Lydbølge

Luft og vann er eksempel på væsker eller fluider. Deres viktigste egenskaper er trykk p og tetthet ρ som beskrives ved fluidmekanikk eller hydrodynamikk. Disse størrelsene er å betrakte som gjennomsnittelige verdier midlet over et endelig volum som involverer mange partikler, men som samtidig er lite nok til at man kan si at de har bestemte verdier på hvert punkt x i fluidet til hvert tidspunkt t. De er derfor skalare felt p(x,t) og ρ(x,t). Er dette volumet også i bevegelse, vil denne beskrives ved et tilsvarende hastighetsfelt v = v(x,t). I en ideell gass eller væske er disse variable koblet sammen ved Euler-ligningene som følger fra Newtons lover for et kontinuerlig medium.^[1]

Så lenge som det er ingen lyd i fluidet, vil trykk og tetthet ha konstante verdier p₀ og ρ₀. Med lyd til stede vil disse forandres til p(x,t) = p₀ + p_e(x,t) og ρ(x,t) = ρ₀ + ρ_e(x,t) hvor fluktuasjonene p_e og ρ_e er mye mindre en likevektsverdiene. De representerer begge lydfeltet. Mest vanlig er det å benytte lydtrykket p_e.

Disse to størrelsene er ikke uavhengige av hverandre da fluidet må oppfylle en tilstandsligning av form p = f(ρ) hvis man ser bort fra variasjon med temperaturen. Det betyr at p₀ + p_e = f(ρ₀ + ρ_e) slik at p_e = f' (ρ_e.) Da den deriverte f'  = ∂p/∂ρ, kan denne koblingen uttrykkes ved kompresjonsmodulen K til fluidet som er gitt ved dets kompressibilitet.^[2] Derfor har man den generelle sammenhengen

${\displaystyle p_{e}(\mathbf {x} ,t)={K \over \rho _{0}}\rho _{e}(\mathbf {x} ,t)}$ 

for trykk og tetthetsforandringene som en lydbølge skaper i et kontinuerlig medium.

Svingningene i lydbølgen skjer såpass raskt at det ikke skjer noen tilførsel av varme til volumet under betraktning. De er derfor adiabatiske som betyr at man må benytte kompresjonsmodulen K_S. For en ideell gass eller væske er denne K_S = γp₀ hvor γ er den adiabatisk indeksen.^[1]

Langt borte fra lydkilden, kan man beskrive den skapte bølgen som om den beveger seg i en dimensjon som er dens utbredelsesretning. I dette enklere tilfellet kan lyden beskrives mer direkte uten å ta i bruk de mer generelle Euler-ligningene. I stedet for å karakterisere bølgen med et hastighetfelt, kan man da benytte forskyvningsfeltet s = s(x,t) som betegner den lokale forflytningen av fluidet i punktet x. En slik beskrivelse gir også en forståelse av energien i en lydbølge.^[3]

Hvis bølgen beveger seg langs x-aksen, vil et lite volum med utstrekning Δx i denne retningen og et areal A vinkelrett på denne, inneholde en masse Aρ₀Δx  med fluid. En lydbølge vil gi en forskyvning s(x,t) av denne massen i hvert punkt. Det betyr at den delen som opprinnelig lå mellom x og Δx, vil ved tiden t  ligge mellom x + s(x,t) og x + Δx + s(x + Δx,t). Volumet man betrakter, har dermed forandret seg litt. Men da det inneholder den samme massen, må dets tetthet ha forandret seg på en måte som oppfyller betingelsen

${\displaystyle \rho _{0}\Delta x=\rho (x,t)[x+\Delta x+s(x+\Delta x,t)-x-s(x,t)]}$ 

Den uttrykker bevarelse av massen i fluidet når en lydbølge går gjennom det. Da forskyvningen s(x,t) kan her betraktes som en liten størrelse på samme måte som tetthetsforandringen ρ_e = ρ - ρ₀, kan denne massebevarelsen skrives som

${\displaystyle \rho _{e}(x,t)=-\rho _{0}{\partial s \over \partial x}(x,t)}$ 

Minustegnet viser at når forskyvningen øker med x, vil tettheten avta i hvert punkt. Det er som forventet.

