Długość krzywej

Długość krzywej w przestrzeni euklidesowej (i ogólnie w przestrzeni metrycznej) można wyznaczyć w sposób przybliżony za pomocą łamanej, złożonej z odcinków prostoliniowych, łączących wybrane punkty krzywej. Im więcej odcinków ma łamana, tym dokładniej przybliży krzywą. Długością krzywej nazywa się graniczną wartość, do jakiej zbiegają długości łamanych o rosnącej liczbie odcinków, przybliżających tę krzywą. Ściślejszą definicję, opartą na powyższym opisie, podano dalej. Nie wszystkie jednak krzywe mają tę własność, że granica taka istnieje; przykładem są krzywe fraktalne (por. krzywa Kocha, krzywa Peana itp.)

Rozwój geometrii analitycznej doprowadził do odkrycia równań parametrycznych, za pomocą których opisuje się krzywe płaskie, krzywe w przestrzeni 3-wymiarowej, a w ogólności w przestrzeniach n-wymiarowych. W konsekwencji wyprowadzono wzory na obliczanie długości tak opisanych krzywych w sposób analityczny.

W przypadku ogólnym rozważa się krzywe w przestrzeniach metrycznych nieeuklidesowych. Długości krzywych w tym wypadku określa się z uwzględnieniem tensora metrycznego.

Na krzywej ${\displaystyle C}$ zadajemy ${\displaystyle n+1}$ punktów ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n},}$ ustawionych kolejno wzdłuż krzywej zaczynając od jej jednego końca i poruszając się do drugiego końca, przy czym punkty ${\displaystyle a_{0}}$ oraz ${\displaystyle a_{n}}$ umieszcza się odpowiednio na początku i na końcu krzywej. Niech ${\displaystyle L_{C}(n)}$ oznacza sumę długości odcinków łamanej, wyznaczonej przez punkty ${\displaystyle a_{i},i=0,1,\dots ,n,}$ tj.

${\displaystyle L_{C}(n)=\sum _{i=1}^{n}\left|a_{i-1}a_{i}\right|,}$

gdzie ${\displaystyle \left|a_{i-1}a_{i}\right|}$ jest długością odcinka o końcach ${\displaystyle a_{i-1},a_{i}.}$

Jeżeli powyższa suma zmierza do ustalonej granicy dla ${\displaystyle n}$ rosnącego do nieskończoności, to graniczną wartość ${\displaystyle L_{C}}$ tej sumy nazywamy długością krzywej ${\displaystyle C,}$, tj.

${\displaystyle L_{C}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left|a_{i-1}a_{i}\right|.}$

Dowodzi się, że długość ${\displaystyle L_{C}}$ krzywej nie zależy od wyboru punktów łamanych, przybliżających daną krzywą ${\displaystyle C.}$

Krzywą ${\displaystyle C,}$ której można w ten sposób przypisać długość, nazywa się krzywą prostowalną (lub rektyfikowalną).

W przeciwnym wypadku krzywą nazywa się nieprostowalną (nierektyfikowalną).

Efektywnego opisu krzywych dostarcza geometria analityczna. Jedną z metod opisu krzywych jest opis za pomocą równań parametrycznych.

Niech ${\displaystyle C}$ będzie krzywą w przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle n}$-wymiarowej (lub ogólnie: w przestrzeni metrycznej) ${\displaystyle X.}$ Istnieje wtedy funkcja wektorowa jednej zmiennej ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X,}$ nazywana parametryzacją, która każdej liczbie ${\displaystyle t\in [a,b]}$ przypisuje wzajemnie jednoznacznie współrzędne kartezjańskie ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ każdego punktu krzywej ${\displaystyle C.}$ Oznacza to, że:

A. dla parametryzacji krzywych płaskich trzeba podać dwie funkcje parametru ${\displaystyle t{:}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}}}$

B. dla parametryzacji krzywych w przestrzeni 3-wymiarowej trzeba podać trzy funkcje parametru ${\displaystyle t{:}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}}$

C. dla krzywych w przestrzeni n-wymiarowej trzeba podać ${\displaystyle n}$ funkcji parametru ${\displaystyle t{:}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=x_{1}(t)\\x_{2}=x_{2}(t)\\\dots \\x_{n}=x_{n}(t)\end{cases}}}$

W ogólności można opisywać krzywe za pomocą współrzędnych krzywoliniowych, jak współrzędne biegunowe, sferyczne itd.

