Kinetisk energi

For en punktpartikkel med masse m og hastighet v som fører partikkelen i en viss retning, er den kinetiske energien^[1]

${\displaystyle E_{kin}={1 \over 2}mv^{2}}$ 

Bruker man SI-enheter hvor massen måles i kg og hastigheten i meter per sekund, blir enheten for kinetisk energi Joule. For eksempel, en masse m = 80 kg som beveger seg med hastighet v = 18 m/s, har en kinetisk energi E_kin = 12960 Joule.

En klassisk punktpartikkel kan ikke rotere om seg selv. Den har derfor heller ikke noe treghetsmoment. Men et legeme har per definisjon en utstrekning og derfor rotere om sitt eget tyngdepunkt. Er vinkelhastigheten for rotasjonen ω og I  treghetsmomentet om rotasjonsaksen, så er den kinetiske energien til legemet^[2]

${\displaystyle E_{rot}={1 \over 2}I\omega ^{2}}$ 

Den totale, kinetiske energien kan generelt derfor skrives som

${\displaystyle E_{tot}={1 \over 2}mv^{2}+{1 \over 2}I\omega ^{2}}$ 

hvor nå m er den totale massen til legemet og tyngdepunktet beveger seg med hastighten v. Både translasjonshastigheten v og rotasjonshastigheten ω avhenger av referansesystemet som benyttes til å beskrive legemets bevegelse. Derfor er også kinetisk energi en relativ størrelse.

En kule som ruller uten å gli på et horisontalt bord, har både en translasjonsenergi og en rotasjonsenergi. Den har et treghetsmoment ${\displaystyle I={\tfrac {2}{5}}\,mr^{2}}$  når m er massen og r er dens radius.. Hvis tyngdepunktet beveger seg med hastigheten v, vil rotasjonshastigheten være ${\displaystyle \omega =v/r}$  ut fra antagelsen at den ikke glir. Den har dermed en total kinetisk energi

${\displaystyle E_{tot}={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{5}}mr^{2}\cdot \omega ^{2}={\frac {7}{10}}mv^{2}}$ 

På samme måte vil en pistolkule som roterer, ha større kinetisk energi enn en som ikke gjør det, men beveger seg med samme hastighet. Den vil derfor også ha en større, ødeleggende virkning.

Når en konstant kraft F virker på tyngdepunktet til et legeme slik at det beveger seg en veilengde s, har kraften per definisjon utført arbeidet W = Fs. Men ifølge Newtons andre lov har denne kraften også gitt legemet en akselerasjon a = F/m når det har massen m. Hvis kraften starter å virke ved tiden t = 0 når legemet er i ro, vil det etter en tid t ha fått en hastighet v = at og derved beveget seg en distanse s = (1/2)at² i den retningen kraften virker. Ut fra definisjonen vil da legemets kinetiske energi E_kin være lik med det arbeidet som kraften har utført i samme tidsrom, det vil si

${\displaystyle E_{kin}=W=Fs=ma\cdot {\frac {1}{2}}at^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$ 

Den kinetiske energien for en samling av flere partikler er lik med summen av de kinetiske energiene til hver av partiklene.

Mer generelt kan man betrakte en kraft F som virker på en partikkel med masse m. Beveger den seg med hastigheten v, har den da en bevegelsesmengde (impuls) p = m v. Newtons andre lov kan da skrives som d p/dt = F.

Virker denne kraften over et infinitesemalt tidsrom dt, vil partikkelen forflyttes en liten veilengde d x = vdt. Dermed er det utført et lite arbeid^[3]

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\cdot \mathbf {v} dt=\mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} }$ 

som øker partikkelens kinetiske energi. Her kan man nå skrive v⋅dp = (m/2)d(v⋅v) = (m/2)dv². Virker kraften over et endelig tidrom t, får partikkelen derved en kinetisk energi

${\displaystyle E_{kin}=\int _{0}^{t}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} ={m \over 2}\int _{0}^{v}dv^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$ 

når den ved tiden t = 0 har hastigheten v = 0. Denne måten å beregne kinetiske energi kan også benyttes når partikkelen beveger seg så raskt at Newtons mekanikk ikke gjelder lenger, men må erstattes med relativistisk mekanikk.

Hvis en samling av partikler med masser m_i befinner seg i et referansesystem hvor de beveger seg med hastighetene v_a, er deres totale translasjonsenergi

${\displaystyle E_{kin}=\sum _{a}{1 \over 2}m_{a}\mathbf {v} _{a}^{2}}$ 

Tyngdepunktet til partiklene beveger seg da med hastigheten V bestemt ved ligningen^[2]

${\displaystyle M\mathbf {V} =\sum _{a}m_{a}\mathbf {v} _{a}}$ 

hvor M er summen av alle massene til partiklene. Relativt til et referansesystem som følger med tyngdepunktet, vil hver partikkel ha en hastighet u_a = v_a - V. Den kinetiske energien kan nå skrives som

${\displaystyle E_{kin}=\sum _{a}{1 \over 2}m_{i}(\mathbf {u} _{a}+\mathbf {V} )^{2}=\sum _{a}{1 \over 2}m_{a}\mathbf {u} _{a}^{2}+\mathbf {V} \cdot \sum _{i}m_{a}\mathbf {u} _{a}+{1 \over 2}V^{2}\sum _{i}m_{i}}$ 

