در هندسه ، دل‌گون (انگلیسی : Cardioid منحنی مسطح است که توسط یک نقطه در محیط یک دایره که به دور یک دایره ثابت با شعاع یکسان می‌غلتد، رسم می‌شود. همچنین می‌توان آن را به عنوان یک برون‌چرخ‌زاد با یک نقطه بازگشت (تیزه) تعریف کرد. همچنین نوعی مارپیچ سینوسی و یک وارون منحنی سهمی با کانون به عنوان مرکز وارونگی است.[ ۱] [ ۲]
دل‌گون تولید شده توسط یک دایره غلتان روی یک دایره با همان شعاع این نام توسط جیووانی سالوینی در سال ۱۷۴۱ ابداع شد[ ۳] [ ۴] سیب گرد بدون ساقه است.[ ۵]
میکروفون الگوی دریافت صوت‌شناسی را نشان می‌دهد که وقتی در دو بعد رسم می‌شود، شبیه یک دل‌گون است (هر صفحه دوبعدی شامل خط مستقیم سه‌بعدی بدنه میکروفون). در سه بعد، دل‌گون به شکل یک سیب در اطراف میکروفون است که "ساقه" سیب است.
تولید یک دل‌گون و دستگاه مختصات مورد استفاده فرض کنید
a
{\displaystyle a}
(
−
a
,
0
)
,
(
a
,
0
)
{\displaystyle (-a,0),(a,0)}
φ
{\displaystyle \varphi }
معادله پارامتری :
x
(
φ
)
=
2
a
(
1
−
cos
φ
)
⋅
cos
φ
,
y
(
φ
)
=
2
a
(
1
−
cos
φ
)
⋅
sin
φ
,
0
≤
φ
<
2
π
{\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=2a(1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi \ ,\\y(\varphi )&=2a(1-\cos \varphi )\cdot \sin \varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi \end{aligned}}}
دستگاه مختصات قطبی :
r
(
φ
)
=
2
a
(
1
−
cos
φ
)
.
{\displaystyle r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi ).}
با معرفی جایگزینی‌های
cos
φ
=
x
/
r
{\displaystyle \cos \varphi =x/r}
r
=
x
2
+
y
2
{\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
دستگاه مختصات دکارتی به دست می‌آید:
(
x
2
+
y
2
)
2
+
4
a
x
(
x
2
+
y
2
)
−
4
a
2
y
2
=
0.
{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+4ax\left(x^{2}+y^{2}\right)-4a^{2}y^{2}=0.}
یک اثبات را می‌توان با استفاده از اعداد مختلط و توصیف رایج آنها به عنوان صفحه مختلط ایجاد کرد. حرکت غلتشی دایره سیاه روی دایره آبی را می‌توان به دو چرخش تقسیم کرد. در صفحه مختلط، چرخش حول نقطه
0
{\displaystyle 0}
φ
{\displaystyle \varphi }
z
{\displaystyle z}
e
i
φ
{\displaystyle e^{i\varphi }}
چرخش
Φ
+
{\displaystyle \Phi _{+}}
a
{\displaystyle a}
z
↦
a
+
(
z
−
a
)
e
i
φ
{\displaystyle z\mapsto a+(z-a)e^{i\varphi }}
چرخش
Φ
−
{\displaystyle \Phi _{-}}
−
a
{\displaystyle -a}
z
↦
−
a
+
(
z
+
a
)
e
i
φ
{\displaystyle z\mapsto -a+(z+a)e^{i\varphi }}
یک نقطه
p
(
φ
)
{\displaystyle p(\varphi )}
a
{\displaystyle a}
−
a
{\displaystyle -a}
φ
{\displaystyle \varphi }
p
(
φ
)
=
Φ
−
(
Φ
+
(
0
)
)
=
Φ
−
(
a
−
a
e
i
φ
)
=
−
a
+
(
a
−
a
e
i
φ
+
a
)
e
i
φ
=
a
(
−
e
i
2
φ
+
2
e
i
φ
−
1
)
.