Równania parametryczne definiujące elipsę mającej środek w początku układu współrzędnych i główną oś wzdłuż osi ${\displaystyle OX,}$ o półosiach ${\displaystyle a}$ oraz ${\displaystyle b,}$ jest funkcja ${\displaystyle \gamma :[0,2\pi ]\to X\equiv R^{2},}$ mają postać

${\displaystyle {\begin{cases}x(t)=a\sin {t}\\y(t)=b\cos {t}\end{cases}}.}$

Funkcja ${\displaystyle \gamma }$ parametrowi ${\displaystyle t\in [0,2\pi )}$ jednoznacznie przypisuje jeden punkt ${\displaystyle [x,y]}$ elipsy na płaszczyźnie ${\displaystyle R^{2}.}$

Równania parametryczne spirali logarytmicznej są następujące:

${\displaystyle {\begin{cases}x(t)=Ae^{Bt}\cos(t)\\y(t)=Ae^{Bt}\sin(t)\end{cases}},}$

gdzie ${\displaystyle A,\,B\in \mathbb {R} }$ – stałe, określające wymiary spirali, ${\displaystyle t\in (-\infty ,+\infty )}$ – parametr krzywej.

Wzór helisy położonej na powierzchni bocznej walca ma we współrzędnych kartezjańskich postać:

${\displaystyle {\begin{cases}x(t)=a\cdot \cos(t)\\y(t)=a\cdot \sin(t)\\z=k\cdot t\end{cases}},}$

gdzie ${\displaystyle a}$ jest promieniem walca, a ${\displaystyle k}$ ilorazem prędkości ruchu punktu po tworzącej oraz prędkości kątowej obrotu walca ${\displaystyle t\in (-\infty ,+\infty )}$ – parametr krzywej.

Jeśli ${\displaystyle k>0,}$ linia jest prawoskrętna; jeśli ${\displaystyle k<0,}$ linia jest lewoskrętna.

Jeżeli wyznaczy się zależność długości ${\displaystyle s}$ krzywej od ustalonego punktu początkowego ${\displaystyle P_{0}}$ do jej dowolnego punktu ${\displaystyle P(s),}$ to za pomocą długości s można przedefiniować krzywą; wtedy ${\displaystyle s}$ nazywa się parametrem naturalnym krzywej.

(1) Współrzędne kartezjańskie

Jeśli krzywa płaska zadana jest funkcją ${\displaystyle y=y(x),}$ która jest różniczkowalna, to rolę niezależnego parametru pełni współrzędna ${\displaystyle x;}$ wtedy wzór na długość krzywej ${\displaystyle C(x)=[x,y(x)]}$ ma postać:

${\displaystyle L_{C}=\int _{x_{a}}^{x_{b}}{\sqrt {1+y'(x)^{2}}}dx,}$

gdzie ${\displaystyle y'(x)\equiv dy/dx}$ – pochodna funkcji ${\displaystyle y=y(x)}$ względem zmiennej ${\displaystyle x.}$

(2) Współrzędne kartezjańskie i niezależny parametr

Jeżeli krzywa płaska ${\displaystyle C(t)=[x(t),y(t)]}$ jest sparametryzowana równaniami

${\displaystyle {\begin{cases}x=f(t),\\y=g(t),\end{cases}}}$

gdzie funkcje ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ są różniczkowalne względem parametru ${\displaystyle t,}$ to długość krzywej opisuje wzór^[1]:

${\displaystyle L_{C}=\int _{t_{a}}^{t_{b}}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}dt,}$

gdzie ${\displaystyle x'(t)\equiv dx/dt}$ oraz ${\displaystyle y'(t)\equiv dy/dt}$ – pochodne funkcji ${\displaystyle x(t)}$ oraz ${\displaystyle y(t)}$ względem parametru ${\displaystyle t.}$

(3) Współrzędne biegunowe

We współrzędnych biegunowych: jeżeli krzywa płaska jest wyrażona za pomocą współrzędnych biegunowych, tj. ${\displaystyle C(t)=[r(t),\phi (t)],}$ to wzór na długość krzywej ma postać:

