Polo (análise complexa)

Formalmente, suponha que ${\displaystyle \Omega }$  é um subconjunto aberto do plano complexo ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , ${\displaystyle a}$  é um elemento de ${\displaystyle \Omega }$  e ${\displaystyle f:\Omega _{a}\to \mathbb {C} }$  é uma função holomorfa. Se existir uma função holomorfa ${\displaystyle g:\Omega \mapsto \mathbb {C} }$  e um inteiro não negativo ${\displaystyle n}$  tal que

${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}}$ 

para todo ${\displaystyle z}$  em ${\displaystyle \Omega _{a}}$ , então a é denominada um polo de f. O menor número n satisfazendo a condição acima é chamada ordem do polo. Um polo de ordem 1 é chamado polo simples. Um polo de ordem 0 é uma singularidade removível.

Da definição acima, várias caracterizações equivalentem podem ser deduzidas:

Como g é uma função analítica, f pode ser expressa como:

${\displaystyle f(z)={\frac {a_{-n}}{(z-a)^{n}}}+\cdots +{\frac {a_{-1}}{(z-a)}}+\sum _{k\geq 0}a_{k}(z-a)^{k}.}$ 

Esta é uma série de Laurent com uma parte principal finita. A função holomórfica ${\displaystyle \sum _{k\geq 0}a_{k}(z-a)^{k}}$  (em ${\displaystyle \Omega }$ ) é chamada a parte regular de ${\displaystyle f}$ . Então, o ponto a é um polo de ordem n de ${\displaystyle f}$  se e somente se todos os termos da expansão da série de Laurent de ${\displaystyle f}$  em torno de a de abaixo do grau −n desaparecem e o termo de grau −n não é nulo.