshme të trajektoreve në hapësirat e lakimit negativ. Pierre Duhem diskutoi rëndësinë e përgjithshme të mundshme të kësaj në 1908.

Në vitin 1950, Alan Turing vuri në dukje: "Zhvendosja e një elektroni të vetëm me një të miliardën e centimetrit në një moment mund të bëjë dallimin midis një njeriu që vritet nga një ortek një vit më vonë, ose arratiset". ^[5]

Ideja se vdekja e një fluture mund të ketë përfundimisht një efekt valëzues të gjerë në ngjarjet e mëvonshme historike u shfaq më herët në "A Sound of Thunder", një tregim i shkurtër i vitit 1952 nga Ray Bradbury. "A Sound of Thunder" paraqet udhëtim në kohë. ^[6]

Megjithatë, më saktë, pothuajse ideja e saktë dhe formulimi i saktë - i një krahu të vogël insekti që ndikon në të gjithë erërat e atmosferës - u botua në një libër për fëmijë, i cili u bë jashtëzakonisht i suksesshëm dhe i njohur globalisht në vitin 1962, një vit përpara se Lorenz të botonte:

"...çfarëdo që të bëjmë ndikon në gjithçka dhe të gjithë të tjerët, qoftë edhe në mënyrën më të vogël. Pse, kur një mizë shtëpie përplas krahët, një erë rrotullohet nëpër botë." -- Princesha e arsyes së pastër

— Norton Juster, The Phantom Tollbooth

Në vitin 1961, Lorenz po ekzekutonte një model kompjuterik numerik për të ribërë një parashikim të motit nga mesi i ekzekutimit të mëparshëm si një shkurtore. Ai futi kushtin fillestar 0.506 nga printimi në vend që të fuste vlerën e saktë 0.506127. Rezultati ishte një skenar krejtësisht i ndryshëm i motit. ^[7]

Lorenz shkroi:

Në një moment vendosa të përsëris disa nga llogaritjet në mënyrë që të shqyrtoj atë që po ndodhte në detaje. Ndalova kompjuterin, shtypa një rresht numrash që ai kishte printuar pak më parë dhe e vendosa të funksiononte përsëri. Zbrita në korridor për të pirë një kafe dhe u ktheva pas rreth një ore, kohë gjatë së cilës kompjuteri kishte simuluar rreth dy muaj mot. Numrat që shtypeshin nuk ishin aspak si të vjetrit. Dyshova menjëherë për një tub vakum të dobët ose për ndonjë problem tjetër kompjuterik, gjë që nuk ishte e pazakontë, por përpara se të telefonoja për shërbim vendosa të shihja se ku kishte ndodhur gabimi, duke e ditur se kjo mund të përshpejtonte procesin e servisimit. Në vend të një ndërprerjeje të papritur, zbulova se vlerat e reja në fillim përsëritën ato të vjetrat, por shpejt më pas ndryshuan me një dhe më pas disa njësi në vendin e fundit [dhjetor], dhe më pas filluan të ndryshojnë në vendin tjetër me vendin e fundit dhe pastaj në vendin para kësaj. Në fakt, diferencat pak a shumë dyfishoheshin në përmasa çdo katër ditë ose më shumë, derisa e gjithë ngjashmëria me prodhimin origjinal u zhduk diku në muajin e dytë. Kjo ishte e mjaftueshme për të më treguar se çfarë kishte ndodhur: numrat që kisha shtypur nuk ishin numrat e saktë origjinal, por ishin vlerat e rrumbullakosura që ishin shfaqur në printimin origjinal. Gabimet fillestare të grumbullimit ishin fajtorët; ata po përforcoheshin vazhdimisht derisa dominonin zgjidhjen.