${\displaystyle L_{C}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}\,}}dt=\int _{\phi (t_{1})}^{\phi (t_{2})}{\sqrt {\left({\frac {dr}{d\phi }}\right)^{2}+r^{2}\,}}d\phi .}$

Drugie wyrażenie odpowiada przypadkowi, gdy parametr jest równy współrzędnej kątowej, tj. ${\displaystyle t=\phi ;}$ wtedy ${\displaystyle r=r(\phi )}$

Cykloida opisana jest równaniami parametrycznymi

${\displaystyle {\begin{cases}x(t)=r(t-\sin {t}),\\y(t)=r(1-\cos {t}),\end{cases}}}$

gdzie ${\displaystyle r>0}$ jest promieniem toczącego się koła; jeden łuk cykloidy otrzymamy dla ${\displaystyle t\in [0,2\pi ].}$

Tw. Długość łuku cykloidy jest równa poczwórnej średnicy toczącego się koła, tj. ${\displaystyle L=8r.}$

Dowód:

Pochodne funkcji ${\displaystyle x(t)}$ oraz ${\displaystyle y(t)}$ względem parametru ${\displaystyle t}$ mają postać:

${\displaystyle {\begin{cases}x'(t)=r(1-\cos {t})\\y'(t)=r\sin {t}\end{cases}}}$

Podstawiając powyższe wyrażenia do wzoru (2)

${\displaystyle L=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\;{\mbox{d}}t}$

dla ${\displaystyle t_{1}=0,t_{2}=2\pi }$ otrzymamy

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {[r(1-\cos {t})]^{2}+[r\sin {t}]^{2}}}\;{\mbox{d}}t=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}(1-\cos {t})^{2}+r^{2}\sin ^{2}{t}}}\;{\mbox{d}}t\\&=r\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {1-2\cos {t}+\cos ^{2}{t}+\sin ^{2}{t}}}\;{\mbox{d}}t=r\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {1-2\cos {t}+1}}\;{\mbox{d}}t\\&=r\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {2-2\cos {t}}}\;{\mbox{d}}t=r\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {2(1-\cos {t})}}\;{\mbox{d}}t.\end{aligned}}}$

Korzystając ze wzoru trygonometrycznego na różnicę kosinusów

${\displaystyle 1-\cos {t}=2\sin ^{2}{\tfrac {t}{2}},}$

otrzymamy

${\displaystyle L=r\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {4\sin ^{2}{\tfrac {t}{2}}}}\;{\mbox{d}}t=2r\int \limits _{0}^{2\pi }|\sin {\tfrac {t}{2}}|\;{\mbox{d}}t.}$

W granicach całkowania ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$ wyrażenie ${\displaystyle \sin t/2}$ jest nieujemne, stąd otrzymujemy ostatecznie równość

${\displaystyle L=2r\int \limits _{0}^{2\pi }\sin {\tfrac {t}{2}}\;{\mbox{d}}t=2r\left(-2\cos {\tfrac {t}{2}}\right){\bigg |}_{0}^{2\pi }=8r,cnd.}$

(1) Współrzędne sferyczne

Niech będzie dana krzywa ${\displaystyle \mathbf {C} (t)=[r(t),\theta (t),\phi (t)]}$ zdefiniowana za pomocą równań parametrycznych w układzie współrzędnych sferycznych, gdzie ${\displaystyle \theta }$ jest kątem mierzonym od dodatniej półosi ${\displaystyle z}$ oraz ${\displaystyle \phi }$ kątem azymutalnym. Między współrzędnymi sferycznymi a kartezjańskimi zachodzą zależności

${\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta ,\phi )=(r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta ).}$

Stąd wyprowadza się wzór na długość krzywej wyrażonej we współrzędnych sferycznych

${\displaystyle L_{C}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}\,}}dt.}$

(2) Współrzędne cylindryczne

Analogicznie wzór na długość krzywej we współrzędnych cylindrycznych ma postać

${\displaystyle L_{C}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\,}}dt}$

Przestrzenie nieeuklidesowe – to przestrzenie metryczne, stanowiące uogólnienie pojęcia przestrzeni euklidesowej, w ogólności ${\displaystyle n}$-wymiarowe. Przestrzenie takie opisuje np. szczególna teoria względności oraz ogólna teoria względności Einsteina.

