Bhaskara II

Exemplo 1: A solução da equação ${\displaystyle x^{2}-4y^{2}=1}$  é ${\displaystyle x=\pm 1}$  e ${\displaystyle y=0.}$ 

Exemplo 2: Algumas soluções inteiras da equação ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1}$  são ${\displaystyle (17,12),}$  ${\displaystyle (99,70),}$  e ${\displaystyle (19601,13860.)}$ 

Exemplo 3: ${\displaystyle {\sqrt {5+{\sqrt {24}}}}={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {(5)^{2}-24}}}{2}}}+{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {(5)^{2}-24}}}{2}}}=}$  ${\displaystyle {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {25-24}}}{2}}}+{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {25-24}}}{2}}}=}$  ${\displaystyle {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {1}}}{2}}}+{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {1}}}{2}}}=}$  ${\displaystyle {\sqrt {\frac {5+1}{2}}}+{\sqrt {\frac {5-1}{2}}}={\sqrt {\frac {6}{2}}}+{\sqrt {\frac {4}{2}}}\to }$  ${\displaystyle {\sqrt {5+{\sqrt {24}}}}={\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}.}$ 

Bhaskara escreveu seis livros comprovados que são:

• Siddhantasiromani, dedicado a assuntos astronômicos
• Lilavati
• Bijaganita, um tratado sobre Álgebra
• Vasanabhasya de Mitaksara
• Karanakutuhala ou Brahmatulya
• Vivarana

O livro Siddhantasiromani foi escrito em 1150 e está dividido em duas partes: Goladhyaya-Esfera Celeste e Granaganita-Matemática dos Planetas. Esses dois livros tratam sobre trigonometria e matemática aplicada à astronomia. Nesta obra encontram-se a soma e diferença de senos de dois ângulos, ou seja, ${\displaystyle sen(a+b)=sen\ a\cdot cos\ b+sen\ b\cdot cos\ a}$  e ${\displaystyle sen(a-b)=sen\ a\cdot cos\ b-sen\ b\cdot cos\ a}$ .^[4]

Lilavati (significa formosa e bela, em sânscrito), é a sua obra mais importante e leva o nome de sua filha.O livro foi composto em forma de poema com 278 versos e possui finalidade lúdica. Este livro ganhou grande popularidade na Índia durante o tempo de Akbar (1556-1605). Foi sob a ordem deste imperador que Abul Faizi, o poeta da corte, preparou a tradução integral, o Tarjamah-i-Lilavati em 1587 d.C.. Refere-se a vários assuntos,tais como: sistema de numeração, operações fundamentais, frações, regra de três simples e composta, misturas, porcentagem, progressões, geometria e equações indeterminadas, ou diofantinas, quadráticas e também a equação de Pell.

Existe uma lenda em torno do nome desse livro que diz:

Lilavati era o nome da filha de Bhaskaracarya. Ao lançar o seu horóscopo, ele descobriu que o momento auspicioso para o casamento seria uma hora específica em um determinado dia. Bhaskaracarya marcou com o cilindro do tempo [os hindus mediam, calculavam e determinavam as horas do dia com o auxílio de um cilindro colocado num vaso cheio d'água. Esse cilindro era aberto apenas em cima e apresentava um pequeno orifício no centro da superfície da base para a entrada da água a hora específica para o matrimônio. Quando tudo estava pronto e o cilindro do tempo iniciará a marcar a hora propícia para o casamento, Lilavati, de repente, por curiosidade, inclinou-se sobre o recipiente e uma pérola de seu vestido caiu no copo e bloqueou o buraco. A hora da sorte passou sem que o cilindro marcasse. Bhaskarachaya acreditava que a única maneira de consolar a filha abatida, que agora nunca iria se casar, era escrever-lhe um manual de matemática!^[5]

