Bruker:Phidus/sandkasse-11

• SNL, Impuls og kraftstøt eller kraftimpuls benyttet her fra NTNU. Stored. in 2024
• SNL, Impuls
• Forandring i hastighet til partikkel m/masse m utsatt for kraftstøt J:

${\displaystyle \Delta v={J \over m}}$

• Skolediskusjon, Dreieimpuls blir her omtalt som impulsmoment
• Ingfag, Mekanikk for ingeniører, very good. Stored in 2024
• Ingfag, Krefter for ingeniører, very good. Stored in 2024
• Ingfag, Rotasjon for ingeniører, very good. Stored in 2024
• Ingfag, Elastisitet for ingeniører, very good. Stored in 2024
• Ingfag, Hydro for ingeniører, very good. Stored in 2024
• Ingfag, Termodynamikk for ingeniører, very good. Stored in 2024
• Ingfag, Varme for ingeniører, very good. Stored in 2024
• All Fysikk for ingeniører er her

• Youtube, The Mathematical Problem with Music, and How to Solve It, playing same melody with just three notes, then three other notes with same ratios. Derives all three temperaments with all the mathematical ratios, from Pythagorean, Just and Equal
• PianoClues, Basics of Music Theory, webpages with probably the best, understandable introduction
• Engelsk WP, Tetrachords, with Greek history, intervals and musical illustrations
• Texas Blogg, A Look at the Mathematical Origins of Western Musical Scales, Pythagorean construction of tetrachords
• Musikkteori, Introduksjon til intervaller, klargjørende, definerer ters, kvarter og kvitter i klart språk
• Musikkteori, Noter i G-nøkkel, norsk...
• Brendmo, Toner og frekvenser, musikkurs-1. Stored in 2023
• Brendmo, Intervaller og skalaer, musikkurs-2. Stored in 2023. Haan konstruerer her det som kalles just intonation soon på norsk kalles ren stemming
• Brendmo, Akkkorder, musikkurs-3. Stored in 2023
• Brendmo, Tonalitet, musikkårs-4. Stored in 2023
• Baez, Perfect fifths and Equal Temperament. EXCELLENT
• Baez, Perfect fifths and triads = Dreiklang
• NN, Major and minor triads on guitar, clarifying A-minor, C-major and even better HERE
• Youtube, Why C major and A minor are Not the Same, explains why the two scales sound differently in convincing way, based on physiology or?
• Youtube MusicTheoryGuy, Major Scales using Tones & Semitones (whole-steps & half-steps), very clear
• C-major important because stems from old Ioninian scale, while A-minor stems from Aeolian scale
• BasicMusicTheory, C-major triads, great!
• Engelsk WP, 12-tonne Equal Temperament, very good history
• Engelsk WP, Diatonic scale, very useful
• Engelsk WP, Pitch class with integer notation i.e. mod 12
• Engelsk WP, Just intonation and Interval (music) med også god, norsk WP
• Tysk WP, Monochord, Tonleiter und Oberton med betydning av harmoniske overtoner
• Tysk WP, Unterweisung im Tonsatz, om Paul Hindemith og hans opplegg for enkel systematisk musikklare
• Engelsk WP, Pythagorean tuning
• Engelsk WP, Chromatic scale og hvordan Quintenzierkel oppstår fra kromatisk sirkel hvor den ser ut som dodekagram
• MathPoint, Geometrie der Töne, ypperlig and stored in 2023
• MathPoint, Musik und Mathematik, additional questions

• Youtube, Major and minor scales from Pythagoras ratios
• Tysk WP, Heptatonik eller 7-toneskalaer som danner utgangspunkt for andre...
• Youtube, Building up scales
• Youtube, Circle of fifths intro
• Youtube, Circle of fifths, mnemonic and how to use
• Youtube, Basic Music Theory, major and minor scales, chords
• Youtube, Dur og moll-skala, Skoleweb
• Youtube, Dur og moll-skalaer, som gir EGB-akkord, better HERE by Musalchemy
• Musalchemy, Music Theory: Scales, Notes, and Intervals, Lesson-1.
• Musalchemy, Circle of fifths, Lesson-2

• H. Helmholtz, Die Lehre von den Tonempfindungen als Physiologische Grundlage für die Theorie der Musik, Braunschweig (1865).