{\displaystyle p(\varphi )=\Phi _{-}(\Phi _{+}(0))=\Phi _{-}\left(a-ae^{i\varphi }\right)=-a+\left(a-ae^{i\varphi }+a\right)e^{i\varphi }=a\;\left(-e^{i2\varphi }+2e^{i\varphi }-1\right).}
x
(
φ
)
=
a
(
−
cos
(
2
φ
)
+
2
cos
φ
−
1
)
=
2
a
(
1
−
cos
φ
)
⋅
cos
φ
y
(
φ
)
=
a
(
−
sin
(
2
φ
)
+
2
sin
φ
)
=
2
a
(
1
−
cos
φ
)
⋅
sin
φ
.
{\displaystyle {\begin{array}{cclcccc}x(\varphi )&=&a\;(-\cos(2\varphi )+2\cos \varphi -1)&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi &&\\y(\varphi )&=&a\;(-\sin(2\varphi )+2\sin \varphi )&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \sin \varphi &.&\end{array}}}
توابع مثلثاتی
e
i
φ
=
cos
φ
+
i
sin
φ
,
(
cos
φ
)
2
+
(
sin
φ
)
2
=
1
,
{\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\ (\cos \varphi )^{2}+(\sin \varphi )^{2}=1,}
cos
(
2
φ
)
=
(
cos
φ
)
2
−
(
sin
φ
)
2
,
{\displaystyle \cos(2\varphi )=(\cos \varphi )^{2}-(\sin \varphi )^{2},}
sin
(
2
φ
)
=
2
sin
φ
cos
φ
{\displaystyle \sin(2\varphi )=2\sin \varphi \cos \varphi }
برای دل‌گون که در بالا تعریف شد، فرمول‌های زیر برقرار هستند:
مساحت
A
=
6
π
a
2
{\displaystyle A=6\pi a^{2}}
طول کمان
L
=
16
a
{\displaystyle L=16a}
شعاع انحنا
ρ
(
φ
)
=
8
3
a
sin
φ
2
.
{\displaystyle \rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\,.}
اثبات این گزاره‌ها در هر دو مورد از نمایش قطبی دل‌گون استفاده می‌کند. برای فرمول‌های مناسب، به دستگاه مختصات قطبی و دستگاه مختصات قطبی مراجعه کنید.
اثبات فرمول مساحت —
A
=
2
⋅
1
2
∫
0
π
(
r
(
φ
)
)
2
d
φ
=
∫
0
π
4
a
2
(
1
−
cos
φ
)
2
d
φ
=
⋯
=
4
a
2
⋅
3
2
π
=
6
π
a
2
.
{\displaystyle A=2\cdot {\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{(r(\varphi ))^{2}}\;d\varphi =\int _{0}^{\pi }{4a^{2}(1-\cos \varphi )^{2}}\;d\varphi =\cdots =4a^{2}\cdot {\tfrac {3}{2}}\pi =6\pi a^{2}.}
اثبات فرمول طول کمان —
L
=
2
∫
0
π
r
(
φ
)
2
+
(
r
′
(
φ
)
)
2
d
φ
=
⋯
=
8
a
∫
0
π
1
2
(
1
−
cos
φ
)
d
φ
=
8
a
∫
0
π
sin
(
φ
2
)
d
φ
=
16
a
.
{\displaystyle L=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {r(\varphi )^{2}+(r'(\varphi ))^{2}}}\;d\varphi =\cdots =8a\int _{0}^{\pi }{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1-\cos \varphi )}}\;d\varphi =8a\int _{0}^{\pi }\sin \left({\tfrac {\varphi }{2}}\right)d\varphi =16a.}
وترهای یک دل‌گون C1
وتر نقطه بازگشت (تیزه) دل‌گون طول یکسانی برابر با
4
a
{\displaystyle 4a}
C2
نقاط میانی وترهای گذرنده از نوک روی محیط دایره مولد ثابت قرار دارند (به تصویر مراجعه کنید).نقاط
P
:
p
(
φ
)
,
Q
:
p
(
φ
+
π
)
{\displaystyle P:p(\varphi ),\;Q:p(\varphi +\pi )}
وتر گذرنده از نوک (=مبدأ) هستند. از این رو
|
P
Q
|
=
r
(
φ
)
+
r
(
φ
+
π
)
=
2
a
(
1
−
cos
φ
)
+
2
a
(
1
−
cos
(
φ
+
π
)
)
=
⋯
=
4
a
.
