Integralas

Integralas (žymima ${\displaystyle \int }$) – matematinė funkcija, gaunama kaip rezultatas veiksmo, atvirkščio diferencijavimui.^[1] Integralo skaičiavimas vadinamas integravimu. Integravimas matematikoje ir fizikoje taikomas siekiant apskaičiuoti figūros plotą, kreivės ilgį, kieto kūno tūrį bei kitose srityse.

Integralai gali būti neapibrėžtiniai ir apibrėžtiniai (turintys intervalą).

Ankstyviausiais integralų prototipais galima laikyti maždaug 370 m. pr. m. e. gyvenusio senovės graikų astronomo Eudokso taikytą išsėmimo metodą, kuriuo plotai ir tūriai būdavo apskaičiuojami juos padalinant į begalę mažesnių figūrų.^[2] Šį metodą toliau plėtojo III a. pr. m. e. gyvenęs Archimedas, tokiu metodu apskaičiuodavęs skritulio plotą, sferos tūrį ir paviršiaus plotą, elipsės plotą, parabolės ribojamą plotą, besisukančių paraboloido ir hiperboloido tūrius bei spiralės plotą.^[3]

Šį skaičiavimo metodą nepriklausomai nuo graikų išvystė III a. kinų matematikas Liu Hui, tokiu būdu apskaičiuodavęs skritulio plotą, o V a. matematikų Dzu Čongdži ir Zu Gengo jau buvo apskaičiuojami sferos tūriai.^[4]

Kitas pavyzdys – X ir XI a. sandūroje gyvenęs arabų matematikas Alhazenas, išradęs skaičiaus ketvirtojo laipsnio sumos formulę^[5], leidusią jam apskaičiuoti paraboloido tūrį.^[6]

Žymesnio progreso integravime nebuvo iki pat XVII a., kai Bonaventūra Kavaljeris išdėstė nedalomųjų metodą plotams ir tūriams skaičiuoti^[7], o Pjeras Fermatas ištyrė diferencijavimo procesą bei nustatė laipsninės funkcijos diferencijavimo bendrąjį dėsnį, taip paklodami pamatus integraliniam ir diferencialiniam skaičiavimui.^[8] Dar didesnį proveržį į integralinį skaičiavimą įnešė Leibnico ir Niutono teorema, paaiškinusi ryšį tarp integravimo ir diferencijavimo.^[9]

Integralo terminas pirmąkart pavartotas 1690 m. lotyniškame tekste Ergo et horum Integralia aequantur, parašytame Jakobo Bernulio.^[10]

Pagrindinis straipsnis – Neapibrėžtinis integralas.

funkcijos f(x) pirmykšte vadinama tokia funkcija ${\displaystyle F(x)}$, kurios išvestinė lygi ${\displaystyle f(x)}$, t. y. ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$. Jei ${\displaystyle F(x)}$ yra funkcijos ${\displaystyle f(x)}$ pirmykštė funkcija ir ${\displaystyle C}$ – bet kuris realusis skaičius (laisvoji konstanta), tai ${\displaystyle F(x)+C}$ irgi yra funkcijos ${\displaystyle f(x)}$ pirmykštė funkcija. Ši pirmykščių funkcijų aibė vadinama funkcijos ${\displaystyle f(x)}$ neapibrėžtiniu integralu ir žymima: ${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}$, kur ${\displaystyle f(x)}$ – pointegralinė funkcija, ${\displaystyle f(x)dx}$ – pointegralinis reiškinys.^[11]

Pagrindinis straipsnis – Apibrėžtinis integralas.

Apibrėžtiniu integralu vadinamas įrankis, skirtas skaičiuoti plotui, masei ir kitiems adityviems dydžiams.

Intervalui esant su dviem integravimo rėžiais ${\displaystyle [a;b]}$, intervalas skaidomas į be galo mažus gabaliukus. Kiekvienas toks gabaliukas susietas su tam tikru skaičiumi (apibrėžta funkcija šiame intervale). Integravimas atliekamas sudauginus kiekvieno gabaliuko ilgį iš to skaičiaus ir viską susumavus. Riba, kai tokio gabaliuko ilgis be galo mažas, yra vadinama apibrėžtiniu integralu.

• Burton, David M. (2011), The History of Mathematics: An Introduction (7th ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-338315-6 
• Heath, T. L., ed. (2002), The Works of Archimedes, Dover, ISBN 978-0-486-42084-4 
  (Pirmasis leidimas – 1897 m., Kembridžo universiteto leidykla)
• Katz, Victor J. (2009), A History of Mathematics: An Introduction, Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-38700-4 
• Stillwell, John (1989), Mathematics and Its History, Springer, ISBN 0-387-96981-0 

• Integralinis ir diferencialinis skaičiavimas