Srčnica

Sŕčnica (tudi kardioída) (iz starogrške besede starogrško καρδία, kar pomeni srce) je ravninska krivulja, ki nastane pri vrtenju krožnice po drugi negibni krožnici z enakim polmerom. Pri tem se spremlja negibna točka na gibajoči se krožnici.

Parametrična oblika enačbe srčnice je:

${\displaystyle x=a(2\cos t-\cos 2t)\!\,,}$

${\displaystyle y=a(2\sin t-\sin 2t)\!\,.}$

To se v kompleksni ravnini lahko zapiše kot:

${\displaystyle z=a(2e^{it}-e^{2it})\!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle a\,}$ polmer krožnice, ki dela krivuljo. Negibna krožnica ima središče v koordinatnem izhodišču.

Točka, ki dela krivuljo, se krivulje dotika samo v eni točki, to je točka ${\displaystyle (a,0)\,}$, kjer ima krivulja konico.

Če se eliminira parameter ${\displaystyle t\,}$, je:

${\displaystyle (z{\bar {z}}-a^{2})^{2}-4a^{2}(z-a)({\bar {z}}-a)=0\!\,,}$

to pa je v pravokotnem koordinatnem sistemu:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-a^{2})^{2}-4a^{2}((x-a)^{2}+y^{2})=0\!\,.}$

Enačbo se lahko tudi poenostavi tako, da se negibna krožnica premakne v desno, in se gibajoča se krožnica dotika negibne v izhodišču. To spremeni orientacijo krivulje tako, da je konica krivulje na levi strani. V tem primeru je parametrična oblika enačbe:

${\displaystyle x=a(1+2\cos t+\cos 2t)\!\,,}$

${\displaystyle y=a(2\sin t+\sin 2t)\!\,.}$

V kompleksni ravnini je to:

${\displaystyle z=a(1+2e^{it}+e^{2it})=a(1+e^{it})^{2}\!\,.}$

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba srčnice:

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-2ax\right)^{2}=4a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\!\,.}$

• posebna oblika srčnice je krivulja polž
• srčnica je posebna oblika epicikloide
• srčnica je katakavstika krožnice z izvorom svetlobe na krožnici
• evoluta srčnice je druga srčnica ^[1]

• ploščina ploskve, ki jo zavzema srčnica, je enaka:

${\displaystyle p=6\pi a^{2}\!\,.}$

To je 6 krat več kot je ploščina posameznega kroga, ki je sodeloval pri izdelavi srčnice.

• dolžina loka srčnice se lahko izračuna iz:

${\displaystyle L=16a\!\,.}$

Nekatere kavstike imajo obliko srčnice.

Srčnica je inverzna krivulja parabole. Kadar se poišče inverzno krivuljo glede na krožnico, katere središče leži v gorišču parabole, se vedno dobi srčnica. Konica srčnice leži v središču krožnice.

Ni pa vsaka inverzna krivulja parabole srčnica. Na primer: če se poišče inverzno krivuljo za parabolo glede na krožnico, katere središče leži na vrhu parabole, se dobi Dioklesovo cisoido.

• Srčnica (tudi animacije) (francosko)
• Kontrapedala ali ortokavstika (francosko)
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Cardioid«. MathWorld.
• Srčnica (angleško)