{\displaystyle {\begin{aligned}|PQ|&=r(\varphi )+r(\varphi +\pi )\\=2a(1-\cos \varphi )+2a(1-\cos(\varphi +\pi ))=\cdots =4a\end{aligned}}.}
برای اثبات از نمایش در صفحه مختلط (به بالا مراجعه کنید) استفاده می‌شود. برای نقاط
P
:
p
(
φ
)
=
a
(
−
e
i
2
φ
+
2
e
i
φ
−
1
)
{\displaystyle P:\ p(\varphi )=a\,\left(-e^{i2\varphi }+2e^{i\varphi }-1\right)}
Q
:
p
(
φ
+
π
)
=
a
(
−
e
i
2
(
φ
+
π
)
+
2
e
i
(
φ
+
π
)
−
1
)
=
a
(
−
e
i
2
φ
−
2
e
i
φ
−
1
)
,
{\displaystyle Q:\ p(\varphi +\pi )=a\,\left(-e^{i2(\varphi +\pi )}+2e^{i(\varphi +\pi )}-1\right)=a\,\left(-e^{i2\varphi }-2e^{i\varphi }-1\right),}
نقطه میانی وتر
P
Q
{\displaystyle PQ}
M
:
1
2
(
p
(
φ
)
+
p
(
φ
+
π
)
)
=
⋯
=
−
a
−
a
e
i
2
φ
{\displaystyle M:\ {\tfrac {1}{2}}(p(\varphi )+p(\varphi +\pi ))=\cdots =-a-ae^{i2\varphi }}
−
a
{\displaystyle -a}
a
{\displaystyle a}
[ ویرایش ] دل‌گونی که توسط وارونگی یک سهمی در دایره واحد (خط‌چین) ایجاد می‌شود دل‌گون وارون منحنی یک سهمی با کانون آن در مرکز وارونگی است (نمودار را ببینید). برای مثال نشان داده شده در نمودار، دایره‌های مولد دارای شعاع
a
=
1
2
{\textstyle a={\frac {1}{2}}}
r
(
φ
)
=
1
−
cos
φ
{\displaystyle r(\varphi )=1-\cos \varphi }
r
(
φ
)
=
1
1
−
cos
φ
,
{\displaystyle r(\varphi )={\frac {1}{1-\cos \varphi }},}
سهمی مراجعه کنید) با معادله
x
=
1
2
(
y
2
−
1
)
{\textstyle x={\tfrac {1}{2}}\left(y^{2}-1\right)}
توجه: هر وارون منحنی یک سهمی یک دل‌گون نیست. به عنوان مثال، اگر یک سهمی در یک دایره که مرکز آن در راس سهمی قرار دارد، معکوس شود، نتیجه یک cissoid of Diocles است.
[ ویرایش ] دل‌گون به عنوان پوشش یک دسته دایره در بخش قبل، اگر مماس‌های سهمی را نیز معکوس کنید، یک مداد (هندسه) (دسته) از دایره‌ها از مرکز وارونگی (مبدأ) به دست می‌آید. یک بررسی دقیق نشان می‌دهد: نقاط میانی دایره‌ها روی محیط دایره مولد ثابت قرار دارند. (دایره مولد، وارون منحنی خط هادی سهمی است.)
