Metryka Schwarzschilda

Rozwiązanie Schwarzschilda – rozwiązanie równań Einsteina ogólnej teorii względności, opisujące pole grawitacyjne (ściślej: metrykę czasoprzestrzeni) na zewnątrz i wewnątrz sferycznie symetrycznego, nie rotującego ciała, jak gwiazda, planeta czy czarna dziura. Daje ono również dobre przybliżenie dla pola grawitacyjnego w pobliżu wolno obracających się ciał, takich jak Ziemia czy Słońce.

Zgodnie z twierdzeniem Birkhoffa, rozwiązanie Schwarzschilda jest najbardziej ogólnym sferycznie symetrycznym rozwiązaniem próżniowym równań pola Einsteina. Zostało ono znalezione przez Karla Schwarzschilda w 1915 roku, zaledwie miesiąc po ogłoszeniu ogólnej teorii względności przez Einsteina. Było to pierwsze ścisłe rozwiązanie równań pola Einsteina, nie licząc trywialnego rozwiązania dla czasoprzestrzeni bez materii i energii.

Czarna dziura Schwarzschilda jest scharakteryzowana wyłącznie przez swoją masę – nie posiada ładunku elektrycznego ani momentu pędu. Taka czarna dziura zwana jest statyczną czarną dziurą. Jest ona otoczona przez sferyczną powierzchnię, zwaną horyzontem zdarzeń, o promieniu wprost proporcjonalnym do masy czarnej dziury (zwanym promieniem Schwarzschilda). Dowolne zapadające się ciało obdarzone masą, nieposiadające momentu pędu i ładunku, po osiągnięciu promienia grawitacyjnego staje się czarną dziurą Schwarzschilda. W ogólnej teorii względności nie ma ograniczeń na masę czarnej dziury tego typu, przy czym spodziewane jest istnienie dolnej granicy ze względu na efekty kwantowe.

Rozwiązanie Schwarzschilda przedstawia metrykę czasoprzestrzeni wokół symetrycznego obiektu, która dla przestrzennych współrzędnych sferycznych ma postać:

${\displaystyle c^{2}{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right),}$

gdzie:

${\displaystyle \tau }$ – czas własny,

${\displaystyle c}$ – prędkość światła w próżni,

${\displaystyle t}$ – czas (współrzędna czasowa) mierzony przez stacjonarnego obserwatora znajdującego się w nieskończoności,

${\displaystyle r}$ – współrzędna radialna,

${\displaystyle \theta }$ – współrzędna azymutalna,

${\displaystyle \varphi }$ – współrzędna zenitalna,

${\displaystyle r_{s}}$ – promień Schwarzschilda obiektu, zależny od jego masy ${\displaystyle M,}$

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

${\displaystyle G}$ – newtonowska stała grawitacji.

Rozwiązanie Schwarzschilda jest relatywistycznym odpowiednikiem pola grawitacyjnego wokół masywnej cząstki punktowej w klasycznej newtonowskiej teorii grawitacji^[1].

W praktyce stosunek ${\displaystyle r_{s}}$ jest właściwie zawsze bardzo mały, stosunek ten jest znaczący jedynie dla supergęstych obiektów zwartych, takich jak czarne dziury czy gwiazdy neutronowe.

Metryka Schwarzschilda jest rozwiązaniem równań pola Einsteina w pustej przestrzeni, co oznacza, że dotyczy ono wyłącznie obszaru „na zewnątrz” ciała obdarzonego masą. Innymi słowy, dla obiektu o promieniu ${\displaystyle R,}$ rozwiązanie Schwarzschilda dotyczy tylko obszaru o ${\displaystyle r>R.}$ W celu opisania pola grawitacyjnego również wewnątrz danego ciała, rozwiązanie to należy połączyć (zszyć) w ${\displaystyle r=R}$ z odpowiednim rozwiązaniem dla części wewnętrznej.

Metryka Schwarzschilda wewnątrz sferyczno-symetrycznej nierotującej masy o stałej gęstości ${\displaystyle \rho _{0}}$ i promieniu ${\displaystyle r_{0}}$ przedstawia się następująco:

${\displaystyle c^{2}{d\tau }^{2}=\left({\frac {3}{2}}{\sqrt {1-K{r_{0}}^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-Kr^{2}}}\right)^{2}c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-K{r}^{2}}}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right),}$

gdzie stała ${\displaystyle K}$ jest dana przez:

${\displaystyle K={\frac {8\pi G\rho _{0}}{3c^{2}}}.}$

• linie geodezyjne w metryce Schwarzschilda
• wyprowadzenie rozwiązania Schwarzschilda
• inne metryki:
  • metryka Kerra – dla rotujących czarnych dziur pozbawionych ładunku elektrycznego
  • metryka Kerra-Newmana – dla rotujących czarnych dziur obdarzonych ładunkiem elektrycznym
  • metryka Reissnera–Nordströma – dla nierotujących czarnych dziur obdarzonych ładunkiem elektrycznym
• inne:
  • rozmaitość riemannowska
  • rozmaitość pseudoriemannowska

• More about the Schwarzschild Geometry na Andrew Hamilton’s website, casa.colorado.edu [dostęp 2024-08-22].