Odległość infinitezymalna między punktami: długość wektora ${\displaystyle d\mathbf {x} =(dx^{1},\dots ,dx^{n})}$ łączącego punkt ${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n})}$ z infinitezymalnie odległym punktem ${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {x} +d\mathbf {x} }$ zadana jest wzorem

${\displaystyle |d\mathbf {x} |={\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\mathbf {x} )dx^{i}dx^{j}}},}$

gdzie ${\displaystyle g_{ij}(\mathbf {x} ),i,j=1,\dots ,n}$ to współrzędne tensora metrycznego (będące funkcjami położenia ${\displaystyle \mathbf {x} }$).

Długość krzywej

Jeżeli krzywa ${\displaystyle \gamma }$ dana jest przez ${\displaystyle n}$ równań parametrycznych

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=[x^{1}(t),\dots ,x^{n}(t)],\quad t\in \langle a,b\rangle }$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {x} (a)=\mathbf {x} _{a},\,\,\mathbf {x} (b)=\mathbf {x} _{b}}$ – punkty początkowy i końcowy krzywej, to wektor infinitezymalnego przemieszczenia ${\displaystyle d\mathbf {x} (t)}$ wzdłuż krzywej ma postać

${\displaystyle d\mathbf {x} (t)=\left[{\frac {dx^{1}}{dt}},\dots ,{\frac {dx^{n}}{dt}}\right]dt.}$

Długość infinitezymalnego przemieszczenia jest pierwiastkiem z iloczynu skalarnego wektora ${\displaystyle d\mathbf {x} (t)}$ z samym sobą, tj.

${\displaystyle |d\mathbf {x} (t)|={\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\mathbf {x} (t)){\frac {dx^{i}(t)}{dt}}{\frac {dx^{j}(t)}{dt}}}}\,\,dt.}$

Długość łuku krzywej ${\displaystyle \gamma }$ jest równa całce z długości tych infinitezymalnych przemieszczeń, tj.

${\displaystyle L_{C}=\int \limits _{a}^{b}|d\mathbf {x} (t)|,}$

czyli ostatecznie mamy

${\displaystyle L_{C}=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\mathbf {x} (t)){\frac {dx^{i}(t)}{dt}}{\frac {dx^{j}(t)}{dt}}}}\,\,dt.}$

Uwaga:

Wyżej podane wzory na długości łuku krzywej w przestrzeniach 2D i 3D są szczególnymi przypadkami powyższego, ogólnego wzoru. Mianowicie:

(a) w układzie współrzędnych biegunowych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=[r(t),\phi (t)]}$ (por. Przykłady obliczeń tensora metrycznego)

${\displaystyle g_{11}=1,\quad g_{22}=r}$

– stąd wynika wzór (3) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych,

(b) w układzie współrzędnych sferycznych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=[r(t),\theta (t),\phi (t)]}$

${\displaystyle g_{11}=1,\quad g_{22}=r,\quad g_{33}=r\sin(\theta )}$

– stąd wynika wzór (1) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych,

(c) w układzie współrzędnych cylindrycznych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=[r(t),\theta (t),z(t)]}$

${\displaystyle g_{11}=1,\quad g_{22}=r,\quad g_{33}=1}$

– stąd wynika wzór (2) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych.

Pomiaru długości krzywych w przestrzeniach nieeuklidesowych:

• rozmaitość – tu. m.in. Krzywe na rozmaitości
• rozmaitość riemannowska – rozdział: Krzywa w rozmaitości
• rozmaitość pseudoriemannowska

Krzywe nieprostowalne^[2]:

• krzywa Kocha
• krzywa Peana

Inne

• całka krzywoliniowa
• fraktal
• lista krzywych
• wektor styczny do krzywej
• wahanie funkcji

• N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka, PWN, Warszawa 2010.
• T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974.

• Długość krzywej – filmik po polsku, Khan Academy
• Długość krzywej zadanej w postaci biegunowej – filmik po polsku, Khan Academy