— E. N. Lorenz, Thelbi i Kaosit, U. Washington Press, Seattle (1993), faqe 134^[8]

Në vitin 1963, Lorenz publikoi një studim teorik të këtij efekti në një punim shumë të cituar, themelor të quajtur Rrjedha Deterministe Joperiodike ^{[3] [9]} (llogaritjet u kryen në një kompjuter Royal McBee LGP-30). ^[10]

Pas propozimeve të kolegëve, në fjalimet dhe letrat e mëvonshme, Lorenz përdori fluturën më poetike. Sipas Lorenz, kur ai nuk arriti të siguronte një titull për një fjalim që do të prezantonte në takimin e 139-të të Shoqatës Amerikane për Përparimin e Shkencës në vitin 1972, Philip Merilees sajoi A shkakton një tornado përplasja e krahëve të një fluture në Brazil në Teksas? si titull. ^[1] Megjithëse një flutur që përplas krahët ka mbetur konstante në shprehjen e këtij koncepti, vendndodhja e fluturës, pasojat dhe vendndodhja e pasojave kanë ndryshuar shumë. ^[11]

Fraza i referohet idesë se krahët e një fluture mund të krijojnë ndryshime të vogla në atmosferë që mund të ndryshojnë përfundimisht rrugën e një tornadoje ose të vonojnë, përshpejtojnë ose madje parandalojnë shfaqjen e një tornadoje në një vend tjetër. Flutura nuk e fuqizon ose nuk e krijon drejtpërdrejt tornadon, por termi synon të nënkuptojë se përplasja e krahëve të fluturës mund të shkaktojë tornadon: në kuptimin që përplasja e krahëve është pjesë e kushteve fillestare të një kompleksi të ndërlidhur. ueb; një grup kushtesh çon në një tornado, ndërsa grupi tjetër i kushteve jo. Krahu i përplasjes përfaqëson një ndryshim të vogël në gjendjen fillestare të sistemit, i cili kaskadon në ndryshime në shkallë të gjerë të ngjarjeve (krahaso: efekti domino). Sikur flutura të mos kishte përplasur krahët e saj, trajektorja e sistemit mund të kishte qenë shumë e ndryshme - por është gjithashtu po aq e mundshme që grupi i kushteve pa fluturimin e krahëve të saj është grupi që çon në një tornado.

Efekti flutur paraqet një sfidë të dukshme për parashikimin, pasi kushtet fillestare për një sistem të tillë si moti nuk mund të njihen kurrë me saktësi të plotë. Ky problem motivoi zhvillimin e parashikimit të ansamblit, në të cilin një sërë parashikimesh bëhen nga kushtet fillestare të trazuara. ^[12]

Disa shkencëtarë që atëherë kanë argumentuar se sistemi i motit nuk është aq i ndjeshëm ndaj kushteve fillestare siç besohej më parë. ^[13] David Orrell argumenton se kontribuesi kryesor në gabimin e parashikimit të motit është gabimi i modelit, me ndjeshmërinë ndaj kushteve fillestare që luan një rol relativisht të vogël. ^{[14] [15]} Stephen Wolfram gjithashtu vë në dukje se ekuacionet e Lorencit janë shumë të thjeshtuara dhe nuk përmbajnë terma që përfaqësojnë efekte viskoze; ai beson se këto terma do të priren të zbutin shqetësimet e vogla. ^[16] Studimet e fundit duke përdorur modele të përgjithësuara të Lorenz-it që përfshinin terma shtesë shpërndarës dhe jolinearitet sugjeruan se kërkohet një parametër më i madh ngrohjeje për fillimin e kaosit. ^[17]

Ndërsa "efekti i fluturës" shpjegohet shpesh si sinonim i varësisë së ndjeshme ndaj kushteve fillestare të llojit të përshkruar nga Lorenz në punimin e tij të vitit 1963 (dhe vërejtur më parë nga Poincaré), metafora e fluturës u aplikua fillimisht ^[1] në punën që ai botoi në 1969 ^[18] që e çoi idenë një hap më tej. Lorenz propozoi një model matematikor për mënyrën sesi lëvizjet e vogla në atmosferë rriten për të ndikuar në sisteme më të mëdha. Ai zbuloi se sistemet në atë model mund të parashikoheshin vetëm deri në një pikë specifike në të ardhmen, dhe përtej kësaj, zvogëlimi i gabimit në kushtet fillestare nuk do të rriste parashikueshmërinë (përderisa gabimi nuk është zero). Kjo tregoi se një sistem përcaktues mund të jetë "i padallueshëm vëzhgues" nga ai jo-përcaktues për sa i përket parashikueshmërisë. Riekzaminimet e fundit të këtij punimi sugjerojnë se ai ofroi një sfidë të rëndësishme për idenë se universi ynë është determinist, i krahasueshëm me sfidat e ofruara nga fizika kuantike. ^{[19] [20]}

