Linje

Begrepet linje ble introdusert av oldtidens matematikere til å representere rette objekter med ubetydelig bredde og dybde. Linjer er en idealisering av et slike objekter og ble klart definert i Euklids Elementer. Vanligvis brukes ordet kun i betydningen rett linje, slik som her. En kurvet linje kalles gjerne bare en kurve.

En linje er en kontinuerlig rekke med punkter som kan være vannrett, loddrett eller diagonal. Den er entydig bestemt ut ifra enten to punkter eller et punkt og en vektor. Linjer finnes i alle geometrier som i Euklidsk rom eller i Minkowski-rom for relativitetsteorien. Generelt kan de beskrives i affine rom. I ikke-euklidsk rom erstattes de av geodetiske kurver.

Per definisjon er en linje uendelig. Hvis den er begrenset av to punkter i hver ende, kalles det et linjestykke. Hvis den kun er begrenset av et punkt i den ene enden og går mot uendelig i den andre, kalles det en stråle.

En stråle er en del av en linje som er avgrenset av et punkt i den ene enden og er uavgrenset i den andre. Gitt en linje og et vilkårlig punkt A på linja, kan vi se på det som at A deler opp linja i to stråler. Punktet A ses vanligvis på som en del av strålen.

En stråle kan bestemmes entydig av to punkter A og B der strålen starter i A og går gjennom B. Et punkt P på linjen i et generelt, affint rom kan da skrives som

${\displaystyle P=(1-t)A+tB}$

hvor t er en kontinuerlig parameter. For t = 0  blir P = A  og for t = 1  er P = B. Ved å la t > 1  finner man da punkter på strålen utenfor B, mens for t < 0  fremkommer punkt utenfor A.

Velger man et punkt O som origo i dette rommet, blir ligningen for denne strålen

${\displaystyle \mathbf {r} =(1-t)\mathbf {r} _{A}+t\mathbf {r} _{B}}$

hvor r = P - O  er posisjonsvektoren til punktet P på samme måte som r_A = A - O  og r_B = B - O  er posisjonsvektorene til de to, gitte punktene.

Innfører man vektoren v = B - A  som forbinder punktene A og B, kan ligningen skrives på den mer vanlige formen r = r_A + vt. Den beskriver en stråle som starter i punktet A  og peker i retning v. Den er gyldig uansett hva dimensjonen til rommet er.

I et kartesisk koordinatsystem har posisjonsvektoren r = r_A + vt for hvert punkt på linjen koordinatene (x,y). Vektoren v ligger langs linjen. Ved å innføre vektoren n med komponentene (a,b) som står vinkelrett på denne slik at n⋅v = 0, kan linjen beskrives algebraisk som den lineære ligningen

${\displaystyle ax+by+c=0}$

Her angir konstanten c = - n⋅r_A hvor langt linjen ligger fra origo til koordinatsystemet. Mer kompakt kan derfor ligningen for linjen skrives som n⋅r + c = 0.

Hvis b ≠ 0, er linjen ikke parallell med y-aksen og den kan da forenkles til

${\displaystyle y=kx+l}$

Her er k = - a/b  stigningstallet til linjen, mens l = - c/b  angir hvor den skjærer y-aksen og kalles for konstantleddet.

To linjer ax + by + c = 0 og a'x + b'y + c'  = 0 som står vinkelrett på hverandre, vil ha normaler n = (a,b) og n' = (a',b' ) som oppfyller n⋅n'  = 0. Da dette betyr at aa'  + bb'  = 0, vil de to stigningstallene k = - a/b og k'  = - a' /b'  være relatert som kk'  = - 1.

For en linje som går gjennom to punkt A = (x_A,y_A) og B = (x_B,y_B), er stigningstallet

${\displaystyle k={y_{B}-y_{A} \over x_{B}-x_{A}}}$

Ligningen for denne linjen er da gitt ved koordinatene til disse to punktene og kan skrives som y = k(x − x_A) + y_A. Setter man her inn uttrykket for k, kan ligningen uttrykkes ved en determinant som

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}x&x_{A}&x_{B}\\y&y_{A}&y_{B}\\1&1&1\end{pmatrix}}=0.}$

På denne formen kan man lett finne ut om tre punkter i planet ligger på en rett linje.

For å finne avstanden mellom linjen n⋅r + c = 0 og et punkt P med koordinater (x₀, y₀) kan man betrakte et vilkårlig punkt Q = Q(x₁,y₁) på linjen. Avstanden d er da gitt ved projeksjonen av vektoren u = P - Q på vektoren n normalt på linjen som vist i figuren. Den er derfor gitt ved uttrykket d = u⋅n /|n | hvor lengden av normalvektoren er |n | = √(a² + b²). Da vektoren u har komponentene (x₀ - x₁, y₀ - y₁), er produktet u⋅n = a(x₀ - x₁) + b(y₀ - y₁). Benytter man nå at punktet Q skal ligge på linjen, vil ax₁ + by₁ + c = 0. Med denne betingelsen oppfylt, kan avstanden mellom P og linjen skrives på den enklere formen

${\displaystyle d={ax_{0}+by_{0}+c \over {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

Herav ser man også direkte at om P ligger på selve linjen, er avstanden lik null. På samme måte er den positiv eller negativ avhengig om punktet ligger over eller under linjen.

