Macierz unitarna

Macierz unitarna – macierz kwadratowa o elementach zespolonych ${\displaystyle U\in M_{n\times n}(\mathbb {C} )}$ spełniająca własność^[1]:

${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I_{n},}$

gdzie:

${\displaystyle I_{n}}$ jest macierzą jednostkową wymiaru ${\displaystyle n,}$

${\displaystyle U^{\dagger }}$ jest sprzężeniem hermitowskim macierzy ${\displaystyle U.}$

Zauważmy, że własność ta oznacza, iż macierz ${\displaystyle U}$ posiada macierz odwrotną ${\displaystyle U^{-1}}$ równą sprzężeniu hermitowskiemu jej samej, czyli:

${\displaystyle U^{\dagger }=U^{-1}.}$

Szczególnym przypadkiem macierzy unitarnej jest macierz ortogonalna, mająca wyłącznie rzeczywiste elementy. Macierze unitarne mają wyjątkowe znaczenie w mechanice kwantowej.

Macierze unitarne są szczególnym przypadkiem macierzy normalnych.

Macierz unitarna wymiaru ${\displaystyle n\times n}$ można sparametryzować za pomocą ${\displaystyle n^{2}}$ parametrów rzeczywistych (por. Parametryzacje macierzy unitarnych poniżej).

Dla macierzy ${\displaystyle U}$ słuszne są następujące stwierdzenia:

• Dla dowolnych wektorów zespolonych ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y,}$ mnożenie przez ${\displaystyle U}$ zachowuje ich iloczyn wewnętrzny, tzn.

  ${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle ,}$

• ${\displaystyle U}$ można zdiagonalizować, co oznacza, że ${\displaystyle U}$ jest macierzą podobną do macierzy diagonalnej (jest to konsekwencją twierdzenia spektralnego); dlatego ${\displaystyle U}$ można rozłożyć do postaci

  ${\displaystyle U=VDV^{\dagger },}$

gdzie ${\displaystyle V}$ jest unitarna, zaś ${\displaystyle D}$ jest diagonalna i unitarna.

• Wyznacznik macierzy unitarnej jest liczbą zespoloną o module równym 1:

  ${\displaystyle |\det(U)|=1,}$

• Wektory własne macierzy ${\displaystyle U}$ są ortogonalne.
• ${\displaystyle U}$ może być zapisana w postaci ${\displaystyle U=e^{iH}}$ gdzie ${\displaystyle e}$ oznacza eksponentę macierzy, ${\displaystyle i}$ jest jednostką urojoną, zaś ${\displaystyle H}$ jest macierzą hermitowską.

Jeżeli ${\displaystyle U}$ jest zespoloną macierzą kwadratową to następujące warunki są równoważne:

1. ${\displaystyle U}$ jest unitarna.
2. ${\displaystyle U^{\dagger }}$ jest unitarna.
3. macierz odwrotna do ${\displaystyle U}$ jest równa macierzy hermitowsko sprzężonej do ${\displaystyle U,}$ tj. ${\displaystyle U^{-1}=U^{\dagger }.}$
4. Kolumny ${\displaystyle U}$ tworzą bazę ortonormalną w ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ze względu na iloczyn wewnętrzny.
5. Wiersze ${\displaystyle U}$ tworzą bazę ortonormalną w ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ze względu na iloczyn wewnętrzny.
6. ${\displaystyle U}$ jest izometrią ze względu na zwykła normę.
7. ${\displaystyle U}$ jest macierzą normalną z wartościami własnymi leżącymi na okręgu jednostkowym.

Dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej ${\displaystyle n}$ zbiór wszystkich ${\displaystyle n\times n}$ macierzy unitarnych z mnożeniem macierzy jako działaniem grupowym i macierzą jednostkową ${\displaystyle n\times n}$ jako elementem neutralnym mnożenia tworzy grupę, nazywaną grupą unitarną ${\displaystyle U(n).}$ Jest tak, gdyż zachodzą następujące własności:

• Iloczyn dwóch macierzy unitarnych ${\displaystyle n\times n}$ jest macierzą unitarną.
• Macierz odwrotna do macierzy unitarnej ${\displaystyle n\times n}$ jest unitarna.
• Macierz jednostkowa ${\displaystyle n\times n}$ jest unitarna.