Në librin e titulluar Thelbi i Kaosit botuar në 1993, ^[21] Lorenz e përkufizoi efektin e fluturës si: "Fenomeni që një ndryshim i vogël në gjendjen e një sistemi dinamik do të bëjë që gjendjet e mëvonshme të ndryshojnë shumë nga gjendjet që do të kishin pasuar pa ndryshimi." Kjo veçori është e njëjtë me varësinë sensitive të zgjidhjeve nga kushtet fillestare (SDIC) në . ^[3] Në të njëjtin libër, Lorenz aplikoi aktivitetin e skijimit dhe zhvilloi një model skijimi të idealizuar për zbulimin e ndjeshmërisë së shtigjeve që ndryshojnë nga koha në pozicionet fillestare. Një horizont parashikueshmërie përcaktohet përpara fillimit të SDIC. ^[22]

Përsëritja, kthimi i përafërt i një sistemi drejt kushteve fillestare, së bashku me varësinë e ndjeshme nga kushtet fillestare, janë dy përbërësit kryesorë për lëvizjen kaotike. Ato kanë pasojën praktike të bërjes së sistemeve komplekse, si moti, të vështira për t'u parashikuar pas një diapazoni të caktuar kohor (afërsisht një javë në rastin e motit) pasi është e pamundur të maten plotësisht me saktësi kushtet fillestare atmosferike.

Një sistem dinamik shfaq varësi të ndjeshme ndaj kushteve fillestare nëse pikat në mënyrë arbitrare afër njëri-tjetrit ndahen me kalimin e kohës me një shpejtësi eksponenciale. Përkufizimi nuk është topologjik, por në thelb metrik. Lorenz ^[21] përcaktoi varësinë e ndjeshme si më poshtë:

Vetia që karakterizon një orbitë (dmth., një zgjidhje) nëse shumica e orbitave të tjera që kalojnë afër saj në një moment nuk qëndrojnë afër saj me kalimin e kohës.

Nëse M është hapësira e gjendjes për hartën ${\displaystyle f^{t}}$, pastaj ${\displaystyle f^{t}}$ shfaq varësi të ndjeshme ndaj kushteve fillestare nëse për çdo x në M dhe çdo δ > 0, ka y në M, me distancë d(. , .) të tilla që ${\displaystyle 0<d(x,y)<\delta }$ dhe të tilla që

${\displaystyle d(f^{\tau }(x),f^{\tau }(y))>\mathrm {e} ^{a\tau }\,d(x,y)}$

për disa parametër pozitiv a. Përkufizimi nuk kërkon që të gjitha pikat nga një lagje të ndahen nga pika bazë x, por kërkon një eksponent pozitiv Lyapunov. Përveç një eksponenti pozitiv Lyapunov, kufiri është një tjetër veçori kryesore brenda sistemeve kaotike. ^[23]

Kuadri më i thjeshtë matematikor që shfaq varësi të ndjeshme nga kushtet fillestare sigurohet nga një parametrizim i veçantë i hartës logjistike:

${\displaystyle x_{n+1}=4x_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}\leq 1,}$

e cila, ndryshe nga shumica e hartave kaotike, ka një zgjidhje në formë të mbyllur:

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )}$

ku parametri i gjendjes fillestare ${\displaystyle \theta }$ jepet nga ${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})}$. Për racionale ${\displaystyle \theta }$, pas një numri të kufizuar përsëritjesh ${\displaystyle x_{n}}$ harton në një sekuencë periodike. Por pothuajse të gjitha ${\displaystyle \theta }$ janë të paarsyeshme, dhe, për irracionale ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle x_{n}}$ nuk përsëritet kurrë - është jo periodike. Ky ekuacion i zgjidhjes demonstron qartë dy tiparet kryesore të kaosit - shtrirjen dhe palosjen: faktori 2 ⁿ tregon rritjen eksponenciale të shtrirjes, e cila rezulton në varësi të ndjeshme nga kushtet fillestare (efekti i fluturës), ndërsa funksioni i sinusit katror vazhdon ${\displaystyle x_{n}}$ palosur brenda intervalit [0, 1].