این ویژگی منجر به روش ساده زیر برای رسم یک دل‌گون می‌شود:
یک دایره
c
{\displaystyle c}
O
{\displaystyle O}
دایره‌هایی را که شامل
O
{\displaystyle O}
c
{\displaystyle c}
پوشش این دایره‌ها را رسم کنید. اثبات با شرط پوشش —
پوشش دسته منحنی‌های داده شده به صورت ضمنی
F
(
x
,
y
,
t
)
=
0
{\displaystyle F(x,y,t)=0}
t
{\displaystyle t}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
F
(
x
,
y
,
t
)
=
0
,
F
t
(
x
,
y
,
t
)
=
0
,
{\displaystyle F(x,y,t)=0,\quad F_{t}(x,y,t)=0,}
منحنی محاطی است. توجه داشته باشید که
F
t
{\displaystyle F_{t}}
مشتق جزئی برای پارامتر
t
{\displaystyle t}
فرض کنید
c
{\displaystyle c}
(
−
1
,
0
)
{\displaystyle (-1,0)}
1
{\displaystyle 1}
c
{\displaystyle c}
(
−
1
+
cos
t
,
sin
t
)
{\displaystyle (-1+\cos t,\sin t)}
c
{\displaystyle c}
O
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle O=(0,0)}
F
(
x
,
y
,
t
)
=
(
x
+
1
−
cos
t
)
2
+
(
y
−
sin
t
)
2
−
(
2
−
2
cos
t
)
=
0
,
{\displaystyle F(x,y,t)=(x+1-\cos t)^{2}+(y-\sin t)^{2}-(2-2\cos t)=0,}
F
(
x
,
y
,
t
)
=
x
2
+
y
2
+
2
x
(
1
−
cos
t
)
−
2
y
sin
t
=
0
.
{\displaystyle F(x,y,t)=x^{2}+y^{2}+2x\;(1-\cos t)-2y\;\sin t=0\;.}
F
t
(
x
,
y
,
t
)
=
2
x
sin
t
−
2
y
cos
t
=
0.
{\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x\;\sin t-2y\;\cos t=0.}
x
(
t
)
=
2
(
1
−
cos
t
)
cos
t
,
y
(
t
)
=
2
(
1
−
cos
t
)
sin
t
{\displaystyle x(t)=2(1-\cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1-\cos t)\sin t}
t
{\displaystyle t}
[ ویرایش ] دل‌گون به عنوان پوشش یک دسته خط یک روش مشابه و ساده برای رسم دل‌گون از یک دسته «خط» استفاده می‌کند. این روش به لوئیجی کرمونا نسبت داده می‌شود:
یک دایره رسم کنید، محیط آن را به قسمت‌های با فاصله مساوی با
2
N
{\displaystyle 2N}
وترها را رسم کنید:
(
1
,
2
)
,
(
2
,
4
)
,
…
,
(
n
,
2
n
)
,
…
,
(
N
,
2
N
)
,
(
N
+
1
,
2
)
,
(
N
+
2
,
4
)
,
…
{\displaystyle (1,2),(2,4),\dots ,(n,2n),\dots ,(N,2N),(N+1,2),(N+2,4),\dots }
«پوشش» این وترها یک دل‌گون است. تولید کرمونا از یک دل‌گون بررسی زیر از فهرست اتحادهای مثلثاتی برای
cos
α
+
cos
β
{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta }
sin
α
+
sin
β
{\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta }
1
+
cos
2
α
{\displaystyle 1+\cos 2\alpha }
cos
2
α
{\displaystyle \cos 2\alpha }
sin
2
α
{\displaystyle \sin 2\alpha }
r
=
2
(
1
+
cos
φ
)
{\displaystyle r=2(1\mathbin {\color {red}+} \cos \varphi )}
§ Cardioids in different positions
معادله مماس دل‌گون با نمایش قطبی r = 2(1 + cos φ)[ ویرایش ] از نمایش پارامتری
x
(
φ
)
=
2
(
1
+
cos
φ
)
cos
φ
,
y
(
φ
)
=
2
(
1
+
cos
φ
)
sin
φ
{\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=2(1+\cos \varphi )\cos \varphi ,\\y(\varphi )&=2(1+\cos \varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}
بردار نرمال
n
→
=
(
y
˙
,
−
x
˙
)
T
{\displaystyle {\vec {n}}=\left({\dot {y}},-{\dot {x}}\right)^{\mathsf {T}}}
y
˙
(
φ
)
⋅
(
x
−
x
(
φ
)
)
−
x
˙
(
φ
)
⋅
(
y
−
y
(
φ
)
)
=
0
{\displaystyle {\dot {y}}(\varphi )\cdot (x-x(\varphi ))-{\dot {x}}(\varphi )\cdot (y-y(\varphi ))=0}
(
cos
2
φ
+
cos
φ
)
⋅
x
+
(
sin
2
φ
+
sin
φ
)
⋅
y
=
2
(
1
+
cos
φ
)
2
.
