Normo (matematiko)

En lineara algebro, funkcionala analitiko kaj rilataj areoj de matematiko, normo estas funkcio, kiu asignas nombran valoron al ĉiu vektoro en vektora spaco, kiu estas nomata normo, longo aŭ amplekso kaj estas pozitiva por ĉiu vektoro krom la nul-vektoro, kies normo estas nulo. Duonnormo estas simila funkcio, al kiu estas permesite asigni nulan longon al nenulaj vektoroj.

Simpla ekzemplo estas la 2-dimensia eŭklida ebeno R² kun la eŭklida normo. Eroj en ĉi tiu vektora spaco estas kutime desegnitaj kiel sagoj en kartezia ebeno startantaj je la fonto (0,0). La eŭklida normo asignas al ĉiu vektoro la longon de ĝia sago.

Vektora spaco kun normo estas normigita vektora spaco. Simile, vektora spaco kun duonnormo estas duonnormita vektora spaco.

Por donita vektora spaco V super subkorpo F de la kompleksaj nombroj kiel la kompleksaj nombroj mem aŭ la reela nombroj, duonnormo sur V estas funkcio p:V→R; x→ p(x) kun jenaj propraĵoj:

Por ĉiuj a en F kaj ĉiuj u kaj v en V,

1. p(v) ≥ 0 (pozitiveco)
2. p(a v) = |a| p(v), (pozitiva homogeneco aŭ pozitiva skaligeco)
3. p(u + v) ≤ p(u) + p(v) (triangula neegalaĵo aŭ subadicieco).

Normo estas duonnormo kun la aldona propraĵo

p(v) = 0 se kaj nur se v estas la nula vektoro (pozitiva difiniteco)

Topologia vektora spaco estas normebla (duonnormebla) se la topologio de la spaco povas esti konkludita per normo (duonnormo).

Duonnormoj estas ofte skribataj kiel p(v) (funkcia skribmaniero), normoj estas tradicie skribataj kiel ||v|| (kiel varianto de skribmaniero de la absoluta valoro).

Utila konsekvenco de la normaj aksiomoj estas la neegalaĵo

||u ± v|| ≥ | ||u|| − ||v|| |

por ĉiuj u kaj v ∈ K.

• La bagatela duonnormo, p(x) = 0 por ĉiuj x en V.
• La absoluta valoro estas normo sur la reelaj nombroj.
• Ĉiu lineara formo f sur vektora spaco difinas duonnormon per x→|f(x)|.

Sur Rⁿ, la eŭklida distanco, intuicia nocio de longo de la vektoro x = [x₁, x₂, ..., x_n] estas

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

Ĉi tiu donas la ordinaran distancon de la fonto al x, konsekvenco de la pitagora teoremo. La eŭklida normo estas la plej kutime uzita normo sur Rⁿ, sed estas la aliaj normoj sur ĉi tiu vektora spaco kiuj estas montritaj pli sube.

Sur Cⁿ la plej komuna normo estas

${\displaystyle \|\mathbf {z} \|:={\sqrt {|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}}}.}$, ekvivalento de la eŭklida normo sur R²ⁿ.

En ĉiu okazo oni povas ankaŭ esprimi la normon kiel la kvadrata radiko de la ena produto de la vektoro al si. La eŭklida normo estas ankaŭ nomata kiel la l².

${\displaystyle \|x\|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|.}$

La nomo rilatas al la distanco kiun taksio havas por traveturi rektangulan stratan kradon.

Estu p≥1 reela nombro.

${\displaystyle \|x\|_{p}:=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$

Notu, ke por p=1 ĝi estas la taksia normo kaj por p=2 ĝi estas la eŭklida normo.

${\displaystyle \|x\|_{\infty }:=\max \left(|x_{1}|,\ldots ,|x_{n}|\right).}$

Ĉi tiu estas la normo al kiu konverĝas la p-normo kiam p kreskas malfinie.

En la maŝina lerno kaj optimumigo, ofte estas uzata la nula normo. La nula normo de x estas difinita kiel ${\displaystyle \lim _{p\rightarrow 0}\|x\|_{p}^{p},}$ kie ${\displaystyle \|x\|_{p}}$ estas la p-normo difinita pli supre. Definante ${\displaystyle 0^{0}\equiv 0}$, oni povas skribi la nulan normon kiel ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{0}}$. La nula normo de x estas simple la kvanto de nenulaj eroj de x. Malgraŭ ĝia nomo, la nula normo ne estas vera normo; aparte, ĝi estas ne pozitive homogena.

Alia normoj sur Rⁿ povas esti konstruitaj per kombinigo de tiuj la pli supre menciitaj; ekzemple

${\displaystyle \|x\|:=2|x_{1}|+{\sqrt {3|x_{2}|^{2}+\max(|x_{3}|,2|x_{4}|)^{2}}}}$

estas normo sur R⁴.

Por ĉiu normo kaj ĉiu bijekcia lineara transformo A oni povas difini nova normo de x, egalan al ${\displaystyle \|Ax\|}$. En 2D, kun A - turnado per 45° kaj taŭga skaligo, ĉi tiu ŝanĝas la taksian normon en la maksimuman normon. En 2D, ĉiu A aplikita al la taksia normo, krom al inversigo kaj interŝanĝanta de aksoj, donas malsaman unuoblan pilkon: paralelogramo de aparta formo, amplekso kaj orientiĝo. En 3D ĉi tiu estas simila sed malsama por la 1-normo (okedro) kaj la maksimuma normo (prismo kun paralelograma bazo).

Ĉiu pli supre donitaj formuloj ankaŭ donas normojn sur Cⁿ sen ŝanĝo.

La ĝeneraligo de la normoj pli supre donitaj al nefinia kvanto de komponantoj kondukas al la Lp spacoj kun normoj

${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$

${\displaystyle \|f\|_{p,X}=\left(\int _{X}|f(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}}$

(por komplekso-valoraj vicoj x kaj funkcioj f difinitaj sur ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$), kiu povas esti plu ĝeneraligita (vidu en mezuro de Haar).

Ĉiu ena produto konkludas en natura vojo al normo ${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$

Alia ekzemploj de nefiniaj dimensiaj normigitaj vektoraj spacoj povas troviĝi en la banaĥa spaco.

La koncepto de unuocirklo (la aro de ĉiuj vektoroj de normo 1) estas malsama en malsama normoj: por la 1-normo la unuocirklo en R² estas kvadrato, por la 2-normo (eŭklida normo) ĝi estas la konata unuocirklo], dum por la malfinia normo ĝi estas kvadrato sed alie turnita.

Du normoj ||·||₁ kaj ||·||₂ sur vektora spaco V estas ekvivalentaj, se ekzistas pozitivaj reelaj nombroj C kaj D tiaj ke

${\displaystyle C\|x\|_{1}\leq \|x\|_{2}\leq D\|x\|_{1}}$

por ĉiu x en V. Sur finie dimensia vektora spaco ĉiuj normoj estas ekvivalentaj.

Ĉiu duonnormo estas sublineara funkcio, kio implicas ke ĉiu normo estas konveksa funkcio. Kiel rezulto, trovigo de malloka optimumo de normo-bazita objekta funkcio estas ofte akordiĝema.

Por donita finia aro de duonnormoj p_i sur vektora spaco la sumo

${\displaystyle p(x):=\sum _{i=0}^{n}p_{i}(x)}$

estas denove duonnormo.

• Absoluta valoro
• Neegalaĵo de triangulo
• Polariza idento
• Normo de Minkowski