Efekti i fluturës është më i njohur për sa i përket motit; mund të demonstrohet lehtësisht në modelet standarde të parashikimit të motit, për shembull. Shkencëtarët e klimës James Annan dhe William Connolley shpjegojnë se kaosi është i rëndësishëm në zhvillimin e metodave të parashikimit të motit; modelet janë të ndjeshme ndaj kushteve fillestare. Ata shtojnë paralajmërimin: "Sigurisht që ekzistenca e një fluture të panjohur që përplas krahët e saj nuk ka asnjë ndikim të drejtpërdrejtë në parashikimet e motit, pasi do të duhet shumë kohë që një shqetësim kaq i vogël të rritet në një madhësi të konsiderueshme, dhe ne kemi shumë të tjera të menjëhershme. pasiguri për t'u shqetësuar. Kështu që ndikimi i drejtpërdrejtë i këtij fenomeni në parashikimin e motit është shpesh disi i gabuar." ^[24] Dy llojet e efekteve të fluturave, duke përfshirë varësinë e ndjeshme nga kushtet fillestare, ^[3] dhe aftësinë e një shqetësimi të vogël për të krijuar një qarkullim të organizuar në distanca të mëdha, ^[1] nuk janë saktësisht të njëjta. ^[25] Është dokumentuar një krahasim i dy llojeve të efekteve të fluturës ^{[1] [3]} dhe llojit të tretë të efektit të fluturës ^{[18] [19] [20]}. ^[26] Në studimet e fundit, ^{[22] [27]} u raportua se si modelet lineare meteorologjike ashtu edhe ato jometeorologjike kanë treguar se paqëndrueshmëria luan një rol në prodhimin e një efekti fluture, i cili karakterizohet nga një rritje eksponenciale e shkurtër por e rëndësishme që rezulton nga një shqetësim i vogël.

Sipas Lighthill (1986), ^[28] prania e SDIC (zakonisht i njohur si efekti i fluturës) nënkupton që sistemet kaotike kanë një kufi parashikueshmërie të fundme. Në një rishikim të literaturës, u zbulua se këndvështrimi i Lorenz-it mbi kufirin e parashikueshmërisë mund të kondensohet në deklaratën e mëposhtme:

• (A). Modeli Lorenz 1963 zbuloi në mënyrë cilësore thelbin e një parashikueshmërie të fundme brenda një sistemi kaotik siç është atmosfera. Megjithatë, ai nuk përcaktoi një kufi të saktë për parashikueshmërinë e atmosferës.
• (B). Në vitet 1960, kufiri dy-javor i parashikueshmërisë fillimisht u vlerësua bazuar në një kohë dyfishimi prej pesë ditësh në modelet e botës reale. Që atëherë, ky zbulim është dokumentuar në Charney et al. (1966) ^{[29] [30]} dhe është bërë një konsensus.

Së fundmi, një video e shkurtër është krijuar për të paraqitur këndvështrimin e Lorenz-it mbi kufirin e parashikueshmërisë. ^[31]

Duke zbuluar tërheqës bashkëekzistues kaotikë dhe jokaotikë brenda modeleve të Lorenz-it, Shen dhe kolegët e tij propozuan një pikëpamje të rishikuar se "moti zotëron kaos dhe rregull", në kontrast me pikëpamjen konvencionale të "moti është kaotik". ^{[32] [33] [34]} Si rezultat, varësia e ndjeshme nga kushtet fillestare (SDIC) nuk shfaqet gjithmonë. Domethënë, SDIC shfaqet kur dy orbita (dmth. zgjidhjet) bëhen tërheqës kaotik; nuk shfaqet kur dy orbita lëvizin drejt tërheqës të së njëjtës pikë. Animacioni i mësipërm për lëvizjen e dyfishtë të lavjerrës ofron një analogji. Për kënde të mëdha lëkundjeje, lëvizja e lavjerrësit është shpesh kaotike. ^{[35] [36]} Për krahasim, për kënde të vogla lëkundjeje, lëvizjet janë jokaotike. Shumëstabiliteti përcaktohet kur një sistem (p.sh. sistemi me lavjerrës të dyfishtë) përmban më shumë se një tërheqës të kufizuar që varet vetëm nga kushtet fillestare. Multistabiliteti është ilustruar duke përdorur kajak në Figurën në anën e djathtë (dmth. Figura 1 e ) ku shfaqja e rrymave të forta dhe një zonë e ndenjur sugjeron paqëndrueshmëri dhe stabilitet lokal, respektivisht. Si rezultat, kur dy kajakë lëvizin përgjatë rrymave të forta, shtigjet e tyre shfaqin SDIC. Nga ana tjetër, kur dy kajakë lëvizin në një zonë të ndenjur, ato bllokohen, duke mos treguar SDIC tipike (megjithëse mund të ndodhë një kalim kaotik). Karakteristika të tilla të SDIC ose jo SDIC sugjerojnë dy lloje zgjidhjesh dhe ilustrojnë natyrën e multistabilitetit.