{\displaystyle (\cos 2\varphi +\cos \varphi )\cdot x+(\sin 2\varphi +\sin \varphi )\cdot y=2(1+\cos \varphi )^{2}\,.}
با کمک فرمول‌های مثلثاتی و تقسیم بعدی بر
cos
1
2
φ
{\textstyle \cos {\frac {1}{2}}\varphi }
cos
(
3
2
φ
)
⋅
x
+
sin
(
3
2
φ
)
⋅
y
=
4
(
cos
1
2
φ
)
3
0
<
φ
<
2
π
,
φ
≠
π
.
{\displaystyle \cos({\tfrac {3}{2}}\varphi )\cdot x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)\cdot y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\varphi \right)^{3}\quad 0<\varphi <2\pi ,\ \varphi \neq \pi .}
معادله وتر دایره با نقطه میانی (1,0) و شعاع ۳[ ویرایش ] برای معادله خط قاطع که از دو نقطه
(
1
+
3
cos
θ
,
3
sin
θ
)
,
(
1
+
3
cos
2
θ
,
3
sin
2
θ
)
)
{\displaystyle (1+3\cos \theta ,3\sin \theta ),\ (1+3\cos {\color {red}2}\theta ,3\sin {\color {red}2}\theta ))}
(
sin
θ
−
sin
2
θ
)
x
+
(
cos
2
θ
−
sin
θ
)
y
=
−
2
cos
θ
−
sin
(
2
θ
)
.
{\displaystyle (\sin \theta -\sin 2\theta )x+(\cos 2\theta -\sin \theta )y=-2\cos \theta -\sin(2\theta )\,.}
با کمک فرمول‌های مثلثاتی و تقسیم بعدی بر
sin
1
2
θ
{\textstyle \sin {\frac {1}{2}}\theta }
cos
(
3
2
θ
)
⋅
x
+
sin
(
3
2
θ
)
⋅
y
=
4
(
cos
1
2
θ
)
3
0
<
θ
<
2
π
.
{\displaystyle \cos \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right)\cdot x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right)\cdot y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{3}\quad 0<\theta <2\pi .}
به‌رغم اینکه دو زاویه
φ
,
θ
{\displaystyle \varphi ,\theta }
φ
=
θ
{\displaystyle \varphi =\theta }
«دل‌گون پوشش وترهای یک دایره است». اثبات را می‌توان با کمک «شرایط پوشش» (به بخش قبل مراجعه کنید) از یک دسته ضمنی منحنی‌ها انجام داد:
F
(
x
,
y
,
t
)
=
cos
(
3
2
t
)
x
+
sin
(
3
2
t
)
y
−
4
(
cos
1
2
t
)
3
=
0
{\displaystyle F(x,y,t)=\cos \left({\tfrac {3}{2}}t\right)x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)y-4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}t\right)^{3}=0}
دسته خطوط قاطع یک دایره (به بالا مراجعه کنید) است و
F
t
(
x
,
y
,
t
)
=
−
3
2
sin
(
3
2
t
)
x
+
3
2
cos
(
3
2
t
)
y
+
3
cos
(
1
2
t
)
sin
t
=
0
.
{\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-{\tfrac {3}{2}}\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)x+{\tfrac {3}{2}}\cos \left({\tfrac {3}{2}}t\right)y+3\cos \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\sin t=0\,.}
برای پارامتر ثابت t، هر دو معادله نشان دهنده خطوط هستند. نقطه تقاطع آنها
x
(
t
)
=
2
(
1
+
cos
t
)
cos
t
,
y
(
t
)
=
2
(
1
+
cos
t
)
sin
t
,
{\displaystyle x(t)=2(1+\cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1+\cos t)\sin t,}
است که یک نقطه از دل‌گون با معادله قطبی
r
=
2
(
1
+
cos
t
)
{\displaystyle r=2(1+\cos t)}
دل‌گون به عنوان «کاستیک»: منبع نور
Z
{\displaystyle Z}
s
→
{\displaystyle {\vec {s}}}
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}}
دل‌گون به عنوان کاستیک یک دایره با منبع نور (راست) روی محیط [ ویرایش ] ملاحظات انجام شده در بخش قبل، اثباتی ارائه می‌دهد که کاستیک یک دایره با منبع نور در محیط دایره، یک دل‌گون است.
