Transformada de Fourier

Diversas notações são convencionadas para denotar a transformação de Fourier de uma função ${\displaystyle \mathrm {f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} } }$ . Utilizaremos a seguinte representação:$${\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\omega )\equiv F(\omega )\equiv {\mathcal {F}}\{f(t)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-i\omega t}\operatorname {d} \!t} \ \ \ \ \ {\begin{aligned}&{\mathsf {Transformada\ de\ Fourier\ }}\\&{\mathsf {do\ dominio\ do\ tempo\ }}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathrm {f(t)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{F(\omega )\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )\ e^{i\omega t}\operatorname {d} \!\omega \ \ \ \ \ \ \omega \equiv 2\pi f} \ {\mathsf {(Frequ{\hat {e}}ncia\ angular)}}}$$ $${\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\kappa )\equiv F(\kappa )\equiv {\mathcal {F}}\{f(x)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-i\kappa x}\operatorname {d} \!x} \ \ \ \ \ {\begin{aligned}&{\mathsf {Transformada\ de\ Fourier\ }}\\&{\mathsf {do\ dominio\ do\ espaco\ }}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathrm {f(x)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{F(\kappa )\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\kappa )\ e^{i\kappa x}\operatorname {d} \!\kappa \ \ \ \ \ \kappa \equiv {\frac {2\pi }{\lambda }}} \ {\mathsf {(Vetor\ de\ onda)}}}$$ A afirmação de que ${\displaystyle \mathrm {f} }$  pode ser reconstruída a partir de ${\displaystyle \mathrm {\hat {f}} }$  é conhecida como o teorema da inversão de Fourier e foi introduzido no estudo Analytical Theory of Heat, de Fourier, apesar de que a definição moderna de demonstração teria sido construída muito tempo depois. As funções ${\displaystyle \mathrm {f} }$  e ${\displaystyle \mathrm {\hat {f}} }$  são conhecidas como par integral de Fourier.

Artigo principal: Análise de Fourier

Uma motivação para a transformada de Fourier vêm do estudo da série de Fourier. Nesse estudo, funções complicadas porém periódicas são escritas como o somatório de ondas simples matematicamente representadas por senos e cossenos. A transformada de Fourier é uma extensão da série de Fourier que resulta quando o período da função representada é maximizado, aproximando-se do infinito.

 

Devido às propriedades dos senos e dos cossenos, é possível determinar a amplitude de cada onda da série de Fourier utilizando uma integração. Em muitos casos é desejável usar a identidade de Euler, ${\displaystyle \mathrm {e^{\pm i2\pi \phi }\equiv \cos(2\pi \phi )\pm i\sin(2\pi \phi )} }$ , para escrever a série de Fourier em termos de ondas básicas ${\displaystyle \mathrm {e^{i2\pi \phi }} }$ . Esse procedimento possui a vantagem de simplificar muitas fórmulas envolvidas e provém uma formulação da série de Fourier que relembra a definição utilizada nesse artigo. Reescrevendo senos e cossenos como exponenciais complexas torna necessário que os coeficientes de Fourier sejam valores complexos. A intepretação usual desse número complexo é que ele fornece ambas amplitude (ou tamanho) da onda presente na função e a fase (ou ângulo inicial) da onda. Essas exponenciais complexas algumas vezes possuem "frequências" negativas. Se ${\displaystyle \mathrm {\phi } }$  é medido em segundos, então ambas ondas ${\displaystyle \mathrm {e^{i2\pi \phi }} }$  e ${\displaystyle \mathrm {e^{-i2\pi \phi }} }$  completam um ciclo por segundo mas representam frequências diferentes na transformada de Fourier. Assim, frequência não mais mede o número de ciclos por unidade de tempo, mas ainda possui interpretação similar.

Existe uma forte conexão entre as definições de série de Fourier e a transformada de Fourier para funções ${\displaystyle \mathrm {f} }$  que são zero fora de um intervalo. Para tal função, pode-se calcular sua série de Fourier em qualquer intervalo que inclui os pontos onde ${\displaystyle \mathrm {f} }$  não é identicamente zero. A transformada de Fourier também é definida para tal função. À medida que aumenta-se o comprimento do intervalo em que calcula-se a série de Fourier, então os coeficientes da série de Fourier começam a assemelhar-se à transformada de Fourier e o somatório da série de Fourier de ${\displaystyle \mathrm {f} }$  começa a assemelhar-se à transformada inversa de Fourier. Para explicar isso mais precisamente, suponha que ${\displaystyle \mathrm {T} }$  é suficientemente longo que o intervalo ${\displaystyle \mathrm {\left[-{\frac {T}{2}},{\frac {T}{2}}\right]} }$  contenha o intervalo em que ${\displaystyle \mathrm {f} }$  não seja identicamente zero. Então o n-ésimo termo do coeficiente ${\displaystyle \mathrm {C_{n}} }$  será dado por

