Tensor napięć-energii

Tensor energii-pędu (zwany też tensorem napięć-energii) – tensor drugiego rzędu. Jest używany na przykład w ogólnej teorii względności, w której wchodzi w skład równań Einsteina i pełni rolę źródła zakrzywienia czasoprzestrzeni odczuwanego jako grawitacja.

W szczególnej i ogólnej teorii względności przyjmuje się następujące indeksowanie składowych tensora napięć-energii:

${\displaystyle 0}$ – indeks czasowy,

${\displaystyle 1,2,3}$ – indeksy przestrzenne.

Składowa ${\displaystyle T^{ab},a,b=0,1,2,3}$ tensora napięć-energii jest równa składowej ${\displaystyle a}$ strumienia wektora czteropędu przepływającego przez hiperpowierzchnię o stałej współrzędnej ${\displaystyle x^{b}}$ w czasoprzestrzeni.

Tensor napięć-energii w czterowymiarowej czasoprzestrzeni ma wymiary 4×4. Tensor napięć-energii jest w teorii względności symetryczny, tj.^[1]

${\displaystyle T^{\alpha \beta }=T^{\beta \alpha }.}$

W teoriach alternatywnych, jak np. teoria Einsteina-Cartana tensor napięć-energii może nie być dokładnie symetryczny. W takich teoriach nie obowiązuje np. zasada zachowania spinu, choć obowiązuje zasada zachowania momentu pędu – spin może zamieniać się w orbitalny moment pędu i na odwrót. Przy symetrycznym tensorze napięć-energii spin i orbitalny moment pędu są zachowane.

Jeżeli mamy strumień cząstek w przestrzeni, to aby obliczyć składową ${\displaystyle T^{ab}}$ w danym punkcie oblicza się sumę składowych ${\displaystyle a}$ czterowektora pędu cząstek, które przechodzą przez mały element hiperpowierzchni prostopadłej do wektora bazowego odpowiadającego wymiarowi ${\displaystyle b}$ i dzieli przez wielkość tej hiperpowierzchni.

(1) Składowa ${\displaystyle T^{00}}$ tensora napięć-energii jest równa gęstości energii w pobliżu danego punktu.

(2) Składowe ${\displaystyle T^{a,0}}$ oraz ${\displaystyle T^{0,a},}$ gdzie ${\displaystyle a=1,2,3}$ to gęstość pędu (pomnożona przez ${\displaystyle c}$) w pobliżu danego punktu (łączna wartość pędu w danym obszarze, dzielona przez objętość tego obszaru).

(3) Składowe ${\displaystyle T^{a,b}}$ gdzie ${\displaystyle a,b=1,2,3}$ tworzą tensor napięć (pojęcie analogiczne do tensora napięć znanego w technice):

a) składowe diagonalne tego tensora to ciśnienie,

b) składowe pozadiagonalne to naprężenie ścinające.

Tensor napięć-energii jest tensorem drugiego rzędu, dlatego jego składowe można przedstawić w postaci macierzy 4×4^[2]:

${\displaystyle (T^{\mu \nu })_{\mu ,\nu =0,1,2,3}={\begin{pmatrix}T^{00}&T^{01}&T^{02}&T^{03}\\T^{10}&T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{20}&T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{30}&T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{pmatrix}}}$

lub też, identyfikując odpowiednie składowe z wielkościami fizycznymi

${\displaystyle (T^{\mu \nu })_{\mu ,\nu =0,1,2,3}={\begin{pmatrix}u&p^{x}&p^{y}&p^{z}\\p^{x}&P^{xx}&\sigma ^{xy}&\sigma ^{xz}\\p^{y}&\sigma ^{yx}&P^{yy}&\sigma ^{yz}\\p^{z}&\sigma ^{zx}&\sigma ^{zy}&P^{zz}\end{pmatrix}},}$

gdzie:

${\displaystyle u}$ – gęstość energii,

${\displaystyle p^{x},p^{y},p^{z}}$ – składowe gęstości pędu (pomnożone przez ${\displaystyle c}$),

${\displaystyle P^{xx},P^{yy},P^{zz}}$ – ciśnienia,

${\displaystyle \sigma ^{xy},\sigma ^{xz},\sigma ^{yz}}$ – naprężenia ścinające.

