Afgeleide

In die wiskunde en veral die differensiaalrekening is die afgeleide van 'n funksie by 'n punt die helling van die raaklyn aan die grafiek van die funksie op die punt. Die woord 'afgeleide' is hier om die waarheid te sê 'n afgekorte term vir die begrip 'afgeleide waarde'. Dit is 'n waarde wat afgelei is uit die oorspronklike funksie. Bepaling van die afgeleide van 'n funksie word differensieer genoem.

As die afgeleide van 'n funksie f vir alle punte in die domein van f gedefinieer is, word die daardeur bepaalde funksie die afgeleide funksie of kortweg die afgeleide genoem. Die afgeleide van 'n funksie f word dikwels genoteer as f' ("f-aksent") of as ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}$. Die konsep van 'n afgeleide is in die 17de eeu byna tegelykertyd deur Isaac Newton en Gottfried Leibniz uitgevind.

'n Fietsryer ry langs 'n reguit pad. Die afstand wat hy afgelê het in die tyd t sedert hy begin ry het, noem ons s(t). Hoe vinnig het hy op die tydstip t₀ gery? Sy snelheid kan bepaal word deur te kyk watter afstand hy afgelê het in die tyd Δt ná die tydstip t₀. Hierdie afstand is:

${\displaystyle \Delta s=s(t_{0}+\Delta t)-s(t_{0})\!}$

Sy gemiddelde snelheid in hierdie periode was dus:

${\displaystyle {\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}}$.

Hoe kleiner ons die periode Δt neem, hoe meer benader die gemiddelde snelheid die snelheid v(t₀) op die tydstip t₀. Die snelheid is die limiet vir Δt na 0 en word die afgeleide van s(t) na t genoem:

${\displaystyle v(t_{0})=s'(t_{0})={\frac {ds}{dt}}(t_{0})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}}$.

Laat f: R→R 'n kontinue funksie wees. Ons beskou 'n lyn deur twee naby mekaar liggende punte op die Grafiek van f: die punt (x, f(x)) en die punt (x + Δx, f(x + Δx)). Die verskil tussen die x-koördinate van hierdie punte is Δx en die verskil tussen hun y-koördinate is Δf = Δy = f(x + Δx) – f(x). Die helling van die lyn deur hierdie twee punte is

${\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}.}$

As die limiet van hierdie uitdrukking vir Δx→0 bestaan, is die afgeleide van f in x gedefinieer as hierdie limiet:

${\displaystyle f'(x)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}.}$

As hierdie limiet bestaan, noem ons f differensieerbaar in x.

'n gelykwaardige definisie, wat eenvoudiger veralgemeen kan word na funksies van meer veranderlikes, is die volgende: Laat x₀ 'n reële getal wees. As daar 'n reële getal a en 'n funksie h bestaan sodat vir alle x geld

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+a\cdot (x-x_{0})+h(x-x_{0})}$

en bowendien h(x) / x naar 0 gaan as x→0, dan is a die afgeleide van f in x₀.

• afgeleide van ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}-(x^{2})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}}$${\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)=2x}$

• afgeleide van ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$

Ons kan ${\displaystyle x^{n}}$ skryf as ${\displaystyle x{}x^{n-1}}$, en daar die produkreël toepas: ${\displaystyle f'(x)=x^{n-1}+x(n-1)x^{n-2}=nx^{n-1}}$. Verder weet ons dat ${\displaystyle f'(x^{2})=2x}$ (basisstap).

Op hierdie manier kan ons met behulp van induksie aflei dat die afgeleide ${\displaystyle nx^{n-1}}$ is

• afgeleide van ${\displaystyle f(x)=exp(x)}$

${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\exp(x+\Delta x)-\exp(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\exp(x)\exp(\Delta x)-\exp(x)}{\Delta x}}=\exp(x)\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\exp(\Delta x)-1}{\Delta x}}=\exp(x)}$,

want ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\exp(\Delta x)-1}{\Delta x}}=1}$, uit die somdefinisie van ${\displaystyle \exp(x)}$.