${\displaystyle \mathrm {C_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\ e^{-i\omega _{n}t}\operatorname {d} \!t\ \ \ \ \ \ \ \omega _{n}\equiv n{\frac {2\pi }{T}}} }$ 

Comparando isso com a definição de transformada de Fourier, pode-se deduzir que

${\displaystyle \mathrm {C_{n}={\frac {1}{T}}{\hat {f}}{\Bigl (}{\frac {\omega _{n}}{2\pi }}{\Bigr )}\equiv {\frac {1}{T}}{\hat {f}}{\Bigl (}{\frac {n}{T}}{\Bigr )}} }$ 

desde que ${\displaystyle \mathrm {f} }$  seja nula fora do intervalo ${\displaystyle \mathrm {\left[-{\frac {T}{2}},{\frac {T}{2}}\right]} }$ .

Sob certas condições, a série de Fourier de ${\displaystyle \mathrm {f} }$  pode ser igual à função ${\displaystyle \mathrm {f} }$ . Em outras palavras, ${\displaystyle \mathrm {f} }$  pode ser escrita como

${\displaystyle \mathrm {f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{n}\ e^{i\omega _{n}t}\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}{\Bigl (}{\frac {\omega _{n}}{2\pi }}{\Bigr )}\ e^{i\omega _{n}t}{\frac {\Delta \omega _{n}}{2\pi }}} }$ 

onde o segundo somatório é simplesmente o primeiro somatório reescrito, utilizando as definições ${\displaystyle \mathrm {\omega _{n}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ n{\frac {2\pi }{T}}} }$  e ${\displaystyle \mathrm {\Delta \omega _{n}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {n+1}{T}}-{\frac {n}{T}}} }$ .

O segundo somatório configura uma soma de Riemann, e à medida em que ${\displaystyle \mathrm {T\rightarrow \infty } }$  ela convergirá para a integral da transformada de Fourier inversa apresentada na seção de Definição.

No estudo da série de Fourier os números ${\displaystyle \mathrm {C_{n}} }$  podem ser interpretados como a "quantidade" da onda presente na série de Fourier de ${\displaystyle \mathrm {f} }$ . Semelhantemente, como visto acima, a transformada de Fourier pode ser vista como a função que mensura o quanto de cada frequência individual encontra-se presente na função ${\displaystyle \mathrm {f} }$ , e pode-se recombinar essas ondas com o uso da transformada inversa de Fourier, reproduzindo a função original.

Assume-se aqui que ${\displaystyle \mathrm {f(t)} }$ , ${\displaystyle \mathrm {g(t)} }$  e ${\displaystyle \mathrm {h(t)} }$  são funções integráveis: Lebesgue-mensuráveis no domínio ${\displaystyle \mathbb {R} }$  satisfazendo ${\displaystyle \mathrm {\int _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\operatorname {d} \!t<\infty } }$ .

Denota-se as transformadas de Fourier destas funções como ${\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\omega )} }$ , ${\displaystyle \mathrm {{\hat {g}}(\omega )} }$  e ${\displaystyle \mathrm {{\hat {h}}(\omega )} }$ , respectivamente.

A transformada de Fourier possui as seguintes propriedades básicas:

Para quaisquer números complexos ${\displaystyle \mathrm {a} }$  e ${\displaystyle \mathrm {b} }$ , se ${\displaystyle \mathrm {f(t)=a\ g(t)+b\ h(t)} }$ , então ${\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\omega )=a\ {\hat {g}}(\omega )+b\ {\hat {h}}(\omega )} \ .}$ 

Demonstração:^[2]

Essa demonstração vem direto da propriedade de linearidade da integral.