 

Bevegelsen av det lille volumet mellom x og Δx må skyldes at trykket på sideflaten A i posisjon x er forskjellig fra trykket i posisjon x + Δx. Nettokraften som virker er derfor

${\displaystyle A[p(x,t)-p(x+\Delta x,t)]=-A\Delta x{\partial p_{e} \over \partial x}(x,t)}$ 

Newtons andre lov sier nå at denne kraften må være like massen Aρ₀Δx  i volumet multiplisert med dens akselerasjon som er ∂²s/∂t². Det gir bevegelsesligningen

${\displaystyle \rho _{0}{\partial ^{2}s \over \partial t^{2}}=-{\partial p_{e} \over \partial x}=K{\partial ^{2}s \over \partial x^{2}}}$ 

når man først benytter den termodynamiske sammenhengen mellom p_e og ρ_e og deretter massebevarelsen som forbinder ρ_e med gradienten ∂s/∂x av forskyvningsfeltet. Dette er bølgeligningen for lyd og kan skrives som

${\displaystyle {\partial ^{2}s \over \partial t^{2}}=c^{2}{\partial ^{2}s \over \partial x^{2}}}$ 

der c = √(K/ρ₀) er lydhastigheten i mediet. I luft er den omtrent 340 m/s.^[4]

Ved å ta den deriverte av denne bølgeligningen med hensyn på x, ser man at tetthetsfluktuasjonen ρ_e og dermed også lydtrykket p_e oppfyller samme ligning,

${\displaystyle {\partial ^{2}p_{e} \over \partial t^{2}}=c^{2}{\partial ^{2}p_{e} \over \partial x^{2}}}$ 

For en lydbølge som beveger seg i et tredimensjonalt medium, vil den eneste forskjell i bølgeligningen bli at på høyre side opptrer den fulle Laplace-operatoren.

Lydbølgen inneholder både en kinetisk energi som skyldes bevegelsen av fluidet og en potensiell energi som har sitt opphav i trykkforandringene. Den kinetiske energien ΔE_kin i det lille volumet med utstrekning Δx og hastighet v = ∂s/∂t er

${\displaystyle \Delta E_{kin}={1 \over 2}A\Delta x\rho _{0}v^{2}}$ 

Da størrelsen av volumet er AΔx, er den kinetiske energitettheten i bølgen derfor

${\displaystyle u_{kin}={1 \over 2}\rho _{0}{\Big (}{\partial s \over \partial t}{\Big )}^{2}}$ 

Trykker man sammen det samme volumet et stykke Δs, utføres det et ekstra arbeid ΔW = p_e AΔs mot lydtrykket p_e = KΔs/Δx. Herav finnes den potensielle energien fra arbeidet som må utføres for å trykke volumet sammen fra null til Δs. Det tilsvarer den potensielle energien i en elastisk fjær hvor også kraften er proporsjonal med sammentrykningen.^[5] Arbeidet er derfor

${\displaystyle \Delta W=\Delta E_{pot}=AK{(\Delta s)^{2} \over 2\Delta x}}$ 

Den tilsvarende potensielle energitettheten fremkommer ved å dele dette på volumet AΔx. På den måten kommer man frem til

${\displaystyle u_{pot}={1 \over 2}K{\Big (}{\partial s \over \partial x}{\Big )}^{2}={p_{e}^{2} \over 2\rho _{0}c^{2}}}$ 

etter å ha tatt grensen Δx → 0 der Δs/Δx → ∂s/∂x. Dermed har man for den totale energitettheten i bølgen

${\displaystyle u={1 \over 2}\rho _{0}{\Big (}{\partial s \over \partial t}{\Big )}^{2}+{1 \over 2}K{\Big (}{\partial s \over \partial x}{\Big )}^{2}}$ 