Dette resultatet kan direkte generaliseres til å gjelde for avstanden mellom et punkt og et plan i tre dimensjoner eller mellom et punkt og et hyperplan i et rom med høyere dimensjoner

Linjer i rommet med kartesiske koordinater (x,y,z) kan ikke beskrives like enkelt. Men man kan alltid benytte den generelle parameterfremstillingen r = r₀ + vt hvor vektoren v er parallell til linjen, r₀ angir et vilkårlig punkt på den og t er en parameter. Skal den gå gjennom to gitte punkt A = (x_A,y_A,z_A) og B = (x_B,y_B,z_B), er koordinatene til punktene på linjen gitt ved ligningene

${\displaystyle x=x_{A}+(x_{B}-x_{A})t\,}$

${\displaystyle y=y_{A}+(y_{B}-y_{A})t\,}$

${\displaystyle z=z_{A}+(z_{B}-z_{A})t\,}$

Man kan her eventuelt bestemme parameteren t  fra en ligning, og man står da igjen med to ligninger mellom de tre ukjente koordinatene.

Alternativ kan en linje i rommet defineres som skjæringslinjen mellom to plan i rommet. Hvert plan er gitt ved en lineær ligning med den generelle formen ax + by + cz + d = 0  hvor de tre koeffisientene a, b og c angir komponentene til vektoren n = (a,b,c) som står normalt på planet.

To slike plan med normaler n₁ og n₂ er da beskrevet ved det lineære ligningssystemet

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}a_{1}x&+b_{1}y&\;+\;c_{1}z&+d_{1}=0\\a_{2}x&+b_{2}y&\;+\;c_{2}z&+d_{2}=0\\\end{alignedat}}}$

Løses dette ligningsettet med hensyn på de uavhengige variable x, y og z, finnes koordinatene til punktene som de to planene har felles, det vil si for punkter på skjæringslinjen mellom planene såfremt disse ikke er parallelle med hverandre. Vektoren v = n₁ × n₂ er da parallell til skjæringslinjen og kan så benyttes til å beregne denne.

For en linje beskrevet ved y = kx + l  kan de to tallene (k,l ) sies å være koordinatene til linjen i planet. Alternativt kan ligningen skrives som ax + by + c = 0 hvor de tre tallene (a,b,c) spesifiserer linjen. Men disse er ikke uavhengige av hverandre. Man kan multiplisere dem alle med en konstant uten at linjen forandres. Det betyr at den er likså godt beskrevet ved tallene (a/c, b/c, 1) eller (a' ,b' ,1). De tre tallene sies derfor å være homogene koordinater for linjen. Slike linjekoordinater benyttes i det projektive planet.

En linje er med koordinatene (k,l ) består av alle punkt (x,y ) som oppfyller ligningen y = kx + l . Alternativt kan man si at for et gitt punkt (x,y ) vil alle løsninger av den samme ligningen gi koordinatene (k,l ) for alle linjer som går gjennom dette punktet.

For linjer i det tredimensjonale rommet som er bestemt ved to punkt, behøves i utgangspunktet seks koordinater. Men av disse er bare fire uavhengige av hverandre. Det kan man forstå ved at linjens retning kan angis ved to koordinater. I tillegg må man angi et punkt som den går gjennom. Til det trenges det bare to nye koordinater da dette punktet kan ligge hvor som helst på linjen. Dette er bakgrunnen for de kjente linjekoordinatene til Julius Plücker.

En linje i det euklidiske rommet er den kurven som gir den korteste avstand mellom to punkter. Dette definerer en geodetisk kurve. I rom med ikke-euklidsk geometri kan man også snakke om linjer når disse er definert som geodetiske kurver. For eksempel, i sfærisk geometri på en kuleflate er disse storsirkler som går gjennom to diametralt motsatte punkt på kuleflaten. Alternativt kan man si at disse geodetiske kurvene fremstår som skjæringspunktet mellom kuleflaten og et plan gjennom kulens sentrum.

Ifølge Einsteins generelle relativitetsteori vil masse og energi gi tidrommet en ikke-euklidsk geometri slik at lyset ikke lenger vil bevege seg langs rette linjer. I stedet følger det geodetisk kurver som har krumning slik at lyset blir avbøyet. Dette ble først eksperimentelt verifisert av den engelske astrofysiker Eddington ved en total solformørkelse i 1919 og benyttes i dag til å utforske gravitasjonslinser som dannes av store galakser og mørk materie i Universet.

• Vektor
• Kurve
• Lineær funksjon
• Kartesisk koordinatsystem

• A. Søgaard og R. Tambs Lyche, Matematikk for den høgre skolen, vol. III, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).