Seja: ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\}}$ =${\displaystyle {\mathcal {F}}\{a\ g(t)+b\ h(t)\}}$ 

$${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }(a\ g(t)+b\ h(t))e^{-it\omega }dt}$$ 

$${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }a\ g(t)e^{-it\omega }dt+\int _{-\infty }^{\infty }b\ h(t)e^{-it\omega }\,dt}$$ 

$${\displaystyle =a\int _{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-it\omega }\,dt+b\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-it\omega }\,dt}$$ 

$${\displaystyle =a\ {\hat {g}}(\omega )+b\ {\hat {h}}(\omega )}$$ 

Considerando uma função ${\displaystyle f(t)}$  e sua transformada de Fourier ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\omega )}$ , então:

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\omega ){f(t-a)}=e^{-ia\omega }F(\omega )}$ 

Demonstração:^[3]

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\omega ){f(t-a)}={\int _{-\infty }^{\infty }f(t-a)e^{-i\omega t}dt}}$ 

${\displaystyle ={\int _{-\infty }^{\infty }f(s)e^{-i\omega (s+a)}ds}}$ 

${\displaystyle ={\int _{-\infty }^{\infty }f(s)e^{-i\omega a}e^{-i\omega s}ds}}$ 

${\displaystyle =e^{-i\omega a}{\int _{-\infty }^{\infty }f(s)e^{-i\omega s}ds}}$ 

${\displaystyle =e^{-i\omega a}F(\omega )}$ 

Para qualquer número real ${\displaystyle \mathrm {t_{0}} }$ , se ${\displaystyle \mathrm {f(t)=g(t-t_{0})} }$ , então ${\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\omega )=e^{-i\omega t_{0}}{\hat {g}}(\omega )} \ .}$ 

Demonstração:^[4]

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t-t_{0})\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t-t_{0})e^{-i\omega t}dt}$ 

Fazendo ${\displaystyle s=t-t_{0}}$  e ${\displaystyle t=s+t_{0}}$ , obtemos:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t-t_{0})\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(s)e^{-i\omega (s+t_{0})}ds}$ 

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t-t_{0})\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(s)e^{-i\omega s}e^{-i\omega t_{0}}ds}$ 

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t-t_{0})\}=e^{-i\omega t_{0}}\int _{-\infty }^{\infty }f(s)e^{-i\omega s}ds}$ 

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t-t_{0})\}=e^{-i\omega t_{0}}{\hat {f}}(\omega )}$ 

Para qualquer número real ${\displaystyle \omega _{0}}$ , se ${\displaystyle \mathrm {f(t)=e^{i\omega _{0}t}g(t)} }$ , então ${\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\omega )={\hat {g}}(\omega -\omega _{0})} \ .}$ 

Demonstração:

Seja: ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\}}$ =${\displaystyle {\mathcal {F}}\{e^{it\omega _{0}}g(t)\}}$ 

$${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }e^{it\omega _{0}}g(t)e^{-it\omega }\,dt}$$ 

$${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-it(\omega -\omega _{0})}\,dt}$$ 

Usando a definição de Transformada de Fourier:^[5]

$${\displaystyle ={\hat {g}}(\omega -\omega _{0})}$$ 

Para um número real ${\displaystyle \mathrm {a} }$  não-nulo, se ${\displaystyle \mathrm {f(t)=g(at)} }$ , então ${\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{|a|}}{\hat {g}}{\Bigl (}{\frac {\omega }{a}}{\Bigr )}} }$ .

O caso ${\displaystyle \mathrm {a=-1} }$  leva à propriedade da inversão temporal, a qual afirma: se ${\displaystyle \mathrm {g(t)=h(-t)} }$ , então ${\displaystyle \mathrm {{\hat {g}}(\omega )={\hat {h}}(-\omega )} }$ .

Demonstração:

Seja ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(at)\}}$  ${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }f(at)e^{-it\omega }\,dt}$ 

Fazendo uma mudança de variável onde ${\displaystyle \tau =at}$ , temos:

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )e^{\frac {-i\tau \omega }{a}}\,{\frac {d\tau }{a}}}$$ 

Caso 1: ${\displaystyle a>0}$ 

Chamando ${\displaystyle a}$  de ${\displaystyle |a|}$ 

$${\displaystyle ={\frac {1}{|a|}}\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )e^{\frac {-i\tau \omega }{|a|}}\,d\tau }$$ 

$${\displaystyle ={\frac {1}{|a|}}{\hat {g}}{\Bigl (}{\frac {\omega }{|a|}}{\Bigr )}}$$ 

Caso 2: ${\displaystyle a<0}$ 

Chamando agora ${\displaystyle a}$  de ${\displaystyle -|a|}$ 

$${\displaystyle ={\frac {1}{-|a|}}\int _{\infty }^{-\infty }f(\tau )e^{\frac {-i\tau \omega }{-|a|}}\,d\tau }$$ 

