İnteqral

İnteqral – kəsilməz f(x) funksiyasının ibtidai funksiyalarının ümumi şəklinə f(x) funksiyasının inteqralı deyilir.

İnteqral sahəsində ən böyük işləri Qotfrid Leybnits və İsaak Nyuton görmüşlər. "İnteqral" sözünü və işarəsini ilk dəfə elmə alman alimi Qotfrid Leybnits daxil etmişdir. Bu söz latıncadan "Cəm" ("ſumma", "summa") mənasını verir. İnteqral ∫ hərfi ilə işarə edilir:

${\displaystyle F(x)=\int f(x)+c,}$

[a, b] parçasında götürülmüş f(x) funksiyasının müəyyən inteqralın düsturu belədir:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx\,}$

Qeyri-müəyyən inteqralın isə düsturu belədir:

${\displaystyle F=\int f(x)\,dx+c}$

${\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,}$.

${\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}$.

${\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}$.

${\displaystyle \int dx=x+C}$

${\displaystyle \int {dx \over x}=\ln {\left|x\right|}+C}$

${\displaystyle \int {dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\arctan {x \over a}+C}$

${\displaystyle \int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {x \over a}+C}$

${\displaystyle \int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arccos {x \over a}+C}$

${\displaystyle \int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\sec {|x| \over a}+C}$

${\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C,}$

${\displaystyle \int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C}$:)

${\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}$

${\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C}$

${\displaystyle \int a^{ln(x)}\,dx=\int x^{ln(a)}\,dx={\frac {x\,a^{ln(x)}}{\ln {a}+1}}+C={\frac {x\,x^{ln(a)}}{\ln {a}+1}}+C}$

${\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}$

${\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}$

${\displaystyle \int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C}$

${\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C}$

${\displaystyle \int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C}$

${\displaystyle \int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C}$

${\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C}$

${\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C}$

${\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C}$

${\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx}$

${\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx}$

${\displaystyle \int \arctan {x}\,dx=x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \sinh x\,dx=\,coshx+C}$

${\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C}$

${\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C}$

${\displaystyle \int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C}$

${\displaystyle \int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C}$

${\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C}$

${\displaystyle \int {\mbox{sech}}^{2}x\,dx=\tanh x+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arcsinh} x\,dx=x\operatorname {arcsinh} x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccosh} x\,dx=x\operatorname {arccosh} x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arctanh} x\,dx=x\operatorname {arctanh} x+{\frac {1}{2}}\log {(1-x^{2})}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\operatorname {arccsch} x+\log {\left[x\left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}+1\right)\right]}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\operatorname {arcsech} x-\arctan {\left({\frac {x}{x-1}}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\operatorname {arccoth} x+{\frac {1}{2}}\log {(x^{2}-1)}+C}$

• Wolfram Integrator