Gjatësia e harkut

Gjatësia e harkut është largësia midis dy pikave përgjatë një prerje të kurbe.

Përcaktimi i gjatësisë së një harku të çrregullt duke përafruar segmentin e harkut si segmente drejtëvizore të lidhura quhet korigjimi kurbe. Një kurbë e korigjueshme ka një numër të fundëm segmentesh në korigjimin e saj.

Nëse një kurbë mund të parametrizohet si një funksion injektiv dhe vazhdimisht i diferencueshëm (d.m.th., derivati është një funksion i vazhdueshëm) ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$, atëherë kurba është e korrigjueshme (dmth. ka një gjatësi të kufizuar).

Shpikja/Zbulimi i llogaritjes infiniteminale çoi në një formulë të përgjithshme që ofron zgjidhje në formë të mbyllur në disa raste.

Një kurbë në rrafsh mund të përafrohet duke lidhur një numër të kufizuar pikash në kurbë duke përdorur segmente drejtëvizore për të krijuar një shteg poligonal . Meqenëse është e thjeshtë të llogaritet gjatësia e secilit segment linear (për shembull, duke përdorur teoremën e Pitagorës në hapësirën Euklidiane), gjatësia totale e përafrimit mund të gjendet duke mbledhur gjatësitë e secilit segment linear; ai përafrim njihet si distanca kordale (kumulative) . ^[1]

Nëse kurba nuk është tashmë një shteg poligonal, atëherë përdorimi i një numri progresivisht më të madh të segmenteve të vijës me gjatësi më të vogla do të rezultojë në përafrime më të mira të gjatësisë së kurbës. Gjatësitë e përafrimeve të njëpasnjëshme nuk do të ulen dhe mund të vazhdojnë të rriten pafundësisht, por për kthesat e lëmuara ato do të priren në një kufi të fundëm pasi gjatësitë e segmenteve bëhen arbitrarisht të vogla .

Nëse një kurbë planare në ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ përcaktohet nga ekuacioni ${\displaystyle y=f(x),}$ ku ${\displaystyle f}$ është vazhdimisht i diferencueshëm, atëherë është thjesht një rast i veçantë i një ekuacioni parametrik ku ${\displaystyle x=t}$ dhe ${\displaystyle y=f(t).}$ Largësia Euklidiane e çdo segmenti pambarimisht të vogël të harkut mund të jepet nga:$${\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,}}dx.}$$Gjatësia e harkut jepet më pas nga:$${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,}}dx.}$$

Në shumicën e rasteve, duke përfshirë edhe kurbat e thjeshta, nuk ka zgjidhje me formë të mbyllur për gjatësinë e harkut dhe është i nevojshëm integrimi numerik . Integrimi numerik i integralit të gjatësisë së harkut është zakonisht shumë efikas. Për shembull, merrni parasysh problemin e gjetjes së gjatësisë së një të katërtës së rrethit njësi duke integruar numerikisht integralin e gjatësisë së harkut. Gjysma e sipërme e rrethit njësi mund të parametrizohet si ${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}.}$ Intervali ${\displaystyle x\in \left[-{\sqrt {2}}/2,{\sqrt {2}}/2\right]}$ korrespondon me një të katërtën e rrethit. Që nga ${\textstyle dy/dx=-x{\big /}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ dhe ${\displaystyle 1+(dy/dx)^{2}=1{\big /}\left(1-x^{2}\right),}$ gjatësia e një të katërtës së rrethit njësi është$${\displaystyle \int _{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.}$$Vlerësimi 15-pikësh i rregullit Gauss-Kronrod për këtë integral prej 1.570796 326 808 177 ndryshon nga gjatësia e vërtetë e$${\displaystyle \arcsin x{\bigg |}_{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}={\frac {\pi }{2}}}$$me 1.3× 10 −11 dhe vlerësimi i rregullës së kuadraturës së Gausit 16 pikëshef prej 1.570796 326 794 727 ndryshon nga gjatësia e vërtetë vetëm 1.7× 10 −13 . Kjo do të thotë se është e mundur të vlerësohet ky integral pothuajse me saktësi makinerie me vetëm 16 vlerësime integruese.

1. ^ Ahlberg; Nilson (1967). The Theory of Splines and Their Applications. Academic Press. fq. 51. ISBN 9780080955452. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)