Klotoide er en matematisk kurve der krummingen øker lineært med lengden. Navnet kommer fra det greske ordet κλώθω som betyr å spinne da den minner om garn som vikles av en rull. Likså vanlig er det å kalle den en Cornu-spiral etter den franske naturviter Marie Alfred Cornu (1878) som benyttet den til å beregne verdier av Fresnel-integralene som opptrer ved diffraksjon av lys (1818).

Men den kunne også vært oppkalt etter den sveitsiske matematiker Leonhard Euler som studerte den omtrent hundre år tidligere i sammenheng med bøyning av et stivt, elastisk bånd. Han fant da at det ville bevege seg langs en Euler-spiral som er en del av en klotoide.

Når en planlegger en trasé for veg eller jernbane blir traseen i horisontalplanet bygget opp av rette linjer og sirkelbuer. Hvis kjøretøyer med høy hastighet skal bruke traseen, må det settes inn overgangskurver mellom sirkel og rettlinje. En klotoide brukt mellom to sirkler med ulik radius kalles eggkurve.

Klotoiden egner seg godt til overgangskurve, ettersom sentripetalakselerasjonen som kjøretøyet utsettes for vil endres lineært i en klotodide. En enklere måte å se det på er at man beveger rattet med jevn hastighet når man kjører bil langs en klotoide. Bruken har også en estetisk begrunnelse ettersom traseer der klotoider er brukt som regel vil passe bedre inn i naturlig terreng.

Klotoider er vanskelig å beregne for hånd, og vegingeniørene brukte derfor tidligere spesielle klotoidelinjaler for å kunne tegne traseer. Nå gjøres beregningene av programmer for vegplanlegging.

Når man bygger berg- og dalbaner med looper, blir det brukt klotoider inn og ut av loopen, så passasjerene ikke blir utsatt for farlig høy akselerasjon.

Denne kurven ble først oppdaget av Leonhard Euler, og blir av og til kalt Eulers spiral. Flere jernbaneingeniører gjenoppdaget på 1800-tallet kurven uten å kjenne til Eulers arbeid.

Det kan matematisk uttrykkes slik:

${\displaystyle r={\frac {a^{2}}{l}},\quad a>0,}$

der ${\displaystyle r}$ er krummingsradiusen, ${\displaystyle l}$ er lengde på buen, og ${\displaystyle a}$ er en konstant, klotoideparameteren.

På parameterform blir likningen:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=a\,{\sqrt {\pi }}\,\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}\cos {\frac {\pi \,\xi ^{2}}{2}}\\\sin {\frac {\pi \,\xi ^{2}}{2}}\end{pmatrix}}\ \mathrm {d} \xi ,\quad t={\frac {l}{a\,{\sqrt {\pi }}}},}$

der ${\displaystyle l}$ er lengden av kurven fra ${\displaystyle \left(0,0\right)^{T}}$ til ${\displaystyle \left(x,y\right)^{T}}$.

Dette integralet er det samme som Fresnelintegralene i optikken.

Utvid eksisterende artikkel klotoide med enkel definisjon som i en:Fresnel integral, subsection Euler spiral

• Clothoids and Euler-Cornu derivation and history
• Roller coaster dynamics and geometry
• Liseberg roller coaster
• Dansk veigeometri med klotoider
• Ski jumping

• Hugo Kasper (1954) Die Klothoide als Trassierungselement Ferd. Dümmlers Verlag, Bonn
• MIT lectures: Mechanics of Solids Excellent!
• L. Euler, Euler-spiral, historie og matematikk, Berkeley report.
• C. Truesdell, Euler and Bernoulli: Rational Mechanics of Flexible Bodies, Google Book with original calculations.
• Euler-Bernoulli theory of bending beams
• Orange peeling
• Vestergaards matematiksider: Vejgeometri
• Collection of Euler's papers.
• UC Davis applied variational methods, p.58 Euler flexible beam. Also Newton fluid resistance
• Bernoulli-Euler, small bending Bending-modern.pdf
• D.A. Singer, Action for general elastica in terms of curvature, with fancy math.
• Beam bending basics Chap.5 of lecture series which also contains vibration of beams, plates etc.
• Mathematical treatment by Russians.
• M, Roughan, Variational calculation of Euler spiral and railway curves, Adelaide
• Deformed Euler spirals
• Oxford lecture, Complex integration, Fresnel integral
• MIT basic beam bending chap.8, Bending moment \propto curvature
• D.M. Parks, Bernoulli-Euler beams, MIT OCW lecture.
• Elementary beam bending, lecture at Aarhus.
• Beam bending basics MIT lectures
• R.L. Levien, Splines and Spirals, Berkeley PhD thesis with everything!
• R.L. Levien, Euler-spiral, historie og matematikk, Berkeley report.
• Euler elastica arguments and calculations
• Elastic equations Google Book
• Clothoide sammenheng med elastiske egenskaper på Katalansk
• A history of the theory of elasticity, Google Book of unknown author with much math. details about calculations by Jacob Bernoulli, Euler etc.