Trocando ${\displaystyle \tau }$  por ${\displaystyle -\tau }$ 

$${\displaystyle ={\frac {1}{-|a|}}\int _{-\infty }^{\infty }f(-\tau )e^{\frac {-i\tau \omega }{|a|}}\,d(-\tau )}$$ 

$${\displaystyle ={\frac {1}{|a|}}\int _{-\infty }^{\infty }f(-\tau )e^{\frac {-i\tau \omega }{|a|}}\,d(\tau )}$$ 

Usando a propriedade da inversão temporal:

$${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {g}}{\Bigl (}{\frac {-\omega }{|a|}}{\Bigr )}}$$ 

Ou seja, em todos os casos:^[5]

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(at)\}}$  ${\displaystyle ={\frac {1}{|a|}}{\hat {g}}{\Bigl (}{\frac {\omega }{a}}{\Bigr )}}$ 

Se ${\displaystyle \mathrm {f(t)={\overline {g(t)}}} }$ , então ${\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\omega )={\overline {{\hat {g}}(-\omega )}}} }$  ou ${\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(-\omega )={\overline {{\hat {g}}(\omega )}}} \ .}$ 

Em particular, se ${\displaystyle \mathbb {R} \ni \mathrm {f} }$ , têm-se a condição de realidade ${\displaystyle \mathrm {{\hat {g}}(-\omega )={\overline {{\hat {g}}(\omega )}}} }$ , ou seja, ${\displaystyle \mathrm {f} }$  é uma função hermitiana.

Por outro lado, se ${\displaystyle \mathrm {f} }$  é puramente imaginária então ${\displaystyle \mathrm {{\hat {g}}(-\omega )=-{\overline {{\hat {g}}(\omega )}}} \ .}$ 

Substituindo ${\displaystyle \mathrm {\omega =0} }$  na definição, obtém-se que ${\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\ dt} }$ , ou seja, a avaliação da transformada de Fourier na origem corresponde à integral de ${\displaystyle \mathrm {f} }$  sobre todo o eixo.

Assim, ${\displaystyle \mathrm {{\mathcal {F}}\{\int _{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau \}={\frac {1}{i\omega }}F(\omega )} }$ , onde ${\displaystyle \mathrm {f(t)} }$  é uma função integrável tal que sua transformada de Fourier ${\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\omega )} }$  satisfaça ${\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(0)=0\ .} }$ ^[6]

Dada uma função diferenciável ${\displaystyle f(t)}$  tal que ${\displaystyle lim_{t\to \ \pm \infty }f(t)=0}$ 

e sua transformada de Fourier ${\displaystyle F(w)}$ , então: ${\displaystyle {{\mathcal {F}}\{{f'(t)}\}=i\omega F(\omega )}}$ 

Demonstração: de fato, usando integração por partes temos

${\displaystyle {{\mathcal {F}}\{{f'(t)}\}=\int _{-\infty }^{\infty }f'(t)e^{-i\omega t}dt}}$ 

${\displaystyle =[f'(t)e^{-i\omega t}]_{-\infty }^{\infty }-{\int _{-\infty }^{\infty }-i\omega f(t)e^{-i\omega t}dt}}$ 

${\displaystyle =i\omega {\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt}}$ 

${\displaystyle =i\omega F(\omega )}$ 

Essa propriedade reflete o fato de que a transformada de Fourier decompõe a função ${\displaystyle F(t)}$  em funções do tipo ${\displaystyle e^{i\omega t}}$ , cuja derivada é ${\displaystyle i\omega e^{i\omega t}}$ . De fato está propriedade poderia ter sido deduzida a partir da representação de ${\displaystyle f(t)}$  em sua integral de Fourier, isto é:

${\displaystyle f(t)=\left({\frac {1}{2\pi }}\right){\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}dw}}$ 

Muitas vezes não se pensa em nenhuma unidade como sendo anexada às duas variáveis t e ξ. Mas em aplicações físicas, ξ deve ter unidades inversas às unidades de t. Por exemplo, se t é medido em segundos, ξ deve ser em frequência, para que as fórmulas mostradas aqui sejam válidas. Se a escala de t é alterada e t é medido na unidades de 2π segundos, então ξ deve estar na chamada "frequência angular", ou deve-se inserir algum fator de escala constante em algumas das fórmulas. Se t é medido em unidades de comprimento, ξ deve estar no comprimento inverso. Isto e para afirmar que existem duas cópias da linha real: uma medida em um conjunto de unidades, onde t varia, e outra em unidades inversas às unidades de t, e qual é o intervalo de ξ. Então, essas são duas cópias distintas da linha real e não podem ser identificadas umas com as outras. Portanto, a transformada de Fourier vai de um espaço de funções para um espaço diferente de funções: funções que têm um domínio diferente de definição.