Ogólna postać macierzy unitarnej 1×1:

${\displaystyle U=e^{i\varphi }{\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},}$

która zależy od 1 rzeczywistego parametru ${\displaystyle \varphi .}$ Wyznacznik takiej macierzy wynosi:

${\displaystyle \det(U)=e^{i\varphi }.}$

Przypadek gdy ${\displaystyle \varphi =0}$ jest trywialny: wyznaczniki macierzy jest równy 1, istnieje tylko jedna taka macierz o postaci ${\displaystyle U={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},}$ która tworzy 1-elementową grupę nazywana grupą SU(1).

Ogólna postać macierzy unitarnej 2×2:

${\displaystyle U=e^{i\varphi }{\begin{bmatrix}a&b\\-{\overline {b}}&{\overline {a}}\end{bmatrix}},\qquad |a|^{2}+|b|^{2}=1,}$

która zależy od 4 rzeczywistych parametrów (${\displaystyle \varphi }$ oraz trzy parametry niezależne występujące w zapisie liczb zespolonych ${\displaystyle a,b}$). Wyznacznik takiej macierzy wynosi:

${\displaystyle \det(U)=e^{i\varphi }.}$

Gdy ${\displaystyle \varphi =0,}$ to wyznaczniki macierzy jest równy 1. Grupa tworzona przez takie macierze unitarne jest nazywana grupą SU(2).

Macierz ${\displaystyle U}$ może być napisana w alternatywnej formie:

${\displaystyle U=e^{i\varphi }{\begin{bmatrix}e^{i\varphi _{1}}\cos \theta &e^{i\varphi _{2}}\sin \theta \\-e^{-i\varphi _{2}}\sin \theta &e^{-i\varphi _{1}}\cos \theta \end{bmatrix}};}$

po podstawieniu ${\displaystyle \varphi _{1}=\psi +\Delta }$ and ${\displaystyle \varphi _{2}=\psi -\Delta }$ otrzymamy faktoryzację:

${\displaystyle U=e^{i\varphi }{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta }&0\\0&e^{-i\Delta }\end{bmatrix}}.}$

Wyrażenie to podkreśla związek między macierzami unitarnymi 2×2 a macierzami obrotu 2×2 o kącie obrotu ${\displaystyle \theta .}$

Jest wiele możliwych sposobów faktoryzowania danej macierzy.

Ogólna postać macierzy unitarnej 3×3:

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&e^{i\varphi _{4}}&0\\0&0&e^{i\varphi _{5}}\end{bmatrix}}K{\begin{bmatrix}e^{i\varphi _{1}}&0&0\\0&e^{i\varphi _{2}}&0\\0&0&e^{i\varphi _{3}}\end{bmatrix}},}$

która zależy od 9 rzeczywistych parametrów: pięciu parametrów ${\displaystyle \varphi _{n},n=1,2,3,4,5}$ oraz 4 parametrów, za pomocą których wyraża się macierz ${\displaystyle K,}$ która jest macierzą Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (jest to macierz unitarna 3×3).

(1) Macierz

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}e^{-i}\end{bmatrix}}}$

jest unitarna, ponieważ

${\displaystyle U\,U^{\dagger }={\begin{bmatrix}e^{-i}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{+i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e^{-i}e^{+i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}=I.}$

(2) Macierz

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}}$

jest unitarna, ponieważ

${\displaystyle U\,U^{\dagger }={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&-i\\-i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-i^{2}&0\\0&-i^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}=I.}$

(3) Macierz

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1+i&1-i\\1-i&1+i\end{bmatrix}}}$

jest unitarna, ponieważ

${\displaystyle U\,U^{\dagger }={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1+i&1-i\\1-i&1+i\end{bmatrix}}\cdot {\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1-i&1+i\\1+i&1-i\end{bmatrix}}={\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}2(1+i)(1-i)&(1+i)^{2}+(1-i)^{2}\\(1-i)^{2}+(1+i)^{2}&2(1-i)(1+i)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}=I.}$

(4) Każda macierz ortogonalna jest unitarna, ponieważ jest szczególnym przypadkiem macierzy unitarnych, np. macierz obrotu:

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

Macierze unitarne są powszechnie stosowane w mechanice kwantowej.