 Ver artigo principal: Fórmula quadrática

 Ver artigo principal: Equação do 2º grau

No mundo acadêmico é comum dar o nome do pesquisador à sua obra. No Brasil, por volta de 1960,^{[carece de fontes?]} o nome de Bhaskara passou a designar a fórmula de resolução da equação do 2º grau. Não se vê essa nomeclatura em outros países, mesmo porque não foi ele quem a descobriu. Historicamente existem registros de sua existência cerca de 4000 anos antes, em textos escritos pelos babilônios. Naquela época não existia a simbologia utilizada hoje, ou seja, não havia a fórmula atual, mas sim uma espécie de "receita" de como proceder para encontrar as raízes da equação quadrática. Na Grécia (500 a.C.) também já se conhecia a resolução de algumas equações e era feito de forma geométrica. O método empregado por Bhaskara nas resoluções das equações quadráticas é do matemático indiano Sridhara [en] (870-930 d.C.) e reconhecido pelo próprio Bhaskara.^[6] A fórmula para extrair essas raízes veio com um matemático francês, François Viète (1540-1603), que foi quem procurou dar um tratamento mais formal e algébrico para obter uma fórmula geral.

Atualmente as equações quadráticas são utilizadas em diversos problemas do dia a dia, tais como otimização, massa corpórea, nos movimentos uniformemente variados, cálculo de área, entre tantos outros. Sua demonstração é considerada simples e será feita logo abaixo:

Uma equação do segundo grau é da forma ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}$  com ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$  e ${\displaystyle a\neq 0.}$  Sua Fórmula de resolução é ${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$  ou seja, suas raízes são:

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$  e ${\displaystyle x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$ 

A demonstração será realizada de duas maneiras, embora a ideia central é a mesma, que é a de completar quadrados:

Primeira demonstração^[7]:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$  (divida tudo por ${\displaystyle a}$ )

${\displaystyle x^{2}+{\frac {bx}{a}}+{\frac {c}{a}}=0}$  (some a ambos os lados o termo ${\displaystyle -c/a)}$ 

${\displaystyle x^{2}+{\frac {bx}{a}}=-{\frac {c}{a}}}$  (some a ambos os lados da igualdade o termo ${\displaystyle {\frac {b^{2}}{4a^{2}}}.}$  Note que a equação continua sendo verdadeira)

${\displaystyle x^{2}+{\frac {bx}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}$  (Transforme o lado esquerdo da igualdade num produto notável e tire o ${\displaystyle M.M.C.}$  do lado direito.)

${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$  (extraia a raiz quadrada)

${\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}}$  (some a ambos os lados da igualdade o termo ${\displaystyle -b/2a}$ )

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\to x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ 

Segunda demonstração:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$  (multiplique a equação por ${\displaystyle 4a}$ )

${\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0}$  (some a ambos os lados da igualdade o termo ${\displaystyle -4ac)}$ 

${\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac}$  (some a ambos os lados da igualdade o termo ${\displaystyle b^{2}.}$  Note que a equação continua sendo verdadeira)

${\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac}$  (Transforme o lado esquerdo da igualdade num produto notável.)

${\displaystyle (2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac}$  (extraia a raiz quadrada)

${\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}$  (some a ambos os lados da igualdade o termo ${\displaystyle -b}$ )

${\displaystyle 2ax=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}$  (divida tudo por ${\displaystyle 2a}$ )

${\displaystyle {\frac {2ax}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\to x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ 

Exemplo 4: Encontre as raízes reais da equação ${\displaystyle x^{2}+x-6=0.}$ 

Solução: Da equação dada obtemos ${\displaystyle a=1,b=1,c=-6}$  e substituindo na fórmula temos:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-1\pm {\sqrt {(1)^{2}-4(1)(-6)}}}{2(1)}}={\frac {-1\pm {\sqrt {1+24}}}{2}}={\frac {-1\pm {\sqrt {25}}}{2}}={\frac {-1\pm 5}{2}}\to }$ 

${\displaystyle x_{1}={\frac {-1+5}{2}}={\frac {4}{2}}=2}$  e ${\displaystyle x_{2}={\frac {-1-5}{2}}={\frac {-6}{2}}=-3.}$  Portanto, ${\displaystyle S=\{-3,2\}.}$ 

Teorema de Cardano-Viète (para equações quadráticas)

Dada a equação na forma ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}$  com ${\displaystyle a\neq 0,}$  de raízes reais ${\displaystyle x_{1}}$  e ${\displaystyle x_{2},}$  representa-se a soma das raízes por ${\displaystyle S}$  e o produto por ${\displaystyle P.}$  Então temos:

${\displaystyle S=x_{1}+x_{2}={\frac {-b}{a}}}$  e ${\displaystyle P=x_{1}*x_{2}={\frac {c}{a}}.}$ 

Demonstração: Temos que ${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$  e ${\displaystyle x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$  então

${\displaystyle S=x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}={\frac {-b}{a}}}$  e

${\displaystyle P=x_{1}*x_{2}=\left({\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)*\left({\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)={\frac {(-b)^{2}+({\sqrt {b^{2}-4ac}})^{2}}{2a}}={\frac {b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}.}$ 

Exemplo 5: Encontra a soma e o produto das raízes da equação ${\displaystyle 2x^{2}-3x-6=0}$ ; sem ter que determinar as raízes da equação.

Solução: ${\displaystyle S=x_{1}+x_{2}={\frac {-b}{a}}={\frac {-(-3)}{2}}={\frac {3}{2}}}$  e ${\displaystyle P=x_{1}*x_{2}={\frac {c}{a}}={\frac {-6}{2}}=-3}$ 

Exemplo 6: Na equação ${\displaystyle 3x^{2}-5x+7=0,}$  de raízes ${\displaystyle x_{1}}$  e ${\displaystyle x^{2},}$  determine o valor da expressão ${\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x^{2}}}.}$ 

Solução: Dado ${\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x^{2}}}={\frac {x_{2}+x_{1}}{x_{1}*x_{2}}},}$  mas ${\displaystyle S=x_{1}+x_{2}={\frac {-(-5)}{3}}={\frac {5}{3}}}$  e ${\displaystyle P=x_{1}*x_{2}={\frac {7}{3}},}$  então ${\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x^{2}}}={\frac {S}{P}}={\frac {\frac {5}{3}}{\frac {7}{3}}}={\frac {5}{7}}.}$ 

Análise das raízes da equação quadrática:

O termo ${\displaystyle b^{2}-4ac}$  é chamado de ${\displaystyle \Delta }$  (delta), ou discriminante, ou seja, ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.}$  Sendo assim, a equação

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}$  com ${\displaystyle a\neq 0}$  terá ou não solução no conjunto dos números reais se:

${\displaystyle \Delta >0}$  existem duas raízes reais e distintas;

${\displaystyle \Delta =0}$  existem duas raízes reais e iguais, também chamadas de raízes duplas;

${\displaystyle \Delta <0}$  não existem raízes reais;

${\displaystyle \Delta \geq 0}$  existem raízes reais.

Exemplo 7: Qual o valor de ${\displaystyle m}$  para que a equação ${\displaystyle 2x^{2}+x+m=0}$  tenha raízes reais e distintas.

Solução: Neste caso, ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac>0,}$  então ${\displaystyle (1)^{2}-4(2)(m)>0\to 1-8m>0\to 8m<1\to m<1/8.}$ 

Exemplo 8: Qual o valor de ${\displaystyle m}$  para que a equação ${\displaystyle x^{2}+mx+4=0}$  tenha raízes reais e iguais.

Solução: Neste caso, ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac=0,}$  então ${\displaystyle (m)^{2}-4(1)(4)=0\to m^{2}-16=0\to m^{2}=16\to m=\pm {\sqrt {16}}\to m=\pm 4.}$ 

Exemplo 9: Qual o valor de ${\displaystyle m}$  para que a equação ${\displaystyle 9x^{2}+6x+m=0}$  tenha raízes reais.

Solução: Neste caso, ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\geq 0,}$  então ${\displaystyle (6)^{2}-4(9)(m)\geq 0\to 36-36m\geq 0\to 36m\leq 36\to m\leq 1.}$ 

Exemplo 10: Qual o valor de ${\displaystyle m}$  para que a equação ${\displaystyle mx^{2}+2x+3=0}$  não tenha raízes reais.

Solução: Neste caso, ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac<0,}$  então ${\displaystyle (2)^{2}-4(m)(3)<0\to 4-12m<0\to 12m>4\to m>1/3.}$ 

• Lema de Bhaskara
• Equação do 2º grau