اگر در صفحه یک منبع نور در نقطه‌ای
Z
{\displaystyle Z}
اثبات —
همانطور که در بخش قبل گفته شد، دایره می‌تواند نقطه میانی
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
3
{\displaystyle 3}
c
(
φ
)
=
(
1
+
3
cos
φ
,
3
sin
φ
)
.
{\displaystyle c(\varphi )=(1+3\cos \varphi ,3\sin \varphi )\ .}
C
:
k
(
φ
)
{\displaystyle C:\ k(\varphi )}
n
→
t
=
(
cos
φ
,
sin
φ
)
T
{\displaystyle {\vec {n}}_{t}=(\cos \varphi ,\sin \varphi )^{\mathsf {T}}}
n
→
r
=
(
cos
3
2
φ
,
sin
3
2
φ
)
T
{\displaystyle {\vec {n}}_{r}=\left(\cos {\color {red}{\tfrac {3}{2}}}\varphi ,\sin {\color {red}{\tfrac {3}{2}}}\varphi \right)^{\mathsf {T}}}
C
:
(
1
+
3
cos
φ
,
3
sin
φ
)
{\displaystyle C:\ (1+3\cos \varphi ,3\sin \varphi )}
cos
(
3
2
φ
)
x
+
sin
(
3
2
φ
)
y
=
4
(
cos
1
2
φ
)
3
,
{\displaystyle \cos \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\varphi \right)^{3}\,,}
r
=
2
(
1
+
cos
φ
)
{\displaystyle r=2(1+\cos \varphi )}
توجه: برای چنین ملاحظاتی معمولاً بازتاب‌های چندگانه در دایره نادیده گرفته می‌شوند.
[ ویرایش ] نقطه دل‌گون، پای عمود انداخته شده بر مماس دایره است تولید کرمونا از یک دل‌گون نباید با تولید زیر اشتباه گرفته شود:
فرض کنید
k
{\displaystyle k}
O
{\displaystyle O}
«پا»های عمودهای از نقطه
O
{\displaystyle O}
k
{\displaystyle k}
از این رو یک دل‌گون یک منحنی پدال خاص از یک دایره است.
در یک دستگاه مختصات دکارتی، دایره
k
{\displaystyle k}
(
2
a
,
0
)
{\displaystyle (2a,0)}
2
a
{\displaystyle 2a}
(
2
a
+
2
a
cos
φ
,
2
a
sin
φ
)
{\displaystyle (2a+2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi )}
(
x
−
2
a
)
⋅
cos
φ
+
y
⋅
sin
φ
=
2
a
.
{\displaystyle (x-2a)\cdot \cos \varphi +y\cdot \sin \varphi =2a\,.}
O
{\displaystyle O}
(
r
cos
φ
,
r
sin
φ
)
{\displaystyle (r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}
r
{\displaystyle r}
O
{\displaystyle O}
(
r
cos
φ
−
2
a
)
cos
φ
+
r
sin
2
φ
=
2
a
→
r
=
2
a
(
1
+
cos
φ
)
{\displaystyle (r\cos \varphi -2a)\cos \varphi +r\sin ^{2}\varphi =2a\quad \rightarrow \quad r=2a(1+\cos \varphi )}
توجه: اگر نقطه
O
{\displaystyle O}
k
{\displaystyle k}
حلزون پاسکال به دست می‌آید.
دل‌گون
گسترنده دل‌گون
یک نقطه P؛ مرکز انحنای آن M؛ و دایره بوسان آن.
گسترنده یک منحنی، مکان هندسی مراکز انحنا است. به‌طور خاص: برای یک منحنی
x
→
(
s
)
=
c
→
(
s
)
{\displaystyle {\vec {x}}(s)={\vec {c}}(s)}
ρ
(
s
)
{\displaystyle \rho (s)}
X
→
(
s
)
=
c
→
(
s
)
+
ρ
(
s
)
n
→
(
s
)
.