Em geral, ξ deve ser sempre tomado como uma forma linear no espaço de ts, o que equivale a dizer que a segunda linha real é o espaço dual da primeira linha real. Veja o artigo sobre álgebra linear para uma explicação mais formal e para mais detalhes. Este ponto de vista torna-se essencial nas generalizações da transformada de Fourier para grupos gerais de simetria, incluindo o caso das séries de Fourier.

Que não existe uma maneira preferida (muitas vezes, diz-se "não canônico") para comparar as duas cópias da linha real que estão envolvidas na transformada de Fourier — fixar as unidades em uma linha não força a escala das unidades em a outra linha - é a razão para a multiplicidade de convenções rivais sobre a definição da transformada de Fourier. As várias definições resultantes de diferentes escolhas de unidades diferem por várias constantes

Dada uma função f(t) e sua transformada F(w) então :

${\displaystyle f(-\omega )={\frac {1}{2\pi }}{\mathcal {F}}\{F(t)\}}$ 

como antes, porem a alternativa correspondente a inversão da equação deve ser:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{it\omega }\,d\omega .}$ 

Para se obter uma equação com a frequência angular mas mais simétrica entre a transformada de Fourier e a equação de inversão. Comumente se a usa alternativa da transformada de Fourier, com o fator ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$  logo:

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt,}$ 

e a equação de inversão correspondente:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}(\omega )e^{it\omega }\,d\omega .}$ 

Em algumas convenções incomuns, como aquelas empregadas pelo comando FourierTransform da Wolfram Language, a transformada de Fourier tem i no expoente em vez de −i, e vice-versa para a fórmula de inversão. Muitas das identidades que envolvem a transformada de Fourier permanecem válidas naquelas convenções, desde que todos os termos que explicitamente envolvem a substituam por −i.

Por exemplo, na teoria da probabilidade, a função característica ϕ da função de densidade de probabilidade f de uma variável aleatória X de tipo contínuo é definida sem um sinal negativo no exponencial e, como as unidades de x são ignoradas, não há 2π:

${\displaystyle \phi (\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{i\lambda x}\,dx.}$ 

(Na teoria das probabilidades, e na estatística matemática, o uso da transformada de Fourier-Stieltjes é preferido, porque muitas variáveis ​​aleatórias não são do tipo contínuo, e não possuem uma função de densidade, e é preciso tratar funções de distribuição descontínuas, ou seja, medidas que possuem "átomos".

Do ponto de vista mais elevado dos caracteres do grupo, que é muito mais abstrato, todas essas escolhas arbitrárias desaparecem, como será explicado na seção posterior deste artigo, sobre a noção da transformada de Fourier de uma função em um grupo local compacto abeliano. .

 

A transformada de Fourier pode ser definida em alguns casos para funções não integráveis, mas as transformadas de Fourier de funções integráveis possuem várias propriedades fortes.

A transformada de Fourier f̂ de qualquer função integrável f é uniformemente contínua e^[7]

${\displaystyle \left\|{\hat {f}}\right\|_{\infty }\leq \left\|f\right\|_{1}}$ 

Pelo lema de Riemann-Lebesgue:^[8]

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty .}$ 

No entanto, ${\displaystyle {\hat {f}}}$  não precisa ser integrável. Por exemplo, a transformada de Fourier da função retangular, que é integrável, é a função sinc, que não é integrável de Lebesgue, porque suas integrais impróprias se comportam analogamente à série harmônica alternada, convergindo para uma soma sem ser absolutamente convergente. Geralmente não é possível escrever a transformada inversa como uma integral de Lebesgue. No entanto, quando f e ${\displaystyle {\hat {f}}}$  são integráveis, a igualdade inversa

 

${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{2i\pi x\xi }\,d\xi }$ 

mantém quase todos os lugares. Ou seja, a transformada de Fourier é injetiva em L¹(ℝ). (Mas se f é contínuo, então a igualdade vale para todo x.)

Artigos principais: Dualidade de Pontryagin, Teorema de Plancherel e Teorema de Parseval.