Dla przykładu operator ewolucji czasowej wektora stanu układu kwantowego można przedstawić w postaci macierzy unitarnej; wektor stanu w chwili ${\displaystyle t}$ otrzymuje się z pomnożenia wektora stanu w chwili ${\displaystyle t_{0}}$ przez macierz ewolucji czasowej ${\displaystyle U(t,t_{0}),}$ czyli^[2]

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle .}$

Wektor sprzężony do powyższego wektora ma postać:

${\displaystyle \langle \Psi (t)|=\langle \Psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0}).}$

Ponieważ

${\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=1,}$

długość wektora stanu w chwili ${\displaystyle t}$ wynosi

${\displaystyle \langle \Psi (t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle =\langle \Psi (t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle .}$

Macierz unitarna ewolucji czasowej zachowuje więc długość wektora stanu. Dzięki temu możliwe jest nadanie interpretacji probabilistycznej formalizmowi mechaniki kwantowej.

Wartość oczekiwaną pomiaru ${\displaystyle \langle O\rangle (t)}$ w chwili ${\displaystyle t}$ z pomiaru wykonanego na zespole identycznie przygotowanych układów kwantowych, gdzie pomiarowi wielkości fizycznej ${\displaystyle O}$ odpowiada operator pomiaru ${\displaystyle {\hat {O}}}$ (reprezentowany przez macierz hermitowską), oblicza się ze wzoru^[3]:

${\displaystyle \langle {\hat {O}}\rangle (t)=\langle \Psi (t)|{\hat {O}}\Psi (t)\rangle ,}$

co oznacza, że należy obliczyć wynik działania operatora pomiaru na stan ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$ układu w chwili ${\displaystyle t}$ i pomnożyć wynik przez wektor sprzężony. Korzystając z zależności czasowej wektora stanu (wzory 1 i 2 powyżej), otrzymamy:

${\displaystyle \langle O\rangle (t)=\langle \Psi (t)|{\hat {O}}\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0}){\hat {O}}U(t,t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle .}$

Jeżeli oznaczymy

${\displaystyle {\hat {O}}(t)=U^{\dagger }(t,t_{0}){\hat {O}}U(t,t_{0}),}$

to powyższy wzór przyjmie postać:

${\displaystyle \langle O\rangle (t)=\langle \Psi (t_{0})|{\hat {O}}(t)\Psi (t_{0})\rangle .}$

Wartość oczekiwana z pomiaru w chwili ${\displaystyle t_{0}}$ ma postać:

${\displaystyle \langle O\rangle (t_{0})=\langle \Psi (t_{0})|{\hat {O}}(t_{0})\Psi (t_{0})\rangle .}$

Widać z powyższego, że wartość oczekiwaną z pomiaru można obliczać działając na wektor stanu operatorem pomiaru, którego postać ewoluuje w czasie zgodnie ze wzorem ${\displaystyle {\hat {O}}(t)=U^{\dagger }(t,t_{0}){\hat {O}}U(t,t_{0}).}$

Jest to tzw. obraz Heisenberga, w którym wektor stanu nie zmienia się z upływem czasu, ale zmieniają się operatory.

Inne przykłady macierzy unitarnych w fizyce

• macierze sigma (Pauliego)
• macierze gamma (Diraca)
• macierz S
• macierz CKM

• macierz hermitowska
• macierz ortogonalna
• macierz sprzężona
• macierz transponowana
• operator normalny
• przestrzeń unitarna
• symetria unitarna

• ClaudeC. Cohen-Tannoudji ClaudeC., Bernard Diu, Frank Laloë, Quantum Mechanics 1, New York: Hermann, 1977, ISBN 978-0471569527 .

• T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2004, s. 94–123.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Unitary Matrix, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-07-02].