Involutarna matrika

Involutarna matrika je matrika, ki je enaka svoji obratni matriki. Zanjo velja

${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}=I}$

kjer je

• ${\displaystyle A\,}$ matrika
• ${\displaystyle I\,}$ enotska matrika

Ena izmed treh vrst elementarnih matrik je involutarna. To so matrike, ki imajo zamenjane vrstice. Druga vrsta elementarnih matrik, ki jih dobimo z množenjem vrstice ali stolpca z -1, so tudi involutarne.

Involutarne matrike so kvadratni koreni enotske matrike. Če je ${\displaystyle A\,}$ matrika ${\displaystyle n\times n\,}$, potem je ${\displaystyle A\,}$ involutarna samo, če in samo, če je ${\displaystyle 1/2(A+I)\,}$ idempotentna matrika.

Involutarne matrike so simetrične in ortogonalne in tako predstavljajo izometrijo. Matrika zrcaljenja je tudi involutarna matrika.

${\displaystyle {\begin{array}{cc}\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}};&\mathbf {I} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {R} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}};&\mathbf {R} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}};&\mathbf {S} ^{-1}={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\\\end{array}}}$

kjer je

• ${\displaystyle I\,}$ enotska matrika
• ${\displaystyle R\,}$ matrika, ki ima dve vrstici zamenjani
• ${\displaystyle S\,}$ matrika oznak.

• seznam vrst matrik

• Involutarna matrika na MathWorld (angleško)