Da en generell bølge i en dimensjon har formen s = s(x - ct), er ∂s/∂t = - c ∂s/∂x er den kinetiske energitettheten lik med den potensielle slik at den totale energitettheten alternativt kan skrives som

${\displaystyle u=\rho _{0}{\Big (}{\partial s \over \partial t}{\Big )}^{2}=K{\Big (}{\partial s \over \partial x}{\Big )}^{2}}$ 

Dette resultatet kan også uttrykkes ved kvadratet av lydtrykket p_e = c²ρ_e som

${\displaystyle u={p_{e}^{2} \over \rho _{0}c^{2}}={c^{2}\rho _{e}^{2} \over \rho _{0}}}$ 

og er spesielt for lydbølger som beveger seg i en dimensjon.^[1]

 

Når en lydbølge blir stoppet for eksempel av en vegg eller trommehinnen i øret, vil den merkes ved at det overføres energi fra bølgen til veggen. Overtrykket som den utøver, er p_e = -K ∂s/∂x og vil flytte veggen en liten strekning Δs. Dermed gjøres et lite arbeid Ap_e Δs. Denne overføring av energi representerer intensiteten I  som er effekten av prosessen målt per tidsenhet Δt  og areal A. Dermed blir intensiteten

${\displaystyle I=K{\partial s \over \partial x}{\partial s \over \partial t}}$ 

i grensen der Δt → 0. Ved å uttrykke de to deriverte her ved trykkfluktuasjonen, finner man

${\displaystyle I=p_{e}v={p_{e}^{2} \over c\rho _{0}}=cu}$ 

der u er den totale energitettheten. Derimot er intensiteten en akustisk energistrøm per flateenehet og måles i SI-enheter som W/m².

Hvis man betrakter et endelig volum som ligger i ro i lydfeltet, vil den totale energien som det inneholder, være konstant da energi ikke kan oppstå eller forsvinne av seg selv. Når energitettheten forandres, må det bety at energi har strømmet inn eller ut av volumet. Det kan uttrykkes ved konserveringsligningen

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}+{\partial I \over \partial x}=0}$ 

som kan verifiseres ved direkte utregning og bruk av bølgeligningen.

Intensiteten av en lydbølge angis ofte på en logaritmisk skala i desibel dB definert ved

${\displaystyle L=10\,{\text{dB}}\log _{10}{I \over I_{ref}}}$ 

hvor I_ref  er en referanseverdi. Den tilsvarer vanligvis den laveste intensiteten øret kan oppfatte.^[6] Uttrykt ved lydtrykket har man den ekvivalent definisjonen

${\displaystyle L=20\,{\text{dB}}\log _{10}{p_{e} \over p_{ref}}}$ 

der referansetrykket kan settes til p_ref  = 2×10^-10  bar hvor 1 bar = 100 kPa er omtrent normalt lufttrykk ved havoverflaten, Et lydtrykk som er 1000 ganger større enn referansetrykket tilsvarer derfor en intensitet på 60 dB som man hører ganske tydelig. Men likevel er dette lydtrykket en faktor 10^-7  mindre enn det totale lufttrykket. Det viser at antagelsen p_e << p₀ som ble gjort i utledning av bølgeligningen, er meget god.^[3]

 

En bølge som varierer periodisk med tiden på hvert sted, kalles en harmonisk bølge. Er dens vinkelfrekvens ω slik at det tilsvarende bølgetallet er k = ω/c, kan dens utslag beskrives ved den trigonometriske funksjonen

${\displaystyle s(x,t)=s_{0}\cos(kx-\omega t)}$ 

når den beveger seg mot høyre langs x-aksen med et maksimalt utslag s₀. Det tilsvarende lydtrykket p_e = -K ∂s/∂x varierer da også harmonisk som

${\displaystyle p_{e}(x,t)=s_{0}Kk\sin(kx-\omega t)}$ 

Energitettheten i bølgen og dermed intensiteten varierer som sin² med tiden. Denne funksjonen svinger periodisk mellom 0 og 1 slik at i gjennomsnitt gir den en faktor 1/2. Den midlere energitettheten blir dermed