Duke marrë në konsideratë shumëqëndrueshmërinë që ndryshon nga koha që shoqërohet me modulimin e proceseve në shkallë të gjerë (p.sh., detyrimi sezonal) dhe reagimet e grumbulluara të proceseve të shkallës së vogël (p.sh., konvekcioni), pamja e rishikuar e mësipërme përpunohet si më poshtë:

"Atmosfera posedon kaos dhe rend; ajo përfshin, si shembuj, sisteme të organizuara në zhvillim (të tilla si tornadot) dhe forcë që ndryshon në kohë nga stinët e përsëritura." ^[37]

Potenciali për varësi të ndjeshme nga kushtet fillestare (efekti i fluturës) është studiuar në një numër rastesh në fizikën gjysmëklasike dhe kuantike, duke përfshirë atomet në fusha të forta dhe problemin anizotrop të Keplerit. ^{[38] [39]} Disa autorë kanë argumentuar se varësia ekstreme (eksponenciale) nga kushtet fillestare nuk pritet në trajtimet e pastra kuantike; ^{[40] [41]} megjithatë, varësia e ndjeshme ndaj kushteve fillestare të demonstruara në lëvizjen klasike përfshihet në trajtimet gjysmëklasike të zhvilluara nga Martin Gutzwiller ^[42] dhe John B. Delos dhe bashkëpunëtorët. ^[43] Teoria e matricës së rastësishme dhe simulimet me kompjuterë kuantikë vërtetojnë se disa versione të efektit të fluturës në mekanikën kuantike nuk ekzistojnë. ^[44]

Autorë të tjerë sugjerojnë se efekti i fluturës mund të vërehet në sistemet kuantike. Zbyszek P. Karkuszewski etj. Merrni parasysh evolucionin kohor të sistemeve kuantike të cilat kanë Hamiltonianët paksa të ndryshëm. Ata hetojnë nivelin e ndjeshmërisë së sistemeve kuantike ndaj ndryshimeve të vogla në Hamiltonianët e tyre të dhënë. ^[45] David Poulin et al. paraqiti një algoritëm kuantik për të matur zbërthimin e besnikërisë, i cili "mat shkallën në të cilën gjendjet fillestare identike ndryshojnë kur i nënshtrohen dinamikave paksa të ndryshme". Ata e konsiderojnë kalbjen e besnikërisë si "analogun kuantik më të afërt me efektin e fluturës (të pastër klasik). ^[46] Ndërsa efekti klasik i fluturës merr në konsideratë efektin e një ndryshimi të vogël në pozicionin dhe/ose shpejtësinë e një objekti në një sistem të caktuar Hamiltonian, efekti kuantik i fluturës merr parasysh efektin e një ndryshimi të vogël në sistemin Hamiltonian me një pozicion fillestar dhe shpejtësi të caktuar. ^{[47] [48]} Ky efekt kuantik i fluturës është demonstruar eksperimentalisht. ^[49] Trajtimet kuantike dhe gjysmëklasike të ndjeshmërisë së sistemit ndaj kushteve fillestare njihen si kaos kuantik. ^{[40] [47]}