{\displaystyle {\vec {X}}(s)={\vec {c}}(s)+\rho (s){\vec {n}}(s).}
n
→
(
s
)
{\displaystyle {\vec {n}}(s)}
برای یک دل‌گون به دست می‌آید:
«گسترنده» یک دل‌گون یک دل‌گون دیگر است که یک سوم کوچکتر است و در جهت مخالف قرار دارد (به تصویر مراجعه کنید). برای دل‌گون با نمایش پارامتری
x
(
φ
)
=
2
a
(
1
−
cos
φ
)
cos
φ
=
4
a
sin
2
φ
2
cos
φ
,
{\displaystyle x(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\cos \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi \,,}
y
(
φ
)
=
2
a
(
1
−
cos
φ
)
sin
φ
=
4
a
sin
2
φ
2
sin
φ
{\displaystyle y(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\sin \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi }
n
→
(
φ
)
=
(
−
sin
3
2
φ
,
cos
3
2
φ
)
{\displaystyle {\vec {n}}(\varphi )=(-\sin {\tfrac {3}{2}}\varphi ,\cos {\tfrac {3}{2}}\varphi )}
ρ
(
φ
)
=
8
3
a
sin
φ
2
.
{\displaystyle \rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\,.}
X
(
φ
)
=
4
a
sin
2
φ
2
cos
φ
−
8
3
a
sin
φ
2
⋅
sin
3
2
φ
=
⋯
=
4
3
a
cos
2
φ
2
cos
φ
−
4
3
a
,
{\displaystyle X(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {4}{3}}a\,,}
Y
(
φ
)
=
4
a
sin
2
φ
2
sin
φ
+
8
3
a
sin
φ
2
⋅
cos
3
2
φ
=
⋯
=
4
3
a
cos
2
φ
2
sin
φ
.
{\displaystyle Y(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi +{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi \,.}
−
4
3
a
{\displaystyle -{\tfrac {4}{3}}a}
(از فرمول‌های مثلثاتی زیر استفاده شد:
sin
3
2
φ
=
sin
φ
2
cos
φ
+
cos
φ
2
sin
φ
,
cos
3
2
φ
=
⋯
,
sin
φ
=
2
sin
φ
2
cos
φ
2
,
cos
φ
=
⋯
.
{\displaystyle \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi +\cos {\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi \ ,\ \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ,\ \sin \varphi =2\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos {\tfrac {\varphi }{2}},\ \cos \varphi =\cdots \ .}
تعامد (جبر خطی) دلگونهامسیر متعامد یک دسته منحنی، منحنی است که هر منحنی از دسته را به صورت متعامد قطع می‌کند. برای دل‌گون‌ها موارد زیر صادق است:
مسیرهای متعامد دسته دل‌گون‌ها با معادلات
r
=
2
a
(
1
−
cos
φ
)
,
a
>
0
,
{\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )\ ,\;a>0\ ,\ }
دل‌گون‌هایی با معادلات
r
=
2
b
(
1
+
cos
φ
)
,
b
>
0
.
{\displaystyle r=2b(1+\cos \varphi )\ ,\;b>0\ .}
هستند.
(دسته دوم را می‌توان به عنوان بازتاب دسته اول در محور y در نظر گرفت. به نمودار مراجعه کنید.)
برای یک منحنی داده شده در دستگاه مختصات قطبی توسط یک تابع
r
(
φ
)
{\displaystyle r(\varphi )}
x
(
φ
)
=
r
(
φ
)
cos
φ
,
y
(
φ
)
=
r
(
φ
)
sin
φ
{\displaystyle {\begin{aligned}x(\varphi )&=r(\varphi )\cos \varphi \,,\\y(\varphi )&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}
و برای مشتقات
d
x
d
φ
=
r
′
(
φ
)
cos
φ
−
r
(
φ
)
sin
φ
,
d
y
d
φ
=
r
′
(
φ
)
sin
φ
+
r
(
φ
)
cos
φ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \,,\\{\frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi \,.\end{aligned}}}
تقسیم معادله دوم بر اول، شیب دکارتی خط مماس بر منحنی در نقطه
(
r
(
φ
)
,
φ
)
{\displaystyle (r(\varphi ),\varphi )}
d
y
d
x
=
r
′
(
φ
)
sin
φ
+
r
(
φ
)
cos
φ
r
′
(
φ
)
cos
φ
−
r
(
φ
)
sin
φ
.
