Vizualizare sursă pentru „Element prim”

Nu aveți permisiunea de a modifica această pagină, din următorul motiv:

Your IP address is in a range that has been blocked on all Wikimedia Foundation wikis.

The block was made by ‪Hasley‬. The reason given is Open proxy/Webhost: See the help page if you are affected: .

Start of block: 18 decembrie 2022 18:21
Expiry of block: 18 decembrie 2025 18:21

Your current IP address is 62.210.136.28. The blocked range is 62.210.0.0/16.

Vă rugăm să includeți toate detaliile de mai sus în orice mesaje. If you believe you were blocked by mistake, you can find additional information and instructions in the No open proxies global policy.

Otherwise, to discuss the block please post a request for review on Meta-Wiki. You could also send an email to the stewards VRT queue at stewards@wikimedia.org including all above details.

Puteți vedea și copia codul sursă al paginii:

În [[matematică]], în special în [[algebră abstractă |algebra abstractă]], un '''element prim''' al unui [[inel comutativ]] este un [[obiect matematic |obiect]] care satisface anumite proprietăți asemănătoare cu cele ale [[număr prim |numerelor prime]] din [[număr întreg |numerele întregi]] și ale {{ill-wd| Q1476663||polinoamelor ireductibile}}. Elementele prime se disting de [[element ireductibil |elementele ireductibile]], un concept care este același în [[inel factorial |inelele factoriale]], dar nu același în general.

== Definiție ==
Un element {{mvar|p}} al unui inel comutativ {{mvar|R}} se spune că este ''prim'' dacă nu este [[element zero |elementul zero]] sau o {{ill-wd| Q118084|unitate (teoria inelelor)|unitate}} și ori de câte ori {{mvar|p}} [[divizibilitate |divide]] {{mvar|ab}} pentru unele {{mvar|a}} și {{mvar|b}} în {{mvar|R}}, atunci {{mvar|p}} divide {{mvar|a}} sau {{mvar|p}} divide {{mvar|b}}. Cu această definiție, {{ill-wd| Q206793||lema lui Euclid}} este afirmația că [[număr prim |numerele prime]] sunt elemente prime în [[inelul numerelor întregi]], {{math|'''Z'''}}. Echivalent, un element {{mvar|p}} este prim [[dacă și numai dacă]] [[ideal principal |idealul principal]] {{mvar|(p)}} generat de {{mvar|p}} este un [[ideal prim]].<ref>Hungerford, 1980, Teorema III.3.4(i)</ref>, rezultatul fiind valabil în general. (De reținut că într-un [[domeniu de integritate]], [[ideal (teoria inelelor) |idealul]] {{math|(0)}} este un ideal prim, dar {{math|0}} este o excepție în definiția ''elementului prim''.)

Interesul pentru elementele prime vine din [[teorema fundamentală a aritmeticii]], care afirmă că orice număr întreg diferit de zero poate fi scris în esență doar într-un singur mod ca 1 sau −1 înmulțit cu un produs al numerelor prime pozitive. Acest lucru a condus la studiul inelelor factoriale, care generalizează afirmația din numerele întregi.

A fi prim depinde de inelul în care este considerat un element; de exemplu, 2 este un element prim în {{math|'''Z'''}}, dar nu este prim în {{math|'''Z'''[''i'']}}, inelul {{ill-wd| Q724975||numerelor întregi gaussiene}}, deoarece {{math|1=2 = (1 + ''i'')(1 − ''i'')}} și 2 nu divide pe niciunul dintre factorii din dreapta.

== Conexiunea cu idealele prime ==
Un ideal {{mvar|I}} din inelul (cu unitate) {{mvar|R}} este prim dacă [[Inel factor |inelul factor]] {{mvar|R/I}} este un [[domeniu de integritate]].

Într-un domeniu de integritate, un [[ideal principal]] diferit de zero este prim dacă și numai dacă este generat de un element prim.