1. ^ ^{a b c d e} "Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?" (PDF). Arkivuar (PDF) nga origjinali më 2022-10-09. Marrë më 23 dhjetor 2021. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
2. ^ "When Lorenz Discovered the Butterfly Effect". 22 maj 2015. Marrë më 23 dhjetor 2021. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
3. ^ ^{a b c d e} Lorenz, Edward N. (mars 1963). "Deterministic Nonperiodic Flow". Journal of the Atmospheric Sciences. 20 (2): 130–141. Bibcode:1963JAtS...20..130L. doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:dnf>2.0.co;2. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
4. ^ Steves, Bonnie; Maciejewski, AJ (shtator 2001). The Restless Universe Applications of Gravitational N-Body Dynamics to Planetary Stellar and Galactic Systems. USA: CRC Press. ISBN 0750308222. Marrë më 6 janar 2014. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
5. ^ Computing Machinery and Intelligence
6. ^ Flam, Faye (2012-06-15). "The Physics of Ray Bradbury's "A Sound of Thunder"". The Philadelphia Inquirer. Arkivuar nga origjinali më 2015-09-24. Marrë më 2015-09-02. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
7. ^ Gleick, James (1987). Chaos: Making a New Science. Viking. fq. 16. ISBN 0-8133-4085-3. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
8. ^ Motter, Adilson E.; Campbell, David K. (2013). "Chaos at fifty". Physics Today. 66 (5): 27–33. arXiv:1306.5777. Bibcode:2013PhT....66e..27M. doi:10.1063/PT.3.1977. S2CID 54005470. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
9. ^ Google Scholar citation record
10. ^ "Part19". Cs.ualberta.ca. 1960-11-22. Arkivuar nga origjinali më 2009-07-17. Marrë më 2014-06-08. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
11. ^ "The Butterfly Effects: Variations on a Meme". AP42 ...and everything. Arkivuar nga origjinali më 11 nëntor 2011. Marrë më 3 gusht 2011. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
12. ^ Woods, Austin (2005). Medium-range weather prediction: The European approach; The story of the European Centre for Medium-Range Weather Forecasts. New York: Springer. fq. 118. ISBN 978-0387269283. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
13. ^ Orrell, David; Smith, Leonard; Barkmeijer, Jan; Palmer, Tim (2001). "Model error in weather forecasting". Nonlinear Processes in Geophysics. 9 (6): 357–371. Bibcode:2001NPGeo...8..357O. doi:10.5194/npg-8-357-2001. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
14. ^ Orrell, David (2002). "Role of the metric in forecast error growth: How chaotic is the weather?". Tellus. 54A (4): 350–362. Bibcode:2002TellA..54..350O. doi:10.3402/tellusa.v54i4.12159. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
15. ^ Orrell, David (2012). Truth or Beauty: Science and the Quest for Order. New Haven: Yale University Press. fq. 208. ISBN 978-0300186611. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
16. ^ Wolfram, Stephen (2002). A New Kind of Science. Wolfram Media. fq. 998. ISBN 978-1579550080. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
17. ^ Shen, Bo-Wen (2019). "Aggregated Negative Feedback in a Generalized Lorenz Model". International Journal of Bifurcation and Chaos. 29 (3): 1950037–1950091. Bibcode:2019IJBC...2950037S. doi:10.1142/S0218127419500378. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
18. ^ ^{a b} Lorenz, Edward N. (qershor 1969). "The predictability of a flow which possesses many scales of motion". Tellus. XXI (3): 289–297. Bibcode:1969Tell...21..289L. doi:10.1111/j.2153-3490.1969.tb00444.x. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
19. ^ ^{a b} Tim, Palmer (19 maj 2017). "The Butterfly Effect – What Does It Really Signify?". Oxford U. Dept. of Mathematics Youtube Channel. Arkivuar nga origjinali më 28 shkurt 2019. Marrë më 13 shkurt 2019. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: BOT: Gjendja e adresës origjinale është e panjohur (lidhja)