Seja f(t) uma função real ou complexa e F(w) sua transformada de Fourier, então vale a seguinte identidade:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mid f(t)\mid ^{2}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mid F(\omega )\mid ^{2}d\omega }$ 

Demonstração: Partiremos da representação da função f(t) em sua forma integral de Fourier:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega }$ 

e, consequentemente,

${\displaystyle {\overline {f(t)}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {F(\omega )}}e^{-i\omega t}\,d\omega }$ 

e inserimos essa expressão na integral envolvida:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mid f(t)\mid ^{2}dt=\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\overline {f(t)}}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {F(\omega )}}e^{-i\omega t}d\omega dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\overline {F(\omega )}}e^{-i\omega t}d\omega dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\overline {F(\omega )}}e^{-i\omega t}dtd\omega ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {F(\omega )}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dtd\omega ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {F(\omega )}}F(\omega )d\omega ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|F(\omega )|^{2}d\omega }$ 

Essa integral está associada ao conceito de energia total de um sinal.

No contexto das propriedades da Transformada de Fourier, o Princípio da Incerteza expressa a seguinte estimativa:^[2] ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\left\vert tf(t)\right\vert ^{2}dt\cdot \int \limits _{-\infty }^{\infty }\left\vert \omega F(\omega )\right\vert ^{2}d\omega \geq {\pi \over 2}\left\vert \int \limits _{-\infty }^{\infty }\left\vert f(t)\right\vert ^{2}dt\right\vert ^{2}}$ , válida para uma ${\displaystyle f(t)}$ real que satisfaça ${\displaystyle \lim _{t\to \pm \infty }f(t)=0}$  e que tenha ${\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}}$  como sua transformada de Fourier.

Demonstração:

1) Observa-se que: ${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle \left\vert f(t)\right\vert ^{2}dt=\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle f(t){\overline {f(t)}}dt}$ ;

2) Integra-se o segundo termo da igualdade acima utilizando o método de integração por partes onde ${\displaystyle u(t)=f(t){\overline {f(t)}}}$ , ${\displaystyle du(t)=f'(t){\overline {f(t)}}+f(t){\overline {f'(t)}}}$ , ${\displaystyle v(t)=t}$  e ${\displaystyle dv(t)=dt}$ :

${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle \left\vert f(t)\right\vert ^{2}dt=-\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle t(f'(t){\overline {f(t)}}+f(t){\overline {f'(t)}})dt=-\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle tf'(t){\overline {f(t)}}dt-\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle tf(t){\overline {f'(t)}}dt}$ ;

3) Usa-se a desigualdade de Cauchy-Schwarz, definida como ${\displaystyle \left\vert \int f(x)g(x)dx\right\vert \leq [\int \left\vert f(x)\right\vert ^{2}dx\cdot \int \left\vert g(x)\right\vert ^{2}dx]^{\frac {1}{2}}}$ :

${\displaystyle \left\vert \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle \left\vert f(t)\right\vert ^{2}dt\right\vert \leq \left\vert \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle t{\overline {f(t)}}f'(t)dt\right\vert +\left\vert \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle tf(t){\overline {f'(t)}}dt\right\vert }$ 

${\displaystyle \left\vert \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle \left\vert f(t)\right\vert ^{2}dt\right\vert \leq [\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle \left\vert t{\overline {f(t)}}\right\vert ^{2}dt\cdot \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle \left\vert f'(t)\right\vert ^{2}dt]^{\frac {1}{2}}+[\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle \left\vert tf(t)\right\vert ^{2}dt\cdot \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle \left\vert {\overline {f'(t)}}\right\vert ^{2}dt]^{\frac {1}{2}}=2[\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle \left\vert tf(t)\right\vert ^{2}dt\cdot \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle \left\vert f'(t)\right\vert ^{2}dt]^{\frac {1}{2}}}$ ;

4) Aplica-se o Teorema de Parseval:

${\displaystyle \left\vert \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle \left\vert f(t)\right\vert ^{2}dt\right\vert ^{2}\leq 4\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle \left\vert tf(t)\right\vert ^{2}dt\cdot \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle \left\vert f'(t)\right\vert ^{2}dt=4\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle \left\vert tf(t)\right\vert ^{2}dt\cdot {\frac {1}{2\pi }}\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle \left\vert {\mathcal {F}}\{f'(t)\}\right\vert ^{2}d\omega ={\frac {2}{\pi }}\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle \left\vert tf(t)\right\vert ^{2}dt\cdot \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle \left\vert i\omega F(\omega )\right\vert ^{2}d\omega }$ .

