Macierz dołączona

Macierz dołączona – macierz pełniąca rolę podobną do macierzy odwrotnej do danej macierzy zdefiniowana jednak dla dowolnej macierzy kwadratowej (nie tylko odwracalnej).

Wykazuje ona duży związek z wyznacznikiem danej macierzy, wiążąc wiele wzorów go wykorzystujących, np. rozwinięcie Laplace’a (w tym rekurencyjny wzór na wyznacznik), wzory Cramera (w tym wzór na macierz odwrotną^[a]), twierdzenie Cauchy’ego dla wyznaczników, twierdzenie Cayleya-Hamiltona (i jego uogólnienie: lemat Nakayamy).

Niżej rozważa się macierze o elementach z ciała; wszystkie poniższe wyniki przenoszą się wprost na macierze nad pierścieniem przemiennym^[b].

Definicja macierzy dołączonej opiera się na pojęciu dopełnienia algebraicznego elementu ${\displaystyle a_{ij}}$ danej macierzy kwadratowej ${\displaystyle \mathbf {A} }$ stopnia ${\displaystyle n}$ definiowanego jako minor ${\displaystyle \det {}_{ij}\ \mathbf {A} }$ (tzn. wyznacznik podmacierzy) stopnia ${\displaystyle n-1}$ powstały z usunięcia ${\displaystyle i}$-tego wiersza oraz ${\displaystyle j}$-tej kolumny macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ pomnożony przez ${\displaystyle (-1)^{i+j}.}$ Dopełnienie algebraiczne elementu ${\displaystyle a_{ij}}$ macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ będzie oznaczane dalej symbolem ${\displaystyle A_{ij},}$ tzn.

${\displaystyle A_{ij}=(-1)^{i+j}\det {}_{ij}\ \mathbf {A} .}$

Macierzą dopełnień algebraicznych macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ nazywa się macierz ${\displaystyle [A_{ij}]}$ złożoną z dopełnień algebraicznych elementów ${\displaystyle a_{ij}}$ tej macierzy. Macierzą dołączoną ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {D} }}$ do macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ nazywa się transpozycję jej macierzy dopełnień algebraicznych, tzn.

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {D} }=[A_{ij}]^{\mathrm {T} }=[A_{ji}].}$

Jeśli ${\displaystyle \mathbf {A} }$ i ${\displaystyle \mathbf {B} }$ są macierzami kwadratowymi stopnia ${\displaystyle n,}$ a ${\displaystyle \mathbf {I} }$ oznacza macierz jednostkową tego samego stopnia, to

${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\mathrm {D} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {D} }\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }}$

oraz

${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }\right)^{\mathrm {T} }=\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {D} }}$

i dodatkowo

${\displaystyle \mathbf {I} ^{\mathrm {D} }=\mathbf {I} .}$

Wzór permutacyjny na wyznacznik i rozwinięcie Laplace’a

Ze wzoru permutacyjnego na wyznacznik macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ stopnia ${\displaystyle n,}$

${\displaystyle \det \mathbf {A} =\sum _{\sigma }\operatorname {sgn}(\sigma )\ a_{1\sigma _{1}}\dots a_{n\sigma _{n}},}$

przy czym sumowanie odbywa się po wszystkich permutacjach zbioru ${\displaystyle n}$ początkowych dodatnich liczb całkowitych (tzn. po elementach grupy permutacji ${\displaystyle S_{n}}$), zaś ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$ oznacza znak permutacji ${\displaystyle \sigma }$ równy ${\displaystyle (-1)^{\mathrm {inv} (\sigma )},}$ gdzie ${\displaystyle \mathrm {inv} (\sigma )}$ oznacza liczbę inwersji tej permutacji, wynikają wzory będące przedstawieniami wyznacznika w postaci kombinacji liniowej elementów ustalonego wiersza bądź kolumny, tzn.

${\displaystyle \det \mathbf {A} =a_{i1}A_{i1}+\ldots +a_{in}A_{in}}$

bądź

${\displaystyle \det \mathbf {A} =a_{1j}A_{1j}+\ldots +a_{nj}A_{nj},}$

gdzie pierwszy z nich nazywa się rozwinięciem Laplace’a wyznacznika macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ względem jej ${\displaystyle i}$-tego wiersza, a drugi – względem jej ${\displaystyle j}$-tej kolumny.

Wzory te wykorzystuje się niekiedy do rekurencyjnego zdefiniowania wyznacznika (dopełnienia algebraiczne zawierają w sobie wyznaczniki stopnia niższego o jeden) z warunkiem początkowym dla macierzy stopnia pierwszego (wyznacznik równy jedynemu elementowi) lub zerowego (wyznacznik równy jedności) – wówczas wzór permutacyjny na wyznacznik dowodzony jest jako twierdzenie z tej definicji (oba te wzory są dowodzone jako twierdzenia przy definicji wyznacznika jako wieloliniowej formy alternującej maksymalnego rzędu).

