자연수

  이 부분의 본문은 페아노 공리계입니다.

가장 통용되는 자연수 이론인 페아노 공리계는 상수 ${\displaystyle 0\in \mathbb {N} }$  및 함수 ${\displaystyle s\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ 에 대한 다음과 같은 공리들로 이루어진 2차 논리 이론 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 이다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$ 에 대하여, ${\displaystyle s(x)\neq 0}$ 
• (${\displaystyle s}$ 는 단사 함수) 임의의 ${\displaystyle x,y\in \mathbb {N} }$ 에 대하여, ${\displaystyle s(x)=s(y)}$ 이면 ${\displaystyle x=y}$ 
• (수학적 귀납법) 임의의 ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {N} }$ 에 대하여, ${\displaystyle 0\in I}$ 이며 ${\displaystyle s(I)\subseteq I}$ 이면, ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ 

이 공리들 가운데 2차 논리 공식은 셋째 공리뿐이다. 이 셋째 공리를 1차 논리 공리꼴로 대신하면, 페아노 산술을 얻으며, 이는 보다 더 약한 공리계이다.

자연수 이론의 한 가지 모형 ${\displaystyle (\mathbb {N} ,0,s)}$ 을 체르멜로-프렝켈 집합론에서 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

${\displaystyle 0=\varnothing }$ 

${\displaystyle s(x)=x\cup \{x\}}$ 

${\displaystyle \mathbb {N} =\bigcap _{I\colon 0\in I\supseteq s(I)}I}$ 

이 경우, 각 자연수는 그보다 작은 자연수들의 집합이다. 예를 들어, 처음 몇 자연수는 다음과 같다.

${\displaystyle 0=\varnothing }$ 

${\displaystyle 1=\{0\}=\{\varnothing \}}$ 

${\displaystyle 2=\{0,1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$ 

${\displaystyle 3=\{0,1,2\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}}$ 

고유 모임이 허용되는 집합론의 경우, 자연수를 유한 집합의 대등 관계에 대한 동치류로서 정의할 수 있다. 즉, 각 자연수는 그 자연수를 원소 개수로 하는 집합들의 모임이다. 즉, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle 0=\{\varnothing \}}$ 

${\displaystyle s(x)=\{y\cup \{z\}\colon y\in x,\;z\not \in y\}}$ 

${\displaystyle \mathbb {N} =\bigcap _{I\colon 0\in I\supseteq s(I)}I}$ 

그러나, 이러한 구성은 고유 모임을 사용하므로, 분류 공리꼴을 만족시키는 집합론에서 사용할 수 없다.

자연수의 집합은 가환 순서 반환을 이룬다.

  이 부분의 본문은 수학적 귀납법입니다.

자연수의 집합 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 의 정의에 따라, 수학적 귀납법이 성립한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 명제를 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있다.

• 임의의 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 에 대하여, ${\displaystyle n}$ 은 성질 ${\displaystyle S}$ 를 만족시킨다.

여기서 ${\displaystyle S}$ 는 주어진 성질이며, 자연수 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {N} }$ 으로 간주할 수 있다. 이 명제를 증명하려면 다음 두 가지를 증명하기만 하면 된다.

• ${\displaystyle 0\in S}$ . 즉, 0은 이 성질을 만족시킨다.
• 만약 ${\displaystyle n\in S}$ 라면, ${\displaystyle n+1\in S}$ . 즉, 어떤 자연수가 이 성질을 만족시키면, 뒤따르는 자연수도 이를 만족시킨다.

자연수의 집합 위의 초한 귀납법에 따르면, 다음 한 가지를 증명하는 것으로 대신할 수도 있다.

• 만약 ${\displaystyle 0,1,2,\dotsc ,n-1\in S}$ 라면, ${\displaystyle n\in S}$ . 즉, 어떤 자연수보다 작은 자연수가 모두 이 성질을 만족시키면, 그 자연수 역시 이를 만족시킨다.

특히, ${\displaystyle n=0}$ 인 경우 이 조건이 뜻하는 바는 단순히 ${\displaystyle 0\in S}$ 인데, 이는 이 조건의 전제가 항상 참이기 때문이다.

자연수의 집합 위의 초한 재귀 정리에 따르면, 수열을 점화식을 통해 정의할 수 있다. 즉, 집합 ${\displaystyle X}$ 에서 값을 취하는 수열 ${\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }\subseteq X}$ 은, 그 일반항을 통하지 않고서도, 다음과 같은 점화식을 줌으로써 정의할 수 있다.