Dla cząstki izolowanej (nie oddziałującej z otoczeniem) o masie m, znajdującej się w położeniu ${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{p}}(t)}$ tensor napięć-energii ma postać:

${\displaystyle T^{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,t)={\frac {m\,v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\;\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t))={\frac {E}{c^{2}}}\;v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)\;\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t)),}$

gdzie:

${\displaystyle (v^{\alpha })_{\alpha =0,1,2,3}}$ – składowe wektora prędkości (nie należy mylić z 4-wektorem prędkości, który dodatkowo zawiera czynnik ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}}$), tzn. ${\displaystyle (v^{\alpha })_{\alpha =0,1,2,3}=\left(1,{\frac {d\mathbf {x} _{\text{p}}}{dt}}(t)\right),}$

${\displaystyle \delta }$ – delta Diraca,

${\displaystyle E={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$ – całkowita energia cząstki.

Dowolny rozkład materii/energii można otrzymać ze zbioru cząstek punktowych.

Dlatego tensor napięć-energii można wyrazić za pomocą sumy tensorów napięć-energii pojedynczych cząstek. Tensor ten dla pojedynczej cząstki ma postać

${\displaystyle T_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,t)=\gamma mv_{\alpha }v_{\beta },\quad \alpha ,\beta =0,1,2,3}$

w położeniu, gdzie cząstka znajduje się aktualnie, zaś zero wszędzie indziej. Tensor ten zmienia się w ogólności w czasie, gdy zmienia się w czasie położenie i prędkość cząstki. Zmienna ${\displaystyle v}$ jest wektorem prędkości, tj. równym pochodnej położenia cząstki względem czasu (nie czasu własnego)

${\displaystyle v=(c,dx/dt,dy/dt,dz/dt).}$

Widać stąd, że wszystkie składowe tensora napięć-energii mają jednakowy wymiar ${\displaystyle \mathrm {[kgm^{2}/s^{2}]=[J]} .}$

Aby otrzymać tensor napięć-energii w przypadku zbioru wielu cząstek sumuje się tensory dla cząstek punktowych i dzieli przez objętość, jaką zajmuje zbiór cząstek – w ten sposób składowe tensora będą gęstościami pędu i ciśnienia, średnimi dla dyskretnego zbioru cząstek.

Element ${\displaystyle T_{00}=\gamma mc^{2}}$ jest energią cząstki. Stąd, jeżeli dodamy energie wszystkich cząstek punktowych, to otrzymamy całkowitą energię.

Elementy ${\displaystyle T_{i0}=\gamma mv_{i}c}$ oznaczają pędy cząstek w kierunki ${\displaystyle i=1,2,3,}$ mnożone przez prędkość światła ${\displaystyle c.}$ Stąd, jeżeli dodamy te elementy od wszystkich cząstek punktowych, to otrzymamy całkowity pęd w kierunku ${\displaystyle i}$ mnożony przez prędkość światła ${\displaystyle c,}$ czyli prędkość w kierunku osi czasu.

Podobnie, niediagonalne elementy ${\displaystyle T_{ij}=\gamma mv_{i}v_{j}}$ dla zbioru cząstek dodane do siebie dają sumę pędów cząstek w kierunku ${\displaystyle i}$ mnożonych przez ich prędkości w kierunku ${\displaystyle j.}$

Elementy diagonalne ${\displaystyle T_{ii}=\gamma mv_{i}^{2}}$ wyglądają jak energie kinetyczne. W zbiorze cząstek chaotycznie poruszających się, jak np. w gazie, energia kinetyczna związana jest z ciśnieniem, dlatego elementy diagonalne odpowiadają za ciśnienie.

Dla płynu idealnego w równowadze termodynamicznej tensor napięć-energii ma prostą postać^[3]

${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right)u^{\alpha }u^{\beta }+pg^{\alpha \beta },}$

gdzie:

${\displaystyle \rho }$ – gęstość masy-energii [kg/m³],

${\displaystyle p}$ – ciśnienie hydrostatyczne [Pa],

${\displaystyle u^{\alpha }}$ – czteroprędkość płynu,

${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$ – odwrotny tensor metryczny.