Iloczyn macierzy przez macierz do niej dołączoną

Interpretacja mnożenia macierzy metodą współczynniki-wektory w rozwinięciu Laplace’a (względem wiersza bądź kolumny) macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ umożliwia utożsamienie jej wyznacznika z elementami przekątnej głównej iloczynu macierzy ${\displaystyle \mathbf {AA} ^{\mathrm {D} }.}$ Pozostałe elementy tej macierzy są równe zeru, gdyż zgodnie z tą samą interpretacją tworzą one wyznacznik macierzy, której wiersze bądź kolumny powtarzają się dwukrotnie, a więc są liniowo zależne, skąd wyznacznik tej macierzy musi być równy zeru. W zapisie macierzowym wzór ten, nazywany dalej „wzorem podstawowym”, przedstawia się następująco:

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {D} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }\mathbf {A} =(\det \mathbf {A} )\mathbf {I} .}$

Tłumaczy on uwagę poczynioną we wstępie o związku macierzy dołączonej ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {D} }}$ z macierzą odwrotną ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$ (definiowaną wzorem ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} =\mathbf {I} }$) do macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} .}$ Jeśli ${\displaystyle \mathbf {A} }$ jest odwracalna, czyli nieosobliwa, tzn. ${\displaystyle \det \mathbf {A} \neq 0,}$ to

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=(\det \mathbf {A} )^{-1}\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }.}$

Mając dany skądinąd „wzór podstawowy” (np. z twierdzenia Cayleya-Hamiltona, zob. wielomian charakterystyczny dalej) można uzyskać z niego rozwinięcie Laplace’a wskazując kombinację liniową współczynników i wektorów elementów przekątnej głównej macierzy ${\displaystyle (\det \mathbf {A} )\mathbf {I} }$ we „wzorze podstawowym”.

Twierdzenie Cauchy’ego

„Wzór podstawowy” w połączeniu z wcześniejszymi własnościami umożliwia wyprowadzenie wzoru na wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych znanego jako twierdzenie Cauchy’ego:

${\displaystyle \det(\mathbf {AB} )\mathbf {I} =\mathbf {AB} (\mathbf {AB} )^{\mathrm {D} }=\mathbf {A} \left(\mathbf {BB} ^{\mathrm {D} }\right)\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }=\mathbf {A} (\det \mathbf {B} )\mathbf {I} \mathbf {A} ^{\mathrm {D} }=(\det \mathbf {B} )\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {D} }=(\det \mathbf {A} )(\det \mathbf {B} )\mathbf {I} ,}$

gdzie korzysta się z przemienności mnożenia przez skalar (wyżej: wyznacznik) ze standardowym mnożeniem macierzy (albo z przemienności macierzy skalarnych z pozostałymi macierzami kwadratowymi ustalonego stopnia), skąd

${\displaystyle \det(\mathbf {AB} )=\det \mathbf {A} \det \mathbf {B} .}$

Z powyższego wzoru dla macierzy odwracalnej ${\displaystyle \mathbf {A} }$ wynika ${\displaystyle 1=\det \mathbf {I} =\det \left(\mathbf {AA} ^{-1}\right)=\det \mathbf {A} \det \mathbf {A} ^{-1},}$ czyli

${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} ^{-1}\right)=\left(\det \mathbf {A} \right)^{-1}.}$

Ponieważ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {D} }=(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1},}$ to z własności wyznacznika i powyższego wzoru wynika

${\displaystyle \det \mathbf {A} ^{\mathrm {D} }=\det {\big (}(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}{\big )}=(\det \mathbf {A} )^{n}(\det \mathbf {A} )^{-1}=(\det \mathbf {A} )^{n-1}.}$

Wzory Cramera

Jeśli ${\displaystyle \mathbf {AX} =\mathbf {B} ,}$ to prawostronne przemnożenie obu stron „wzoru podstawowego” przez ${\displaystyle \mathbf {X} }$ daje ${\displaystyle (\det \mathbf {A} )\mathbf {X} =\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }\mathbf {AX} =\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }\mathbf {B} ,}$ skąd

${\displaystyle \mathbf {X} ={\frac {\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }\mathbf {B} }{\det \mathbf {A} }},}$

o ile tylko ${\displaystyle \det \mathbf {A} \neq 0.}$ Elementy macierzy ${\displaystyle \mathbf {X} }$ nazywane są właśnie wzorami Cramera.