== Elemente ireductibile ==
Elementele prime nu trebuie confundate cu elementele ireductibile. Într-un domeniu de integritate orice element prim este ireductibil<ref>Hungerford, 1980, Teorema III.3.4(iii)</ref>, dar reciproca nu este adevărată în general. Totuși, în inelele factoriale,<ref>Hungerford, 1980, Remarcă după definiția III.3.5</ref> elementele prime și cele ireductibile sunt aceleași.

== Exemple ==
Următoarele sunt exemple de elemente prime din inele:
* numerele întregi {{math|±2}}, {{math|±3}}, {{math|±5}}, {{math|±7}}, {{math|±11}}, ... în inelul numerelor întregi {{math|'''Z'''}};
* numerele complexe {{math|(1 + ''i'')}}, {{math|19}} și {{math|(2 + 3''i'')}} în inelul numerelor întregi gaussiene {{math|'''Z'''[''i'']}};
* polinoamele {{math|''x''<sup>2</sup> − 2}} și {{math|''x''<sup>2</sup> + 1}} din {{math|'''Z'''[''x'']}}, în {{ill-wd| Q1455652||inelul de polinoame}} din {{math|'''Z'''}};
* 2 în inelul cât {{math|'''Z'''/6'''Z'''}};
* {{math|''x''<sup>2</sup> + (''x''<sup>2</sup> + ''x'')}} este prim, dar nu și ireductibil în inelul {{math|'''Q'''[''x'']/(''x''<sup>2</sup> + ''x'')}};
* în inelul perechilor de întregi {{math|'''Z'''<sup>2</sup>}}, {{math|(1, 0)}} este prim, dar nu și ireductibil (există {{math|1=(1, 0)<sup>2</sup> = (1, 0)}});
* în inelul [[număr întreg algebric |numerelor întregi algebrice]] <math>\mathbf Z[\sqrt{-5}],</math> elementul {{math|3}} este ireductibil, dar nu și prim (deoarece 3 divide pe <math>9=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5}),</math> dar nu divide niciunul din factorii din dreapta).

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} Section III.3 of {{Citation
| authorlink=Thomas W. Hungerford
| last=Hungerford
| first=Thomas W.
| title=Algebra
| edition=Reprint of 1974
| year=1980
| publisher=[[Springer-Verlag]]
| location=New York
| series=[[Graduate Texts in Mathematics]]
| volume=73
| isbn=978-0-387-90518-1
| mr=0600654
}}
* {{en icon}} {{citation |author=Jacobson, Nathan |title=Basic algebra. II |edition=2   |publisher=W. H. Freeman and Company |place=New York |year=1989 |pages=xviii+686 |isbn=0-7167-1933-9 |mr=1009787}}
* {{en icon}} {{citation |author=Kaplansky, Irving |title=Commutative rings |publisher=Allyn and Bacon Inc. |place=Boston, Mass. |year=1970 |pages=x+180 |mr=0254021}}
{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Teoria inelelor]]

Formate folosite în această pagină:

Format:Citation (vedeți sursa) (protejat ca format)
Format:En icon (vedeți sursa) (protejat ca format)
Format:Ill-wd (modificare)
Format:Indicație limbă (vedeți sursa) (protejat ca format)
Format:Math (modificare)
Format:Mvar (modificare)
Format:Portal (vedeți sursa) (protejat ca format)
Format:Portal/Imagine/Matematică (modificare)
Format:Portal/core (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:Arguments (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:Citation/CS1 (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:Citation/CS1/COinS (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:Citation/CS1/Configuration (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:Citation/CS1/Date validation (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:Citation/CS1/Identifiers (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:Citation/CS1/Utilities (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:Citation/CS1/Whitelist (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:Citation/CS1/styles.css (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:DateUtils (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:DateUtils/data (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:GregorianDate (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:GregorianDate/data (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:Ill-wd (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:LangUtils (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:Plain text (modificare)
Modul:Plural (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:Roman (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:Separated entries (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:Set (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:StringUtils (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:TableTools (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:Transliteration (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:Transliteration/langdata (vedeți sursa) (protejat ca format)
Modul:Wikidata (vedeți sursa) (protejat ca format)

Înapoi la Element prim.

Adus de la https://ro.wikipedia.org/wiki/Element_prim