${\displaystyle u_{ave}={1 \over 2}\rho _{0}\omega ^{2}s_{0}^{2}}$ 

når man benytter at K = ρ₀c². Da intensiteten varierer kvadratisk med lydens frekvens, vil det påvirke ørets oppfattelse av lyd.^[6]

I et fast stoff befinner atomene eller molekylene seg på et regelmessig krystallgitter og blir holdt sammen ved ulike, kjemiske bindinger. Lys som forplanter seg i dette materialet, tilsvarer svingninger av partiklene om likevektsposisjonene. Så lenge utslag fra denne er lite, kan kraften som holder dem på plass beskrives ved Hookes lov. Den sier at kraften er proporsjonal med utslaget som måles fra posisjonen i likevekt. Partiklene vil da kunne utføre svingninger på lignende måte som koblete, harmoniske oscillatorer.^[7]

I det enkleste tilfellet kan man tenke seg en rett kjede med like masser m holdt sammen med elastiske fjærer som ved likevekt holder massene på plass med samme, gjensidige avstand a. En liten forskyvning langs kjeden bort fra likevekt kan beskrives ved å angi utslaget s_n(t) for n-te partikkel fra dets likevektsposisjon x_n = na. Da hver partikkel i kjeden er koblet til en nabopartikkel på hver side, er Newtons andre lov for dens bevegelse

${\displaystyle m{d^{2}s_{n} \over dt^{2}}=-k[(s_{n+1}-s_{n}-(s_{n}-s_{n-1})]}$ 

der k er fjærkonstanten i Hookes lov. Differensene s_n+1 - s_n og s_n - s_n-1 er lengdeforandringene av fjærene til høyre og til venstre for partikkelen under betraktning og gir derfor kreftene som virker i disse to retningene.^[8]

Lyd som kan høres, har bølgelengder som er mye større enn avstanden a mellom partiklene. For å finne bølgeligningen kan man derfor anta at gitteravstanden a er forsvinnende liten slik at kjeden blir en elastisk streng. For å ta den kontinuerlige grensen hvor også massen m går mot null slik at kjeden har en endelig masse, divideres bevegelsesligningen med a slik at differansene på høyre side gir den deriverte ∂s/∂x av utslaget på begge sider av partikkelen. Differansen av differansene vil dermed gi den andrederiverte i grensen a → 0. Newtons lov tar da formen

${\displaystyle \rho {\partial ^{2}s \over \partial t^{2}}=E\,{\partial ^{2}s \over \partial x^{2}}}$ 

hvor ρ = m/a er massetettheten langs kjeden og E = ka er elastisitetsmodulen i denne grensen. Når de elastiske fjærene blir gjort kortere og kortere, vil deres fjærkonstant øke tilsvarende slik at produktet ka forblir konstant. På denne måten har man igjen kommet frem til bølgeligningen for lyd på denne strengen hvor nå lydhastigheten er gitt som

${\displaystyle c={\sqrt {E \over \rho }}}$ 

Disse longitudinale bølgene har også en energitetthet. Den kinetiske energien skyldes bevegelsen til massepunktene, mens den potensielle energien kan lokaliseres til de elastiske fjærene. I den diskrete formuleringen er totalenergien

${\displaystyle E=\sum _{n}{\Big [}{1 \over 2}m{\Big (}{ds_{n} \over dt}{\Big )}^{2}+{1 \over 2}k(s_{n}-s_{n-1})^{2}{\Big ]}}$ 

som tilsvarer energitettheten

${\displaystyle u={1 \over 2}\rho {\Big (}{\partial s \over \partial t}{\Big )}^{2}+{1 \over 2}E{\Big (}{\partial s \over \partial x}{\Big )}^{2}}$ 

i den kontinuerlige grensen. Dette er samme resultat som for lydbølger i et endimensjonale fluid, men med kompresjonsmodulen K erstattet med elastisitetsmodulen E.