E, finalmente, temos: ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\left\vert tf(t)\right\vert ^{2}dt\cdot \int \limits _{-\infty }^{\infty }\left\vert \omega F(\omega )\right\vert ^{2}d\omega \geq {\pi \over 2}\left\vert \int \limits _{-\infty }^{\infty }\left\vert f(t)\right\vert ^{2}dt\right\vert ^{2}}$ .

Suponha que ${\displaystyle \mathrm {f} }$  seja uma função diferenciável e ambas ${\displaystyle \mathrm {f} }$  e sua derivada ${\displaystyle \mathrm {f'} }$  são integráveis. Então a transformada de Fourier da derivada é dada por:

${\displaystyle \mathrm {{\widehat {f'}}(\omega )=i\omega {\hat {f}}(\omega )} \ .}$ 

Demonstração:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f'(t)\}=\int _{-\infty }^{\infty }f'(t)e^{-i\omega t}dt}$ 

Por Integração por partes, obtemos:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f'(t)\}={\big [}f(t)e^{-i\omega t}{\big ]}_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }-i\omega f(t)e^{-i\omega t}dt}$ 

Tendo que:

${\displaystyle \lim _{t\to \pm \infty }f(t)=0}$ 

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f'(t)\}=i\omega \int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt}$ 

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f'(t)\}=i\omega {\hat {f}}(\omega )}$ 

Mais amplamente, a transformada de Fourier da n-ésima derivada ${\displaystyle \mathrm {f^{(n)}} }$  é dada por:

${\displaystyle \mathrm {{\widehat {f^{(n)}}}(\omega )=(i\omega )^{n}{\hat {f}}(\omega )} \ .}$ 

Ao aplicar a transformada de Fourier e utilizar tais propriedades, algumas equações diferenciais ordinárias podem ser transformadas em equações algébricas, que possuem complexidade reduzida. Estas propriedades também implicam que "${\displaystyle \mathrm {f} }$  é suave se, e somente se, ${\displaystyle \mathrm {\hat {f}} }$  decai rapidamente para ${\displaystyle \mathrm {0} }$  quando ${\displaystyle |\omega |\rightarrow \infty }$ ". Utilizando a regra análoga para a transformada inversa de Fourier, pode-se dizer que "${\displaystyle \mathrm {f} }$  decai rapidamente para ${\displaystyle \mathrm {0} }$  quando ${\displaystyle \mathrm {|t|\rightarrow \infty } }$  se, e somente se, ${\displaystyle \mathrm {\hat {f}} }$  é suave".

${\displaystyle \mathrm {i^{n}{\frac {d^{n}}{d\omega ^{n}}}{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {F}}\left\{t^{n}\ f(t)\right\}} }$ ^[9]

A transformada de Fourier translada entre convolução e multiplicação de funções. Se ${\displaystyle \mathrm {g(t)} }$  e ${\displaystyle \mathrm {h(t)} }$  são funções integráveis com as transformadas de Fourier ${\displaystyle \mathrm {{\hat {g}}(\omega )} }$  e ${\displaystyle \mathrm {{\hat {h}}(\omega )} }$ , respectivamente, então a transformada de Fourier da convolução é dada pelo produto das transformadas de Fourier ${\displaystyle \mathrm {{\hat {g}}(\omega )} }$  e ${\displaystyle \mathrm {{\hat {h}}(\omega )} }$ .

Isso significa que, se

${\displaystyle \mathrm {f(t)=g(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }g(\nu )h(t-\nu )d\nu } }$ 

então

${\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\omega )={\hat {g}}(\omega )\cdot {\hat {h}}} \ .}$ 

Em sistemas lineares invariantes no tempo, é comum interpretar ${\displaystyle \mathrm {h(t)} }$  como a resposta ao impulso do sistema com ${\displaystyle \mathrm {g(t)} }$  como entrada e ${\displaystyle \mathrm {f(t)} }$  como a saída, já que substituindo a unidade de impulso por ${\displaystyle \mathrm {g(t)} }$  obtém-se ${\displaystyle \mathrm {f(t)=h(t)} }$ . Neste caso, ${\displaystyle \mathrm {{\hat {h}}(\omega )} }$  representa a frequência de resposta do sistema.

 

A convergência das somas parciais da série de Fourier de uma função suave por partes em torno de um salto apresenta oscilações cujas amplitudes não convergem para zero. A convergência ponto a ponto acontece, no entanto ao analisar o valor absoluto da diferença entre a função e a soma parcial tem-se que o valor é aproximadamente 8,9% da amplitude do salto.