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}
برای دل‌گون‌ها با معادلات
r
=
2
a
(
1
−
cos
φ
)
{\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )\;}
r
=
2
b
(
1
+
cos
φ
)
{\displaystyle r=2b(1+\cos \varphi )\ }
d
y
a
d
x
=
cos
(
φ
)
−
cos
(
2
φ
)
sin
(
2
φ
)
−
sin
(
φ
)
{\displaystyle {\frac {dy_{a}}{dx}}={\frac {\cos(\varphi )-\cos(2\varphi )}{\sin(2\varphi )-\sin(\varphi )}}}
d
y
b
d
x
=
−
cos
(
φ
)
+
cos
(
2
φ
)
sin
(
2
φ
)
+
sin
(
φ
)
.
{\displaystyle {\frac {dy_{b}}{dx}}=-{\frac {\cos(\varphi )+\cos(2\varphi )}{\sin(2\varphi )+\sin(\varphi )}}\ .}
(شیب هر منحنی فقط به
φ
{\displaystyle \varphi }
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
از این رو
d
y
a
d
x
⋅
d
y
b
d
x
=
⋯
=
−
cos
2
φ
−
cos
2
(
2
φ
)
sin
2
(
2
φ
)
−
sin
2
φ
=
−
−
1
+
cos
2
φ
+
1
−
cos
2
2
φ
sin
2
(
2
φ
)
−
sin
2
(
φ
)
=
−
1
.
{\displaystyle {\frac {dy_{a}}{dx}}\cdot {\frac {dy_{b}}{dx}}=\cdots =-{\frac {\cos ^{2}\varphi -\cos ^{2}(2\varphi )}{\sin ^{2}(2\varphi )-\sin ^{2}\varphi }}=-{\frac {-1+\cos ^{2}\varphi +1-\cos ^{2}2\varphi }{\sin ^{2}(2\varphi )-\sin ^{2}(\varphi )}}=-1\,.}
۴ دل‌گون در نمایش قطبی و موقعیت آنها در دستگاه مختصات انتخاب موقعیت‌های دیگر دل‌گون در دستگاه مختصات منجر به معادلات متفاوتی می‌شود. تصویر، ۴ موقعیت رایج یک دل‌گون و معادلات قطبی آنها را نشان می‌دهد.
مرز منطقه مرکزی، دوره ۱، مجموعه مندلبرو یک دل‌گون دقیق است.در آنالیز مختلط ، تصویر هر دایره‌ای که از مبدأ عبور می‌کند تحت نگاشت
z
→
z
2
{\displaystyle z\to z^{2}}
مجموعه مندلبرو یک دل‌گون است که با معادله پارامتری زیر داده می‌شود:
c
=
1
−
(
e
i
t
−
1
)
2
4
.
{\displaystyle c\,=\,{\frac {1-\left(e^{it}-1\right)^{2}}{4}}.}
مجموعه مندلبرو شامل تعداد نامتناهی از کپی‌های کمی تحریف شده از خودش است و پیاز مرکزی هر یک از این کپی‌های کوچکتر، یک دل‌گون تقریبی است.
دل‌گون تشکیل شده توسط نور روی یک ساعت مچی . برخی کاستیک‌ها می‌توانند شکل دل‌گون به خود بگیرند. کاتاکاستیک یک دایره نسبت به یک نقطه روی محیط آن، یک دل‌گون است. همچنین، کاتاکاستیک یک مخروط نسبت به پرتوهای موازی با یک خط مولد، سطحی است که مقطع آن یک دل‌گون است. این را می‌توان، همانطور که در عکس سمت راست دیده می‌شود، در یک فنجان مخروطی که تا حدی با مایع پر شده است، زمانی که نور از فاصله‌ای دور و با زاویه‌ای برابر با زاویه مخروط می‌تابد، مشاهده کرد.[ ۶] گرده‌گون (نفروئید) است که بسیار شبیه به نظر می‌رسد.
ایجاد یک دل‌گون به عنوان منحنی پدال یک دایره