Generelt kan massepunktene også ha utslag til siden i tillegg til de longitudinale oscillasjonene langs kjeden. Disse vil resultere i transversale bølger som i en svingende streng med et tilsvarende uttrykk for bølgehastigheten. Det totale utslaget kan derfor skje i tre forskjellige retninger og beskrives ved et vektorfelt s(x,t) = (s_x, s_y,s_z)  hvor den longitudinale komponenten er s_x(x,t), mens de to transversale bølgene er beskrevet ved funksjonene s_y(x,t) og s_z(x,t).

For lydbølger i et tredimensjonalt faststoff kan lydfeltet s(x,t) på en tilsvarende måte splittes opp i et longitudinalt felt s_L definert ved ∇ × s_L = 0 og et transversalt felt s_T  som tilfredsstiller ∇ ⋅ s_T = 0. En mer detaljert utledning av bølgeligningen for disse to komponentene gir da

${\displaystyle {\partial ^{2}\mathbf {s} _{a} \over \partial t^{2}}=c_{a}^{2}\nabla ^{2}\mathbf {s} _{a}}$ 

hvor indeksen a = L,T. I allminnelighet vil de to lydhastighetene c_L  og c_T  være forskjellige.

I en kvantemekanisk beskrivelse vil lydbølgene i et tredimensjonalt faststoff beskrives ved fononer av to forskjellige typer som beveger seg i stoffet med to forskjellige hastigheter.^[7]

Transverse oscillasjoner kan ikke forekomme i et fluid slik at det kun kan gi opphav til longitudinelle lydbølger.^[9] Det gjør det derfor unaturlig å beskrive disse ved et vektorfelt s(x,t) når det kun inneholder en dynamisk frihetsgrad selv om det er mulig.^[8] Istedet må man benytte de fundamentale lovene for kontinuumsmekanikk som er Euler-ligningene kombinert med kontinuitetsligningen for massebevarelse. Denne forbinder massetettheten ρ = ρ₀ + ρ_e(x,t) med hastighetsfeltet v(x,t). Da likevektstettheten ρ₀ er konstant, gir ligningen

${\displaystyle {\partial \rho _{e} \over \partial t}+\rho _{0}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} =0}$ 

når hastigheten er liten på samme måte som ρ_e og lydtrykket p_e. Benytter man her den termodynamiske sammenhengen mellom disse to små størrelsene, tar kontinuitetsligningen formen

${\displaystyle {\partial p_{e} \over \partial t}+K{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} =0}$ 

I Euler-ligningen for hastigheten kan man neglisjere det ikke-lineære leddet slik at den blir

${\displaystyle \rho _{0}{\partial \mathbf {v} \over \partial t}=-{\boldsymbol {\nabla }}p_{e}}$ 

Innholdet av ligningen er Newtons andre lov brukt på et fluidelement i tre dimensjoner. Da det ikke er noen lokal rotasjon i fluidet, kan hastigheten skrives som gradienten av et hastighetspotensial Φ(x,t) slik at v = -∇ Φ. Innsatt i Euler-ligningen kan dermed lydtrykket skrives som

${\displaystyle p_{e}=-\rho _{0}{\partial \Phi \over \partial t}}$ 

På høyre side her kunne det ha stått en integrasjonskonstant, men den må være null.^[9]

Den tidsderiverte av lydtrykket kan nå uttrykkes ved den andrederiverte av hastighetspotensialet. Innsatt i den reduserte kontinuitetsligningen der nå ∇ ⋅ v = - ∇²Φ, kommer man frem til den tredimensjonale bølgeligningen

${\displaystyle \rho _{0}{\partial ^{2}\Phi \over \partial t^{2}}=K\,\nabla ^{2}\Phi }$ 

Dette er nå en skalar ligning for de longitudinale lydbølgene i fluidet. De forplanter seg i alle retninger med samme hastighet som ble funnet i den endimensjonale utledningen.