Ślad tego tensora wynosi

${\displaystyle T=3p-\rho c^{2},}$

a czteroprędkość spełnia równanie

${\displaystyle u^{\alpha }u^{\beta }g_{\alpha \beta }=-c^{2}.}$

W układzie odniesienia poruszającym się z płynem, zwanym właściwym układem odniesienia, mamy

${\displaystyle (u^{\alpha })_{\alpha =0,1,2,3}=(1,0,0,0).}$

Odwrotny tensor metryczny ma postać

${\displaystyle (g^{\alpha \beta })_{\alpha ,\beta =0,1,2,3}=\left({\begin{matrix}-c^{-2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right).}$

Tensor napięć-energii jest diagonalny

${\displaystyle (T^{\alpha \beta })_{\alpha ,\beta =0,1,2,3}=\left({\begin{matrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right).}$

Tensor napięć-energii Hilberta dla pozbawionego źródeł pola elektromagnetycznego ma postać:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\mu \alpha }g_{\alpha \beta }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F_{\delta \gamma }F^{\delta \gamma }\right),}$

gdzie ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ – tensor pola elektromagnetycznego.

Tensor napięć-energii dla pola skalarnego ${\displaystyle \phi }$ które jest rozwiązaniem równania Kleina-Gordona ma postać

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }g^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta })\partial _{\alpha }{\overline {\phi }}\partial _{\beta }\phi -g^{\mu \nu }mc^{2}{\overline {\phi }}\phi .}$

Gdy metryka jest płaska (metryka Minkowskiego), to otrzyma się:

${\displaystyle {\begin{aligned}T^{00}&={\frac {\hbar ^{2}}{mc^{4}}}\left(\partial _{0}{\overline {\phi }}\partial _{0}\phi +c^{2}\partial _{k}{\overline {\phi }}\partial _{k}\phi \right)+m{\overline {\phi }}\phi ,\\T^{0i}=T^{i0}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{mc^{2}}}\left(\partial _{0}{\overline {\phi }}\partial _{i}\phi +\partial _{i}{\overline {\phi }}\partial _{0}\phi \right),\quad \mathrm {oraz} \\T^{ij}&={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(\partial _{i}{\overline {\phi }}\partial _{j}\phi +\partial _{j}{\overline {\phi }}\partial _{i}\phi \right)-\delta _{ij}\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\alpha }{\overline {\phi }}\partial _{\beta }\phi +mc^{2}{\overline {\phi }}\phi \right).\end{aligned}}}$

Uważa się, że najdokładniejszy opis oddziaływanie pola grawitacyjnego z materią da kwantowa teoria grawitacji, traktująca materię i pole grawitacyjne jako układy kwantowe. Nie istnieje jednak jak dotąd kwantowa teoria grawitacji, choć podejmowane są liczne próby jej sformułowania.

Pierwszym podejściem w tym kierunku jest tzw. przybliżenie quasi-klasyczne, które traktuje pole grawitacyjnie w sposób klasyczny, a materię kwantowo, tzn. modyfikuje się równania Einsteina do postaci

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }=-K\langle T_{\mu \nu }\rangle ,}$

czyli:

• tensor pola grawitacyjnego (tensor Einsteina) pozostaje bez zmian,
• tensora energii-pędu materii zastępuje się przez średni statystyczne tensor energii-pędu ${\displaystyle T_{\mu \nu }\to \langle T_{\mu \nu }\rangle ,}$

przy czym średni statystyczna zależy od funkcji falowej określającej stan kwantowy materii.

Tensor energii pędu jest teraz określony przez gęstość energii i ciśnienie układu fizycznego

${\displaystyle \langle T_{\mu \nu }\rangle =(\epsilon +P)u_{\mu }u_{\nu }-g_{\mu \nu }P,}$

gdzie ${\displaystyle u}$ jest wektorem jednostkowym ${\displaystyle u_{\mu }u^{\mu }=1,}$ ${\displaystyle \epsilon }$ jest przestrzennym rozkładem energii, a ${\displaystyle P}$ rozkładem ciśnienia.

Np. w płaskiej przestrzeni Minkowskiego ${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(1,-1,-1,-1)}$ wektor jednostkowy ${\displaystyle u^{\mu }=\{1,0,0,0\}}$ i tensor energii-pędu ma postać macierzową

${\displaystyle T_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}\epsilon &0&0&0\\0&P&0&0\\0&0&P&0\\0&0&0&P\end{bmatrix}}.}$

Aby rozwiązać równania Einsteina musi być podana pełna informacja o układzie fizycznym, dlatego trzeba zadać dodatkowo równanie stanu materii (EOS), określające zależność ciśnienia od gęstości materii

${\displaystyle P=P(\epsilon ).}$

• równanie Einsteina

• LewL. Landau LewL., E.M.E.M. Lifszyc E.M.E.M., Teoria pola, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009 .