Macierz transponowana

Macierz transponowana, macierz przestawiona^[1] macierzy ${\displaystyle A}$ – macierz ${\displaystyle A^{\mathrm {T} },}$ która powstaje z danej macierzy (w ogólności prostokątnej, w szczególności jednowierszowej czy o jednej kolumnie) poprzez zamianę jej wierszy na kolumny i kolumn na wiersze^[1][2]. Operację tworzenia macierzy transponowanej nazywa się transpozycją (przestawianiem).

Jeżeli macierz ${\displaystyle A}$ ma wyrazy ${\displaystyle a_{ij}}$ (element ${\displaystyle a_{ij}}$ macierzy znajdujący się na przecięciu ${\displaystyle i}$-tego wiersza i ${\displaystyle j}$-tej kolumny), a macierz transponowana ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$ ma wyrazy ${\displaystyle a_{ij}^{\mathrm {T} },}$ to zachodzi związek

${\displaystyle a_{ij}^{\mathrm {T} }=a_{ji}.}$

(1) Transponować można macierz w ogólności prostokątną, np. gdy

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3&1&4\\-1&2&0&1\\2&2&0&1\end{bmatrix}}}$

to macierz transponowana ma postać:

${\displaystyle A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}2&-1&2\\3&2&2\\1&0&0\\4&1&1\end{bmatrix}}.}$

(2) W szczególności wektor kolumnowy przechodzi w wektor wierszowy, np. gdy

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2\\1\\5\end{bmatrix}},}$

to

${\displaystyle A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}2,1,5\end{bmatrix}}.}$

Macierz symetryczna^[3] – macierz ta ma identyczne wyrazy leżące symetrycznie względem swojej przekątnej głównej, np.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}7&0\\0&0\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}2&1&3\\1&6&7\\3&7&9\end{bmatrix}}.}$

Transpozycja macierzy symetrycznej jest równa tej macierzy, tj.

${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A.}$

Tw. 1. Niech ${\displaystyle A,B\in M_{n\times m}(K),}$ wówczas:

• ${\displaystyle (A^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }=A}$^[4],
• ${\displaystyle (\alpha A)^{\mathrm {T} }=\alpha A^{\mathrm {T} },\quad \alpha \in K,}$
• ${\displaystyle (A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }.}$

Tw. 2. Jeśli ${\displaystyle A\in M_{n\times m}(K),\ \ B\in M_{m\times o}(K),}$ to:

• ${\displaystyle (AB)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }.}$

Tw. 3. Dla macierzy kwadratowej: Transpozycja nie zmienia wyznacznika ani śladu macierzy, tj.

• ${\displaystyle \det A^{\mathrm {T} }=\det A,}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} })=\operatorname {tr} (A).}$

• macierz hermitowska
• macierz symetryczna
• macierz unitarna
• sprzężenie hermitowskie macierzy

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.

Piotr Stachura, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-22]:

• Transponowanie macierzy, 29 kwietnia 2021.
• Transpozycja iloczynu macierzy, 30 kwietnia 2021.
• Transpozycja sumy macierzy. Transpozycja macierzy odwrotnej, 12 maja 2021.
• Rząd macierzy transponowanej równa się rzędowi macierzy, 3 października 2021.