Se ${\displaystyle \mathrm {f(t)} }$  é T-periódico e suave por partes e possui uma descontinuidade por salto, então ${\displaystyle \mathrm {MAX{\Bigg |}f(t)-f_{N}(t){\Bigg |}\thickapprox 8.9\%} }$  da amplitude do salto, onde ${\displaystyle \mathrm {t\in [0,T]} }$  e

${\displaystyle \mathrm {f_{N}(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\ cos(\omega _{n}t)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\ sen(\omega _{n}t)\ .} }$ 

Esse fenômeno é chamado de fenômeno de Gibbs.^[10]

Diagrama de espectro da transformada de Fourier é a representação gráfica da transformada de Fourier ${\displaystyle \mathrm {G(\omega )} }$ associadas a uma função ${\displaystyle \mathrm {g(t)} }$ . Da mesma forma como o diagrama de espectro da série de Fourier se divide em amplitude e fase, o diagrama de espectro da transformada de Fourier se divide em magnitude e em fase. Ou seja, o gráfico de ${\displaystyle \mathrm {|G(\omega )|} }$ e a diagrama de Magnitude e o gráfico de ${\displaystyle \mathrm {\phi (\omega )} }$  e o diagrama de fase, onde ${\displaystyle \mathrm {G(\omega )=|G(\omega )|e^{i\phi (\omega )}\ .} }$ 

 

 

Quando a transformada de uma função apresenta algum componente imaginário, para melhor analise dessa transformada é feito o diagrama da fase para mais informações da função analisada. Com os dois diagramas é possível ter informações a mais da função sem ver ela escrita seja de forma exponencial ou trigonométrica. A fase é calculada como ${\displaystyle \phi {\bigl (}\omega {\bigr )}=\arctan \left({\frac {A}{B}}\right)}$  (considerando A a componente imaginaria e B a componente real da função resultante da transformada) sendo usualmente representada de [-π ,π].

${\displaystyle h(t)=te^{-t^{2}}}$ 

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{h(t)\}=H{\bigl (}\omega {\bigr )}=-i\omega {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{-{\tfrac {\omega ^{2}}{4}}}}$ 

A forma exponencial da transformada de Fourier é definida como ${\displaystyle F(w)={\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-iwt}dt}$ .^[2]

Sendo uma função real, é possível separar em parcela real e imaginaria da transformada de Fourier:

${\displaystyle F(w)={\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-iwt}dt}$ 

${\displaystyle F(w)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos(wt)-isen(wt))dt}$ 

${\displaystyle F(w)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(wt)dt-i\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)sen(wt)dt}$ 

${\displaystyle F(w)=A(w)-iB(w)}$ 

Assim, ${\displaystyle A(w)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)cos(wt)dt}$  e ${\displaystyle B(w)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)sen(wt)dt}$ 

Com esta definição pode-se escrever a função como:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(w)e^{iwt}dw}$ 

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(A(w)-iB(w))(cos(wt)+isen(wt))dw}$ 

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(A(w)cos(wt)+B(w)sen(wt))dw+{\frac {i}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }(A(w)sen(wt)-B(w)cos(wt))dw}$ 

Sendo A(w) uma função par e B(w) uma função ímpar, temos:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }(A(w)cos(wt)+B(w)sen(wt))dw}$ .

Tabela de comparação entre entre as formas trigonométricas e exponencial das séries e transformadas de Fourier:^[2]

	Forma exponencial	Forma trigonométrica
Séries de Fourier	${\displaystyle f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }C_{n}e^{iwt}}$	${\displaystyle f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }(a_{n}cos(w_{n}t)+b_{n}sen(w_{n}t))}$
Transformada de Fourier	${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(w)e^{iwt}dw}$	${\displaystyle {\displaystyle f(t)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }(A(w)cos(wt)+B(w)sen(wt))dw}}$

O par de funções ${\displaystyle \mathrm {f(t)} }$ e ${\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\omega )} }$ exibem propriedades interessantes com relação à simetria e à paridade. Por exemplo, se ${\displaystyle \mathrm {f(t)} }$ for uma função par, ${\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\omega )} }$ também o é. Essas propriedades muitas vezes ajudam na análise e inclusive no cálculo da transformada. Por exemplo, se ${\displaystyle \mathrm {f(t)} }$ for par, o intervalo de integração pode ser alterado para ${\displaystyle [0,\ \infty ]}$ em lugar de ${\displaystyle [-\infty ,\ \infty ]}$ , dobrando-se o valor calculado da integral. Algumas relações importantes estão listadas na tabela abaixo.