Ons stip vooraleers die nuttige formules in verband met afleides aan:

• Kettingreël: as${\displaystyle f(x)=g(h(x))}$, dan ${\displaystyle {\frac {}{}}f'(x)=g'(h(x))h'(x)}$
• Produkreël: as ${\displaystyle \,\!(fg)'=f'g+fg'}$
• Kwotiëntreël: as ${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$, dan ${\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}}$

• afgeleide van f(x)=sin(x)
  • uit sin(x)=cos(π-x)

${\displaystyle \sin(x)=\cos(\pi -x)}$, uit die Kettingreël volg dan: ${\displaystyle (\sin(x))'=-(\cos(\pi -x))'=\sin(\pi -x)=\cos(x)}$

• • uit ${\displaystyle \cos(x)^{2}+\sin(x)^{2}=1}$

${\displaystyle \sin(x)={\sqrt {(}}1-\cos(x)^{2})}$…

• afgeleide van f(x)=tan(x)

${\displaystyle \tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}}$, uit die quotiëntregel volg dan ${\displaystyle f'(x)={\frac {\sin '(x)\cos(x)-\sin(x)\cos '(x)}{\cos(x)^{2}}}={\frac {cos(x)^{2}+sin(x)^{2}}{\cos(x)^{2}}}={\frac {1}{\cos(x)^{2}}}}$

• afgeleide van ln(x)

Ons kan dit aantoon met behulp van die kettingreël:

${\displaystyle {\frac {}{}}(\exp(\ln(x))'=\exp '(\ln(x))\ln '(x)=\exp(\ln(x))\ln '(x)=x\ln '(x)}$, want ${\displaystyle \exp(x)=\exp '(x)}$.

Eintlik is exp(ln(x)) gelyk aan x (uit die definisie van logaritme), en is die afgeleide aldus gelyk aan 1. Uiteraard bly die kettingreël geldig: ${\displaystyle {\frac {}{}}(\exp(\ln(x))'=x\ln '(x)=1}$, of die afgeleide van ln(x) is ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$

• afgeleide van cosh(x)) en sinh(x)

Net soos by die cosinus, kan ons gebruik maak van die someiëskap van die cosinus hyperbolicus: ${\displaystyle \cosh(a+b)=\cosh(a)\cosh(b)+\sinh(a)\sinh(b)}$; of ons gebruik die eiëskap ${\displaystyle \cosh(x)=\cos(\imath x)}$.

Beide resulteer in: ${\displaystyle \cosh '(x)=\sinh '(x)}$, en omgekeer: ${\displaystyle \sinh '(x)=\cosh '(x)}$

As f' ook differensieerbaar is, dan is dit moontlik om hiervan die afgeleide f te bepaal. Dié word dan die tweede orde afgeleide genoem, of kortweg tweede afgeleide van f. Selfs hoërorde afgeleides kom voor. Die n^e afgeleide word dikwels aangedui met f ⁽ⁿ⁾.

Die afgeleide het veelvuldige belangrike toepassings in die wiskunde. So kan 'n maksimum of minimum van 'n funksie gevind word deur die afgeleide te bepaal. Indien 'n funksie in 'n bepaalde punt 'n (lokaal) maksimum of 'n (lokaal) minimum bereik, is die afgeleide van die funksie in die punt gelyk aan nul (indien die afgeleide bestaan). Om 'n grafiek van 'n funksie met die hand te teken is dit daarom sinvol om eers die uiteindelike maksima en minima te bepaal. Om te bepaal of die punte waarin die afgeleide gelyk is aan nul maksima or minima is, word soms gebruik gemaak van die Hessiaan.

Baie toepassings het die afgeleide ook in die natuurkunde. So is byvoorbeeld snelheid die afgeleide volgens die tyd van die plek (posisie). Versnelling is dan weer die afgeleide van snelheid.