20. ^ ^{a b} Emanuel, Kerry (26 mars 2018). "Edward N. Lorenz and the End of the Cartesian Universe". MIT Department of Earth, Atmospheric, and Planetary Sciences Youtube channel. Arkivuar nga origjinali më 30 mars 2019. Marrë më 13 shkurt 2019. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: BOT: Gjendja e adresës origjinale është e panjohur (lidhja)
21. ^ ^{a b} Lorenz, Edward N. (1993). The essence of chaos. London: UCL Press. ISBN 0-203-21458-7. OCLC 56620850. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
22. ^ ^{a b} Shen, Bo-Wen; Pielke, Roger A.; Zeng, Xubin (2022-05-07). "One Saddle Point and Two Types of Sensitivities within the Lorenz 1963 and 1969 Models". Atmosphere. 13 (5): 753. Bibcode:2022Atmos..13..753S. doi:10.3390/atmos13050753. ISSN 2073-4433. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
23. ^ W., Jordan, Dominic (2011). Nonlinear ordinary differential equations: an introduction for scientists and engineers. Oxford Univ. Press. ISBN 978-0-19-920825-8. OCLC 772641393. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Emra të shumëfishtë: lista e autorëve (lidhja)
24. ^ "Chaos and Climate". RealClimate. 4 nëntor 2005. Arkivuar nga origjinali më 2014-07-02. Marrë më 2014-06-08. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
25. ^ Shen, Bo-Wen (2014-05-01). "Nonlinear Feedback in a Five-Dimensional Lorenz Model". Journal of the Atmospheric Sciences (në anglisht). 71 (5): 1701–1723. Bibcode:2014JAtS...71.1701S. doi:10.1175/JAS-D-13-0223.1. ISSN 0022-4928.
26. ^ Shen, Bo-Wen; Pielke, Roger A.; Zeng, Xubin; Cui, Jialin; Faghih-Naini, Sara; Paxson, Wei; Atlas, Robert (2022-07-04). "Three Kinds of Butterfly Effects within Lorenz Models". Encyclopedia (në anglisht). 2 (3): 1250–1259. doi:10.3390/encyclopedia2030084. ISSN 2673-8392.
27. ^ Saiki, Yoshitaka; Yorke, James A. (2023-05-02). "Can the Flap of a Butterfly's Wings Shift a Tornado into Texas—Without Chaos?". Atmosphere (në anglisht). 14 (5): 821. Bibcode:2023Atmos..14..821S. doi:10.3390/atmos14050821. ISSN 2073-4433.
28. ^ Lighthill, James (1986-09-08). "The recently recognized failure of predictability in Newtonian dynamics". Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences. 407 (1832): 35–50. Bibcode:1986RSPSA.407...35L. doi:10.1098/rspa.1986.0082. ISSN 0080-4630. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
29. ^ The Feasibility of a Global Observation and Analysis Experiment. 1966-01-01. doi:10.17226/21272. ISBN 978-0-309-35922-1. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
30. ^ GARP (1969-03-01). "A Guide to GARP". Bull. Amer. Meteor. Soc. 50 (3): 136–141. Bibcode:1969BAMS...50..136.. doi:10.1175/1520-0477-50.3.136. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
31. ^ Shen, Bo-Wen; Pielke, Sr., Roger; Zeng, Xubin; Zeng, Xiping (2023-09-13). "Lorenz's View on the Predictability Limit". Encyclopedia pub. Marrë më 2023-09-13. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
32. ^ Shen, Bo-Wen; Pielke, Roger A.; Zeng, Xubin; Baik, Jong-Jin; Faghih-Naini, Sara; Cui, Jialin; Atlas, Robert (2021-01-01). "Is Weather Chaotic?: Coexistence of Chaos and Order within a Generalized Lorenz Model". Bulletin of the American Meteorological Society (në anglisht). 102 (1): E148–E158. Bibcode:2021BAMS..102E.148S. doi:10.1175/BAMS-D-19-0165.1. ISSN 0003-0007.
33. ^ Shen, Bo-Wen; Pielke, R. A. Sr.; Zeng, X.; Baik, J.-J.; Faghih-Naini, S.; Cui, J.; Atlas, R.; Reyes, T. A. L. (2021). "Is Weather Chaotic? Coexisting Chaotic and Non-chaotic Attractors within Lorenz Models". përmbledhur nga Skiadas, Christos H.; Dimotikalis, Yiannis (red.). 13th Chaotic Modeling and Simulation International Conference. Springer Proceedings in Complexity (në anglisht). Cham: Springer International Publishing. fq. 805–825. doi:10.1007/978-3-030-70795-8_57. ISBN 978-3-030-70795-8.
34. ^ Anthes, Richard A. (2022-08-14). "Predictability and Predictions". Atmosphere (në anglisht). 13 (8): 1292. Bibcode:2022Atmos..13.1292A. doi:10.3390/atmos13081292. ISSN 2073-4433.
