Výrok (logika)

Výrok je výraz, ktorý má práve jednu pravdivostnú hodnotu. Výrokmi nie sú opytovacie, rozkazovacie, zvolacie a neúplné vety.

V matematickej logike je výrok čokoľvek v jazykovom tvare, čo vyjadruje nejaké tvrdenie, alebo čokoľvek v jazykovom tvare, čomu možno priznať pravdu alebo nepravdu. Výrok je taká gramatická veta, pre ktorú má zmysel otázka na jej platnosť (správnosť, pravdivosť), t. j. otázka, či ten výrok platí, alebo či ten výrok neplatí. Namiesto slov platí a neplatí používajú sa aj slová správny a nesprávny alebo pravdivý a nepravdivý. Z hľadiska platnosti rozoznávame teda výroky platné, ktorý má pravdivostnú hodnotu (1), a neplatné, ktorý má pravdivostnú hodnotu (0).^[1]

Vo výrokovej logike je výrok výraz, ktorým sa tvrdí, že niečo je, alebo nie je (že niečo bolo, alebo nebolo, bude, alebo nebude), za predpokladu, že o tomto tvrdení možno rozumne povedať, že je pravdivé, alebo že je nepravdivé. Výroková logika rozlišuje jednoduché výroky a zložené výroky.^[2]

Zložený výrok je vo výrokovej logike výrok, ktorý vznikne z jednoduchých výrokov (prvotných formúl) aplikáciou jednej alebo viacerých logických spojok (funktorov).
Na základe definície výrokovej formuly môžeme povedať, že zložený výrok je výroková formula, ktorá súčasne nie je prvotnou formulou a teda obsahuje zložky, ktoré sú sami prvotnými formulami.
Základnými výrokovými operáciami, pomocou ktorých možno tvoriť zložené výroky, sú

• negácia (${\displaystyle \lnot }$)
• konjunkcia (${\displaystyle \land }$)
• disjunkcia (${\displaystyle \lor }$)
• implikácia (${\displaystyle \to }$)
• ekvivalencia (${\displaystyle \leftrightarrow }$)

Tabuľka pravdivostných hodnôt zložených výrokov

Názov	Symbol	Pravdivostné hodnoty				Slovne
Výrok A	A	1	1	0	0
Výrok B	B	1	0	1	0
Konjunkcia	A ∧ B	1	0	0	0	Konjunkcia A ∧ B je pravdivý výrok práve vtedy, ak A, B sú obidva pravdivé výroky.
Disjunkcia	A ∨ B	1	1	1	0	Disjunkcia A ∨ B je pravdivý výrok práve vtedy, ak aspoň jeden z výrokov A, B je pravdivý.
Implikácia	A ${\displaystyle \Rightarrow \!\,}$ B	1	0	1	1	Implikácia A ${\displaystyle \Rightarrow \!\,}$ B je pravdivý výrok práve vtedy, ak nenastane situácia, že výrok A je pravdivý a súčasne výrok B je nepravdivý.
Ekvivalencia	A ${\displaystyle \Leftrightarrow \!\,}$ B	1	0	0	1	Ekvivalencia A ${\displaystyle \Leftrightarrow \!\,}$ B je pravdivý výrok práve vtedy, ak výroky A, B majú rovnakú pravdivostnú hodnotu. Výroky A, B sú ekvivalentné, ak platia obe implikácie A ${\displaystyle \Rightarrow \!\,}$ B, B ${\displaystyle \Rightarrow \!\,}$ A.[3]

• Konjunkcia  – „Idem do školy a prší.”

• Disjunkcia  – „23 alebo 6 je prvočíslo”

• Implikácia  – „Ak vonku sneží, tak nejdem do práce.”
• Ekvivalencia  – „V sobotu pôjdeme do lesa práve vtedy, ak v nedeľu pôjdeme na návštevu."

Jednoduchý (elementárny alebo atomický) výrok je výrok, ktorý neobsahuje logické spojky. Je logicky nedeliteľný a je reprezentovaný výrokovými premennými (alebo výrokovými symbolmi).

• „volám sa Marek”

• „včera pršalo”

• „71 je prvočíslo”

Negácia je logické prevrátenie hodnoty alebo výroku. Označuje sa znakom  ${\displaystyle \neg }$ alebo apostrofom za výrokom '. Ak máme výrok A, potom negácia výroku  môže vyzerať takto ${\displaystyle \neg }$A alebo A' . Slovne negáciu vytvoríme tak, že pred výrok povieme „Nie je pravda, že ... .“ , alebo pomocou predpony „ne ..“, slovného spojenia „nie je“.

Tabuľka pravdivostných hodnôt negácie zložených výrokov

A	B	A´(${\displaystyle \neg }$)	B´(${\displaystyle \neg }$)	A ∧ B	A ∧ B´	(A ∧ B)´	A ∨ B	A ∨ B´	(A ∨ B)´	A ${\displaystyle \Rightarrow \!\,}$ B	(A ${\displaystyle \Rightarrow \!\,}$ B)´	A ${\displaystyle \Leftrightarrow \!\,}$ B	(A ${\displaystyle \Leftrightarrow \!\,}$ B)´	(A ∧ B´) ∨ (A´∧ B)
1	1	0	0	1	0	0	1	1	1	1	0	1	0	0
1	0	0	1	0	1	1	1	1	1	0	1	0	1	1
0	1	1	0	0	0	1	1	0	1	1	0	0	1	1
0	0	1	1	0	0	1	0	1	0	1	0	1	0	0

• ak výrok A je „mám auto”, tak A´ je „nemám auto”
• ak výrok A ∨ B je „mám auto alebo motorku”, tak (A ∨ B)´ je „nemám auto ani motorku”
• ak výrok A ${\displaystyle \Rightarrow \!\,}$ B je „ak mám, auto tak mám aj motorku”, tak (A ${\displaystyle \Rightarrow \!\,}$ B)´ je „mám auto, ale nemám motorku”

• FILIT – zdroj, z ktorého pôvodne čerpal tento článok.