${\displaystyle x_{n}=f(x_{0},x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n-1})}$ 

여기서 ${\displaystyle \textstyle f\colon \bigcup _{n=0}^{\infty }X^{n}\to X}$ 는 ${\displaystyle X}$ 에서 값을 취하는 각 유한 수열에 ${\displaystyle X}$ 의 원소를 대응시키는 함수이다. 특히, 이 점화식에서 ${\displaystyle n=0}$ 인 경우, 이 점화식이 뜻하는 바는 공(空)수열 ${\displaystyle ()}$ 의 함숫값 ${\displaystyle f()}$ 을 첫항 ${\displaystyle x_{0}}$ 으로 정의하는 식 ${\displaystyle x_{0}=f()}$ 이다.

  이 부분의 본문은 무한 강하법입니다.

자연수의 집합은 정렬 집합이다. 즉, 공집합이 아닌 자연수 부분 집합 ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \mathbb {N} }$ 은 항상 최소 원소 ${\displaystyle \min S\in S}$ 를 갖는다.

자연수의 집합 위에서 무한 강하법이 성립한다. 즉, 자연수의 감소 무한 수열 ${\displaystyle n_{0}>n_{1}>n_{2}>\cdots }$ 는 존재하지 않는다. 이는 위에서 증명한 자연수의 정렬성을 통해 엄밀하게 증명할 수 있다. 즉, 만약 자연수의 감소 무한 수열이 존재한다면, 그 수열의 항들의 집합은 자연수의 부분 집합인데, 이는 공집합이 아니면서 최소 원소를 갖지도 않으므로 모순이다. 무한 강하법을 사용하여 다음과 같은 꼴의 명제를 증명할 수 있다.

• 성질 ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {N} }$ 을 만족시키는 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 은 존재하지 않는다.

이를 증명하려면 다음 한 가지를 증명하기만 하면 된다.

• 만약 ${\displaystyle n\in S}$ 라면, ${\displaystyle n'\in S}$ 인 자연수 ${\displaystyle n'\in \{0,1,2,\dotsc ,n-1\}}$ 가 존재한다.

자연수의 집합 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 은 무한 집합이다. 자연수의 집합의 크기를 알레프 0 ${\displaystyle \aleph _{0}=|\mathbb {N} |}$ 으로 정의하며, 이는 최소 무한 기수이다. 즉, 임의의 무한 집합 ${\displaystyle S}$ 에 대하여, ${\displaystyle |S'|=\aleph _{0}}$ 인 부분 집합 ${\displaystyle S'\subseteq S}$ 가 존재한다. 자연수의 집합과 크기가 같은 집합(=전단사 함수 ${\displaystyle \mathbb {N} \to S}$ 가 존재하는 집합 ${\displaystyle S}$ )을 가산 무한 집합이라고 한다. 예를 들어, 유리수의 집합 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 는 가산 무한 집합이며, 실수의 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 는 비(非)가산 무한 집합이다.

자연수에 대한 곱셈식 ${\displaystyle ab=c}$ 이 성립할 때, ${\displaystyle a,b}$ 가 ${\displaystyle c}$ 의 약수라고 하며, 반대로 ${\displaystyle c}$ 를 ${\displaystyle a,b}$ 의 배수라고 한다. 0은 모든 자연수를 약수로 가지며, 0의 배수는 0뿐이다. 그러나, 양의 정수의 경우만을 생각하기도 한다. 항등식 ${\displaystyle 1a=a}$ 에 따라, 자연수는 항상 1과 자기 자신을 약수로 가지는데, 약수가 이들뿐인 자연수를 소수라고 하며, 그렇지 않은 자연수를 합성수라고 한다. 다만, 0과 1은 소수도 합성수도 아니라고 정의한다. 산술의 기본 정리에 따르면, 모든 합성수는 유한 개의 소수들의 곱으로 표현 가능하며, 이러한 표현은 소수들을 곱하는 순서를 무시하면 유일하다.

• 정수
• 소수

수학 포털

• “자연수 VS 유리수”. 《네이버캐스트》. 
• “자연수 VS 실수”. 《네이버캐스트》. 
• “Natural number”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Natural number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Natural number”. 《nLab》 (영어). 
• “Natural numbers type”. 《nLab》 (영어). 
• “Natural numbers in SEAR”. 《nLab》 (영어). 
• “Extended natural number”. 《nLab》 (영어). 
• “Natural number”. 《Groupprops》 (영어). 
• “Natural number”. 《PlanetMath》 (영어).