Wielomian charakterystyczny

Jeśli ${\displaystyle p_{\mathbf {A} }(t)=\det(\mathbf {A} -t\mathbf {I} )=t^{n}-p_{1}t^{n-1}+\ldots +(-1)^{n}p_{n}}$ jest wielomianem charakterystycznym macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} ,}$ to na mocy twierdzenia Cayleya-Hamiltona zachodzi ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}-p_{1}\mathbf {A} ^{n-1}+\ldots +(-1)^{n}p_{n}\mathbf {I} =\mathbf {\Theta } ,}$ skąd

${\displaystyle (-1)^{n}p_{n}\mathbf {I} =\mathbf {A} \left(-p_{1}\mathbf {A} ^{n-1}+p_{2}\mathbf {A} ^{n-2}+\ldots +(-1)^{n-1}p_{n-1}\mathbf {I} \right),}$

a ponieważ ${\displaystyle p_{\mathbf {A} }(0)=\det \mathbf {A} =(-1)^{n}p_{n},}$ to oznaczając ${\displaystyle q(\mathbf {A} )=-p_{1}\mathbf {A} ^{n-1}+p_{2}\mathbf {A} ^{n-2}+\ldots +(-1)^{n-1}p_{n-1}\mathbf {I} }$ otrzymuje się

${\displaystyle (\det \mathbf {A} )\mathbf {I} =\mathbf {A} q(\mathbf {A} ),}$

przy czym ${\displaystyle q(\mathbf {A} )=\mathbf {A} ^{\mathrm {D} },}$ skąd uzyskuje się „wzór podstawowy”.

Wzór Jacobiego na różniczkę wyznacznika macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ma postać

${\displaystyle \mathrm {d} (\det \mathbf {A} )=\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }\ \mathrm {d} \mathbf {A} \right),}$

gdzie ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {A} }$ oznacza różniczkę macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} ,}$ a symbol ${\displaystyle \mathrm {t} r}$ oznacza ślad macierzy.

• Dopełnieniem algebraicznym macierzy stopnia ${\displaystyle 3}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\color {Magenta}1&2&3\\\color {Red}4&\color {Orange}5&\color {Orange}6\\\color {Magenta}7&8&9\end{bmatrix}}}$

względem elementu ${\displaystyle a_{21}}$ jest wyznacznik ${\displaystyle A_{21}=\left|{\begin{smallmatrix}2&3\\8&9\end{smallmatrix}}\right|}$ pomnożony przez ${\displaystyle (-1)^{2+1}=-1,}$ a więc

${\displaystyle A_{21}=(-1)(2\cdot 9-3\cdot 8)=-(18-24)=6,}$

podobnie ${\displaystyle A_{22}=-12}$ i ${\displaystyle A_{23}=6}$ oraz ${\displaystyle A_{11}=-3}$ i ${\displaystyle A_{31}=-3.}$ Macierz dopełnień algebraicznych macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ jest w tym wypadku równa macierzy do niej dołączonej (ponieważ jest ona symetryczna),

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {D} }={\begin{bmatrix}-3&6&-3\\6&-12&6\\-3&6&-3\end{bmatrix}}.}$

Rozwinięciem Laplace’a macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ względem jej drugiego wiersza jest wyznacznik

${\displaystyle \det \mathbf {A} =a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23}=\color {Red}4\color {Black}\cdot 6+\color {Orange}5\color {Black}(-12)+\color {Orange}6\color {black}\cdot 6=24-60+36=0,}$

a względem jej pierwszej kolumny:

${\displaystyle \det \mathbf {A} =a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31}=\color {Magenta}1\color {Black}(-3)+\color {Red}4\color {Black}\cdot 6+\color {Magenta}7\color {black}(-3)=-3+24-21=0.}$

Analogicznie dla pozostałych wierszy i kolumn. Ogólnie ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {D} }=\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {D} }=\mathbf {\Theta } ,}$ gdzie ${\displaystyle \mathbf {\Theta } }$ oznacza macierz zerową trzeciego stopnia; w obu przypadkach otrzymane wyniki oznaczają, iż ${\displaystyle \mathbf {A} }$ jest nieodwracalna^[c].

• Macierzą dołączoną do macierzy ${\displaystyle \mathbf {M} =\left[{\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right]}$ jest macierz ${\displaystyle \mathbf {M} ^{\mathrm {D} }=\left[{\begin{smallmatrix}d&-b\\-c&a\end{smallmatrix}}\right].}$ Zachodzi dla niej

${\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {M} ^{\mathrm {D} }={\begin{bmatrix}ad-bc&-ab+ba\\cd-dc&-bc+da\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{bmatrix}}=(ad-bc){\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}=(\det \mathbf {M} )\mathbf {I} .}$

Jeśli więc ${\displaystyle \det \mathbf {M} \neq 0,}$ to

${\displaystyle \mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {M} }}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}.}$