Matrika zamenjave

Matrika zamenjave je posebna oblika permutacijske matrike. Ta vrsta matrike ima elemente, ki so enaki ${\displaystyle 1\,}$ na antidiagonali, ki poteka od desnega zgornjega kota do levega spodnjega kota matrike, na ostalih mestih pa ima same ničle. To pomeni, da matriko zamenjave dobimo z zamenjavo vrstic ali zamenjavo stolpcev v enotski matriki.

${\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}};\quad J_{n}={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&0&1\\0&0&\cdots &0&1&0\\0&0&\cdots &1&0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots \\0&1&\cdots &0&0&0\\1&0&\cdots &0&0&0\end{pmatrix}}.}$

Če z ${\displaystyle J\,}$ označimo matriko, potem je posamezen element v matriki enak

${\displaystyle J_{i,j}={\begin{cases}1,&j=n-i+1\\0,&j\neq n-i+1\\\end{cases}}}$

• ${\displaystyle J^{T}=J\,}$
• ${\displaystyle J^{n}=I\,}$ za parne ${\displaystyle n\,}$ oziroma ${\displaystyle J^{n}=J\,}$ za neparne ${\displaystyle n\,}$. Matrika ${\displaystyle J\,}$ je involutarna matrika, kar pomeni, da je ${\displaystyle J^{-1}=J\,}$
• sled matrike ${\displaystyle J\,}$ \,</math> je 1, če je ${\displaystyle n\,}$ neparen oziroma je enak 0, če je ${\displaystyle n\,}$ paren
• katerakoli matrika ${\displaystyle A\,}$ \,</math> za katero velja ${\displaystyle AJ=JA\,}$ je matrika ${\displaystyle A\,}$ centrosimetrična matrika
• kadar pa za matriko ${\displaystyle A\,}$ velja ${\displaystyle AJ=JA^{T}\,}$ je matrika ${\displaystyle A\,}$ persimetrična

• seznam vrst matrik

• Matrika zamenjave v Priročniku za matrike Arhivirano 2011-06-06 na Wayback Machine. (angleško)
• Lastnosti matrike zamenjave Arhivirano 2010-12-30 na Wayback Machine. (angleško)