• Basic hyperbolic functions
• Integral to give hyperbolic argument
• Geometrical explanation of tanh
• Area arg
• Defining hyperbolic angle d\theta = ds/r
• Hyperbolic stuff
• Area integral p.463
• MathWorld uses other notation for inverse functions
• Beste beregning av hyperbolsk areal, på italiensk!
• Jacob and Johan Bernoulli bio with scientific details, Encyclopedia.com
• Jacob Bernoulli and his brother Johan
• Daniel Bernoulli bio.

• Elementært om involute Eric W. Weisstein: Concise Encyclopedia of Mathematics CD-ROM
• Involute of catenary = tractrix Eric W. Weisstein: Concise Encyclopedia of Mathematics CD-ROM
• Elementært om evolute Eric W. Weisstein: Concise Encyclopedia of Mathematics CD-ROM
• Evolute of catenary = ?? Eric W. Weisstein: Concise Encyclopedia of Mathematics CD-ROM
• Evolvent = involute ungarsk
• J. G. Yoder, Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature Google Book about Huygens and his ideas about evolutes-involutes.
• T. Shifrin, Differential geometry, A first course.

Se de:Hundekurve for andre hundekurver. Bruk figurer på en:Tractrix som også illustrerer evolute. With an appropriate starting point, the involute of the evolute of a curve is the curve itself as explained in en:evolute

Leibniz i 1687 også spurte i 1687 langs hvilken kurve en partikkel faller når den har konstant, vertikal hastighet. Svaret viser seg å være semicubical parabola som vist at Jakob Bernoulli i 1690. Dette markerer begynnelsen på moderne integralregning. Se detaljer i Google bok til Bos.

• Hairer and Wanner, Analysis by its History, from Galileo to Leibniz equation, semicubical parabola

Evolute er en matematisk kurve.... Bruk figurer på en:Tractrix som også illustrerer evolute. Kjedelinjen er evolute til traktrise, det vil si traktrisen er involuten til kjedelinjen. Involute = evolvent og evolute godt forklart på engelsk en:involute. Bruk tilsvarende figurer Media:Evolute2.gif and Media:Involute.gif

Link også opp med Hyperbolsk geometri som må utvides. Men må først gjenopprette flate og skrive den like fyldig som kurve.

• Curvature of tractrix
• Wikisource on envelopes
• Wikisource on evolutes/involutes with simple examples
• Semicubical parabola, Leibniz question
• Basic evolute-involute
• Calculating evolutes, involutes
• More calculations of evolutes
• Tom Apostol evolutes
• Involutes and evolutes
• Maplesoft calculations

• E. H. Lockwood, A Book of Curves, Cambridge University Press, England (1967). ISBN 0-5210-4444-8.
• H.J.M. Bos, Lectures in the History of Mathematics Google Book

• H.Kragh Sørensen, Kædelinjen, Avløsningsoppgave
• MIT ref to Robert Hooke
• Huygens bio] oversatt fra engelsk til norsk.
• Involutes and evolutes by Wolfram MathWorld
• Curves with examples.
• Plane and space curves
• Gilles Personne de Roberval St. Andrews, også på nn.
• Huygens biography St. Andrews
• Var. calc.
• Detailed calculations
• Google Book Thodhunter]

___________________________________________________________________________

H. Goldstine: A history of the calculus of variations from the 17th through the 19th century, Springer, New York (1980). ISBN 1-4613-8106-8.

C. Lanczos: 'The Variational Principles of Mechanics', University of Toronto Press (1962)

Aristoteles: "Natura nihil frustra facit" (naturen gjør ikke noe unødvendig) _______________________________________________ Nyttige nettsteder:

• Michael Fowler: Modern Physics
• Martin Houde lectures]
• UT Fitzpatrick: Oscillations and Waves]
• UT Fitzpatrick: Electromagnetism and Optics
• UT Fitzpatrick: Thermodynamics and Statistical Mechanics]
• UT Fitzpatrick: Classical Electrodynamics]
• UT Fitzpatrick: Curvilinear coordinates
• UT Fitzpatrick: Fluid Mechanics
• UT Fitzpatrick: All courses