Det første leddet er den kinetiske energien E_CM  som partiklene har i referansesystem hvor tyngdepunktet er i ro. I siste ledd gir summen over alle massene den totale massen M, mens det midtre leddet er null ut fra definisjonen til den relative hastigheten u_a. Dermed har man det viktige resultatet

${\displaystyle E_{kin}=E_{CM}+{1 \over 2}MV^{2}}$ 

for den totale kinetiske energien. En tilsvarende formel kan også utledes i relativistisk mekanikk. Massesenteret er da bestemt ut fra impulsene til hver av partiklene, ikke lenger av deres hastigheter slik som her i Newtons mekanikk.

Hvis alle partiklene i en slik samling er i felles bevegelse som skyldes en rotasjon med omdreiningshastighet ω, vil hver partikkel bevege seg med hastighet v_a = ω × r_a  når den har en posisjonsvektor r_a i referansesystemet som benyttes. Størrelsen til denne hastigheten kan skrives som |v_a | = ωρ_a hvor ρ_a er avstanden til partikkelen fra rotasjonsaksen. Den kinetiske energien for bevegelsen er da^[4]

${\displaystyle E_{kin}={1 \over 2}\sum _{a}m_{a}({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{a})^{2}={1 \over 2}\omega ^{2}\sum _{a}m_{a}\rho _{a}^{2}={1 \over 2}I\omega ^{2}}$ 

hvor I  er treghetsmomentet til alle partiklene om rotasjonsaksen definert ved ω. Dette vil opplagt være avhengig av retningen til denne i forhold til punktenes posisjoner og må regnes ut for hver ny rotasjonsakse.

For å unngå dette, kan man alternativt skrive ut kvadratet av kryssproduktet som gir

${\displaystyle E_{kin}={1 \over 2}\sum _{a}m_{a}(\omega ^{2}r_{a}^{2}-({\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {r} _{a})^{2})}$ 

I et kartesisk koordinatsystem blir dette gitt ved den dobbelte summen

${\displaystyle E_{kin}={1 \over 2}\sum _{i,j}I_{ij}\omega _{i}\omega _{i}}$ 

hvor summasjonene går over de tre kartesiske retningene, og

${\displaystyle I_{ij}=\sum _{a}m_{a}(r_{a}^{2}\delta _{ij}-x_{ai}x_{aj})}$ 

er «treghetstensoren». Her er x_ai  i-te komponent av vektoren r_a og δ_ij  er Kronecker-symbolet.

Da komponentene til treghetstensoren danner en symmetrisk matrise, kan man alltid finne et koordinatsystem hvor den bare har diagonale komponenter I_x, I_y og I_z. For et stift legeme kan nå disse regnes ut en gang for alle og benyttes uavhengig av rotasjonsretning.

I dette spesielle «hovedaksesystemet» kan da rotasjonsenergien skrives på den forenklete formen^[4]

${\displaystyle E_{kin}={1 \over 2}I_{x}\omega _{x}^{2}+{1 \over 2}I_{y}\omega _{y}^{2}+{1 \over 2}I_{z}\omega _{z}^{2}}$ 

hvor ω_x, ω_y og ω_z  er de kartesiske komponentene til vinkelhastigheten ω  i det samme koordinatsystemet.

En partikkel med masse m som beveger seg med en hastighet v som nærmer seg lyshastigheten c, må beskrives ved relativistisk mekanikk. Da kan impulsen til partikkelen skrives som p = γ m v  hvor Lorentz-faktoren

${\displaystyle \gamma ={1 \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$ 

Den har en kinetisk energi som kan beregnes på samme måte som for en ikke-relativistisk partikkel. Hvis den i utgangspunktet har null hastighet, vil den etter akselerasjonen ha energien

${\displaystyle E_{kin}=\int _{0}^{t}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =m\int _{0}^{v}\mathbf {v} \cdot d(\gamma \mathbf {v} )}$ 

Etter en partiell integrasjon blir dette

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{kin}&=m\gamma \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} -m\int _{0}^{v}\gamma \mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} =m\gamma v^{2}-{m \over 2}\int _{0}^{v}\gamma dv^{2}\\&=m\gamma v^{2}+{1 \over 2}mc^{2}\int _{0}^{v}\gamma d(1-v^{2}/c^{2})=m\gamma v^{2}+mc^{2}(1-v^{2}/c^{2})^{1/2}-mc^{2}\\&=mc^{2}(\gamma -1)\end{aligned}}}$ 

Ved ikke - relativistiske hastigheter v << c får man herfra tilnærmet

${\displaystyle E_{kin}={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}mv^{4}/c^{2}+\cdots }$ 

Slike relativistiske korreksjoner er viktige i atomfysikk, kjernefysikk og astrofysikk.^[3] Selv om hastigheten ikke kan overstige lyshastigheten, kan den kinetiske energien til en partikkel likevel bli vilkårlig stor.

• Energikilde
• Bevegelsesmengde
• Newtons lover
• Hamilton-mekanikk

• A. Pascolini, Historical aspects in the development of the concept of energy, 2014.