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Em mecânica quântica, um propagador é uma função ou distribuição que descreve a amplitude da probabilidade de uma partícula se mover de uma posição para outra. Tecnicamente, é a função de Green para a equação do movimento.

Definição

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Partícula não-relativística

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O propagador   é uma função ou distribuição que verifica a seguinte equação:

  .

Aqui   é o hamiltoniano e   é a distribuição dirac.

Por exemplo, considere uma partícula não relativística livre. O propagador, portanto, verifica:

  .

Para resolver isso, converta em momento- e espaço de frequência :

  .

Seguindo-se que:

  .

Converta de volta para posição e espaço-tempo:

  .

A integral é ambígua, porque tem um pólo em

  .

Deve-se desambiguar a integral adicionando um infinitesimal, mas existem dois sinais possíveis (Por isso o propagador não é único). Ao adicionar um infinitesimal pode-se calcular:

 
 
  ,

Onde:

 

Representa a função de Heaviside. A função   chamada de propagador passado (retarded em inglês), porque   é diferente de zero apenas se  . Enquanto isso, a função   é chamada de propagador futuro (advanced em inglês), porque   é diferente de zero apenas se  .

Partícula relativística

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Usamos uma convenção de sinalização   para a métrica que,  .

Uma partícula escalar relativística verifica a equação de Klein-Gordon . Daí o propagador   de uma partícula escalar relativística é definido como a função de Green da equação de Klein-Gordon. Eis:

  .

Para resolver, converte-se em momento linear:

  .

Então:

  .

Converte-se de volta para o espaço de posição:

  .

A integral é ambígua porque tem dois pólos em:

  .

Deve-se desambiguar a integral adicionando um infinitesimal. De acordo com a teoria da integral curvilínea, podemos subir ou descer em cada pólo. Portanto, existem quatro métodos diferentes para eliminar a ambiguidade da integral; o propagador não é único. Se subirmos pelos dois pólos, o passado (em inglês retarded) será encontrado:

 
 

Onde   representa a função de Bessel de primeiro tipo e  . Se descermos em ambos os pólos, o propagador futuro (advanced) será encontrado:

 
 

Se descermos pelo pólo esquerdo (em   e para cima através do pólo direito (em  ), O propagador de Feynman será encontrado:

 
 

Onde   representa a função de Hankel de primeiro tipo e   significa a função modificada de Bessel de segundo tipo. Se subirmos pelo pólo esquerdo e descermos pelo pólo direito, o propagador de Dyson encontrar-se-á:

 
 

Onde   representa a função de Hankel do segundo tipo .

Os quatro propagadores verificam as seguintes equações.

 
 
 
  .

Além disso, os propagadores exprimem-se com valores esperados vazios de operadores de campo:

 
 
 
  .

Partícula com rotação

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Para uma partícula dirac   seguindo a equação de dirac:

  ,

o propagador é definido semelhantemente:

  .

No momento de espaço:

 

para o propagador de Feynman, etc.

Para uma partícula vetoral  de massa zero (por exemplo, o fóton), existem vários ‘gauges’ possíveis. Um medidor simples é o medidor de Lorenz  . Portanto, a partícula segue as equações de Maxwell com um termo gaussiano:

  .

O propagador é definido de forma semelhante:

  .

No momento linear do espaço o propagador (de Feynman, etc.) é:

  .

Referências

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  • Bjorken, JD, Drell, SD, Relativistic Quantum Fields (Apêndice C.), New York: McGraw-Hill 1965, ISBN 0-07-005494-0 .
  • NN Bogoliubov, DV Shirkov, Introdução à teoria dos campos quantizados, Wiley-Interscience, ISBN 0470086130 (pp. 136 - 156)
  • DeWitt, Cécile, DeWitt, Bryce, editores, Relativity, Groups and Topology, Glasgow: Blackie and Son Ltd. ISBN 0444868585 (pp. 615 - 624)
  • Griffiths, David J., Introduction to Elementary Particles, Nova York: John Wiley & Sons, 1987. ISBN 0-471-60386-4
  • Halliwell, JJ, Orwitz, M. Origem da soma das histórias das leis de composição da mecânica quântica relativística e cosmologia quântica, arXiv: gr-qc / 9211004
  • Kerson Huang, Quantum Field Theory: From Operators to Path Integrals . Nova York: J. Wiley & Sons, 1998. ISBN 0-471-14120-8
  • Itzykson, Claude, Zuber, Jean-Bernard Quantum Field Theory, New York: McGraw-Hill, 1980. ISBN 0-07-032071-3
  • Pokorski, Stefan, Gauge Field Theories, Cambridge: Cambridge University Press, 1987. ISBN 0-521-36846-4
  • Schulman, Larry S., Techniques and Applications of Path Integration, Nova York: John Wiley & Sons, 1981. ISBN 0471764507
  • Griffith, D, Introdução à Mecânica Quântica .