Ved å ta den tidsderiverte av denne bølgeligningen ser man at beskriver også hvordan lydtrykket p_e  og dermed også tettheten ρ_e  i fluidet varierer i tre dimensjoner.

Den kinetiske energitettheten er igjen gitt ved kvadratet av hastigheten som

${\displaystyle u_{kin}={1 \over 2}\rho _{0}\mathbf {v} ^{2}={1 \over 2}\rho _{0}({\boldsymbol {\nabla }}\Phi )^{2}}$ 

Da den potensielle energitettheten i tre dimensjoner må være den samme som for lydbølger i en dimensjon når den uttrykkes ved lydtrykket, har man

${\displaystyle u_{pot}={p_{e}^{2} \over 2\rho _{0}c^{2}}={1 \over 2c^{2}}\rho _{0}{\Big (}{\partial \Phi \over \partial t}{\Big )}^{2}}$ 

Dermed tar den totale energitettheten u = u_kin  + u_pot  i lydfeltet formen

${\displaystyle u={1 \over 2}\rho _{0}({\boldsymbol {\nabla }}\Phi )^{2}+{1 \over 2c^{2}}\rho _{0}{\Big (}{\partial \Phi \over \partial t}{\Big )}^{2}}$ 

I et fiksert volum av fluidet må den totale energien måtte være bevart. Den kan uttrykkes ved energitettheten i volumet pluss den energistrøm I som kommer inn gjennom dets sideflater. Denne energibevarelsen må derfor kunne skrives som kontinuitetsligningen

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {I} =0}$ 

Ved direkte derivasjon finner man

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}=\rho _{0}({\boldsymbol {\nabla }}\Phi )\cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\Big (}{\partial \Phi \over \partial t}{\Big )}+{\rho _{0} \over c^{2}}{\partial \Phi \over \partial t}\cdot {\partial ^{2}\Phi \over \partial t^{2}}}$ 

Benytter man her bølgeligningen i det siste leddet på høyre side, får man

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}=\rho _{0}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\Big (}{\partial \Phi \over \partial t}{\boldsymbol {\nabla }}\Phi {\Big )}}$ 

Energistrømmen må derfor være

${\displaystyle \mathbf {I} =-\rho _{0}{\partial \Phi \over \partial t}{\boldsymbol {\nabla }}\Phi =p_{e}\mathbf {v} }$ 

i overensstemmelse med hva som ble funnet i en dimensjon.^[9]

De enkleste løsningene av den tredimensjonale bølgeligningen er plane bølger. Hvis den har en retning gitt ved enhetsvektoren n, er bølgevektoren k = k n der bølgetallet k = ω/c når ω  er vinkelfrekvensen. Hastighetspotensialet vil da variere i tid og rom som

${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} ,t)=\Phi _{0}\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}$ 

der amplituden Φ₀ bestemmer intensiteten til lydbølgen. Den er nå i gjennomsnitt

${\displaystyle \mathbf {I} _{ave}={1 \over 2c}\rho _{0}\omega ^{2}\Phi _{0}^{2}\mathbf {n} }$ 

etter å ha midlet over flere perioder. Sammenlignes størrelsen av denne energistrømmen med den midlere energitettheten

${\displaystyle u_{ave}={1 \over 2c^{2}}\rho _{0}\omega ^{2}\Phi _{0}^{2},}$ 

ser man at I_ave = c u_ave . En tilsvarende sammenheng har man for elektromagnetiske bølger der energistrømmen I tilsvarer Poyntings vektor.

Hvis disse bølgene skapes av en lokalisert lydkilde slik at de sprer seg ut i alle retninger, vil ikke plane bølger kunne beskrive deres utbredelse. Men med en harmonisk tidsvariasjon kan bølgeligningen omformes til en Helmholtz-ligning med løsninger som er kulebølger. Intensiteten for disse vil avta omvendt proporsjonalt med kvadratet av avstanden til lydkilden.^[9]

• Lyd
• Akustikk