Norma (matematika)

Norma (oznaka ${\displaystyle ||{\overrightarrow {a}}||\,}$ za vektor ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\,}$) je v matematiki funkcija, ki vsakemu neničelnemu vektorju v vektorskem prostoru pripiše pozitivno dolžino. Norma se imenuje seminorma, če pripiše dolžino 0 tudi neničelnim vektorjem. Norma posplošuje pojem dolžine vektorja.

Če sta ${\displaystyle A\,}$ in ${\displaystyle B\,}$ dve točki v ravnini, je norma vektorja ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\,}$ razdalja med točkama ${\displaystyle A\,}$ in ${\displaystyle B\,}$ ali ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$, kar zapišemo kot ${\displaystyle ||{\overrightarrow {AB}}||\,}$.

Za dani vektorski prostor ${\displaystyle V\,}$ nad podobsegom ${\displaystyle F\,}$ kompleksnih števil je norma funkcija ${\displaystyle p\colon V\to \mathbb {R} }$, ki zadošča naslednjim pogojem

1. ${\displaystyle \forall x\in V,p(x)\geqslant 0\,}$
2. ${\displaystyle p(x)=0\Rightarrow x=0_{V}\,}$
3. ${\displaystyle \forall (x,y)\in V^{2},p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)\,}$
4. ${\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {R} ,\forall x\in V,p(\alpha \,x)=|\alpha |p(x)\,}$.

Če ima vektorski prostor normo, se prostor imenuje normirani vektorski prostor.

Normo elementa ${\displaystyle x\,}$ iz vektorskega prostora ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ označujemo z ${\displaystyle ||x||\,}$.

Če ima vektor ${\displaystyle x\,}$ normo enako 1 (${\displaystyle ||x||=1\,}$), ga imenujemo normalni ali normirani vektor.

Poljuben neničelni vektor ${\displaystyle x\,}$ lahko normiramo, če ga delimo z njegovo normo. Tako ima vektor ${\displaystyle \,}$ ${\displaystyle {\frac {x}{\|x\|}}}$ normo, ki je enaka 1.

1. ${\displaystyle \mid \|x\|-\|y\|\mid \leq \|x\pm y\|\leq \|x\|+\|y\|}$
2. ${\displaystyle (\|x\|-\|y\|)^{2}\leq \|x+y\|^{2}\leq (\|x\|+\|y\|)^{2}}$
3. ${\displaystyle {\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{2\|x\|\|y\|}}\in [-1,1]}$
4. ${\displaystyle \|0_{V}\|=\|x-x\|=\|0x\|=0\cdot \|x\|=0}$
5. ${\displaystyle 0=\|x-x\|\leqslant \|x\|+\|-x\|=2\|x\|\Rightarrow \|x\|\geqslant 0}$.

Glavni članek: Evklidska razdalja.

V n-razsežnem Evklidskem prostoru ${\displaystyle R^{n}\,}$ je dolžina vektorja ${\displaystyle {\vec {x}}=[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]\,}$ določena z

${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}\,}$

To daje običajno razdaljo od izhodišča do točke ${\displaystyle x\,}$, kar nam da tudi Pitagorov izrek. Evklidska norma je najbolj pogosto uporabljena norma, čeprav uporabljamo še več norm.

V prostoru ${\displaystyle C^{n}\,}$ je najblj pogosto uporabljana norma

${\displaystyle \|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}$.

Vedno pa lahko normo zapišemo kot kvadratni koren iz notranjega produkta

${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{T}{\boldsymbol {x}}}}.}$.

Evklidsko normo imenujemo tudi Evklidska dolžina. Množica vrhov vektorjev, ki imajo konstantno dolžino, pa tvori površino n-razsežnostne krogle (hipersfera), pri tem pa je n razsežnost Evklidskaga prostora.

Posebna skupina norm je p-norma, ki je za ${\displaystyle p\geq 1\,}$ enaka

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}:={\bigg (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\bigg )}^{1/p}\,}$.

Če je ${\displaystyle p=2\,}$, dobimo Evklidsko normo, ki se izračuna kot

${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}\,}$.

To normo imenujemo tudi druga norma.

Če je ${\displaystyle p=1\,}$, dobimo normo z uporabo geometrije taksijev. To razdaljo imenujemo tudi Manhattanska razdalja. To vrsto norme imenujemo tudi prva norma.

To lahko razširimo tudi na vrednost ${\displaystyle p=\infty \,}$, kar nam da

${\displaystyle \ \|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\ldots ,|x_{n}|\right\}\,}$

To je limita p-norm za končni p. Norma ${\displaystyle L^{\infty }\,}$ je znana tudi kot uniformna norma ali razdalja Čebiševa (tudi neskončna norma).

Za ${\displaystyle p=\infty \,}$ dobimo neskončno normo ali normo maksimuma. Množica vektorjev norme maksimuma, ki imajo konstantno vrednost ${\displaystyle c\,}$, tvori hiperkocko z robovi dolžine ${\displaystyle 2c\,}$

• Definicija norme na ProofWiki (angleško)