Partícula não-relativística
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O propagador é uma função ou distribuição que verifica a seguinte equação:
- .
Aqui é o hamiltoniano e é a distribuição dirac.
Por exemplo, considere uma partícula não relativística livre. O propagador, portanto, verifica:
- .
Para resolver isso, converta em momento- e espaço de frequência :
- .
Seguindo-se que:
- .
Converta de volta para posição e espaço-tempo:
- .
A integral é ambígua, porque tem um pólo em
- .
Deve-se desambiguar a integral adicionando um infinitesimal, mas existem dois sinais possíveis (Por isso o propagador não é único). Ao adicionar um infinitesimal pode-se calcular:
-
-
- ,
Onde:
-
Representa a função de Heaviside. A função chamada de propagador passado (retarded em inglês), porque é diferente de zero apenas se . Enquanto isso, a função é chamada de propagador futuro (advanced em inglês), porque é diferente de zero apenas se .
Partícula relativística
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Usamos uma convenção de sinalização para a métrica que, .
Uma partícula escalar relativística verifica a equação de Klein-Gordon . Daí o propagador de uma partícula escalar relativística é definido como a função de Green da equação de Klein-Gordon. Eis:
- .
Para resolver, converte-se em momento linear:
- .
Então:
- .
Converte-se de volta para o espaço de posição:
- .
A integral é ambígua porque tem dois pólos em:
- .
Deve-se desambiguar a integral adicionando um infinitesimal. De acordo com a teoria da integral curvilínea, podemos subir ou descer em cada pólo. Portanto, existem quatro métodos diferentes para eliminar a ambiguidade da integral; o propagador não é único. Se subirmos pelos dois pólos, o passado (em inglês retarded) será encontrado:
-
-
Onde representa a função de Bessel de primeiro tipo e . Se descermos em ambos os pólos, o propagador futuro (advanced) será encontrado:
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-
Se descermos pelo pólo esquerdo (em e para cima através do pólo direito (em ), O propagador de Feynman será encontrado:
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-
Onde representa a função de Hankel de primeiro tipo e significa a função modificada de Bessel de segundo tipo. Se subirmos pelo pólo esquerdo e descermos pelo pólo direito, o propagador de Dyson encontrar-se-á:
-
-
Onde representa a função de Hankel do segundo tipo .
Os quatro propagadores verificam as seguintes equações.
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-
- .
Além disso, os propagadores exprimem-se com valores esperados vazios de operadores de campo:
-
-
-
- .
Para uma partícula dirac seguindo a equação de dirac:
- ,
o propagador é definido semelhantemente:
- .
No momento de espaço:
-
para o propagador de Feynman, etc.
Para uma partícula vetoral de massa zero (por exemplo, o fóton), existem vários ‘gauges’ possíveis. Um medidor simples é o medidor de Lorenz . Portanto, a partícula segue as equações de Maxwell com um termo gaussiano:
- .
O propagador é definido de forma semelhante:
- .
No momento linear do espaço o propagador (de Feynman, etc.) é:
- .