35. ^ Richter, P. H.; Scholz, H.-J. (1984), "Chaos in Classical Mechanics: The Double Pendulum", Stochastic Phenomena and Chaotic Behaviour in Complex Systems, Springer Series in Synergetics, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, vëll. 21, fq. 86–97, doi:10.1007/978-3-642-69591-9_9, ISBN 978-3-642-69593-3, marrë më 2022-07-11 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
36. ^ Shinbrot, Troy, Celso A Grebogi, Jack Wisdom, James A Yorke (1992). "Chaos in a double pendulum". American Journal of Physics. 60 (6): 491–499. Bibcode:1992AmJPh..60..491S. doi:10.1119/1.16860. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Emra të shumëfishtë: lista e autorëve (lidhja)
37. ^ Shen, Bo-Wen (21 shk 2023). "Exploring Chaos Theory for Monstability and Multistability". YouTube. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
38. ^ Heller, E. J.; Tomsovic, S. (korrik 1993). "Postmodern Quantum Mechanics". Physics Today. 46 (7): 38–46. Bibcode:1993PhT....46g..38H. doi:10.1063/1.881358. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
39. ^ Gutzwiller, Martin C. (1990). Chaos in Classical and Quantum Mechanics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97173-4. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
40. ^ ^{a b} Rudnick, Ze'ev (janar 2008). "What is... Quantum Chaos?" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. Arkivuar (PDF) nga origjinali më 2009-10-02. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
41. ^ Berry, Michael (1989). "Quantum chaology, not quantum chaos". Physica Scripta. 40 (3): 335–336. Bibcode:1989PhyS...40..335B. doi:10.1088/0031-8949/40/3/013. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
42. ^ Gutzwiller, Martin C. (1971). "Periodic Orbits and Classical Quantization Conditions". Journal of Mathematical Physics. 12 (3): 343. Bibcode:1971JMP....12..343G. doi:10.1063/1.1665596. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
43. ^ Gao, J. & Delos, J. B. (1992). "Closed-orbit theory of oscillations in atomic photoabsorption cross sections in a strong electric field. II. Derivation of formulas". Physical Review A. 46 (3): 1455–1467. Bibcode:1992PhRvA..46.1455G. doi:10.1103/PhysRevA.46.1455. PMID 9908268. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
44. ^ Yan, Bin; Sinitsyn, Nikolai A. (2020). "Recovery of Damaged Information and the Out-of-Time-Ordered Correlators". Physical Review Letters. 125 (4): 040605. arXiv:2003.07267. Bibcode:2020PhRvL.125d0605Y. doi:10.1103/PhysRevLett.125.040605. PMID 32794812. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
45. ^ Karkuszewski, Zbyszek P.; Jarzynski, Christopher; Zurek, Wojciech H. (2002). "Quantum Chaotic Environments, the Butterfly Effect, and Decoherence". Physical Review Letters. 89 (17): 170405. arXiv:quant-ph/0111002. Bibcode:2002PhRvL..89q0405K. doi:10.1103/PhysRevLett.89.170405. PMID 12398653. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
46. ^ Poulin, David; Blume-Kohout, Robin; Laflamme, Raymond & Ollivier, Harold (2004). "Exponential Speedup with a Single Bit of Quantum Information: Measuring the Average Fidelity Decay". Physical Review Letters. 92 (17): 177906. arXiv:quant-ph/0310038. Bibcode:2004PhRvL..92q7906P. doi:10.1103/PhysRevLett.92.177906. PMID 15169196. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
47. ^ ^{a b} Poulin, David. "A Rough Guide to Quantum Chaos" (PDF). Arkivuar nga origjinali (PDF) më 2010-11-04. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
48. ^ Peres, A. (1995). Quantum Theory: Concepts and Methods. Dordrecht: Kluwer Academic. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
49. ^ Lee, Jae-Seung & Khitrin, A. K. (2004). "Quantum amplifier: Measurement with entangled spins". Journal of Chemical Physics. 121 (9): 3949–51. Bibcode:2004JChPh.121.3949L. doi:10.1063/1.1788661. PMID 15332940. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)