정수

정수 체계는 (0을 포함하는) 자연수 체계 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 으로부터 다음과 같이 정의할 수 있다. 집합 ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$  위에 다음과 같은 조건을 만족시키는 최소 동치 관계를 주자.

${\displaystyle (m,n)\sim (m+k,n+k)\forall k\in \mathbb {N} }$ 

이 동치 관계에 대한 몫집합을 정수 집합 ${\displaystyle \mathbb {Z} =(\mathbb {N} \times \mathbb {N} )/\sim }$ 라고 정의하자. 그 위에 덧셈과 곱셈을 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle [(m,n)]_{\sim }+[(p,q)]_{\sim }=[(m+p,n+q)]_{\sim }}$ 

${\displaystyle [(m,n)]_{\sim }\cdot [(p,q)]_{\sim }=[(mp+nq,mq+np)]_{\sim }}$ 

그렇다면 정수의 집합 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 는 환을 이루며, 이를 정수환(整數環, 영어: ring of integers)이라고 한다.이러한 구성 방법은 일반적으로 모노이드에서 군으로 체계를 확장할 때 생기는 그로텐디크 군의 한 형태이다.

자연수 집합과 마찬가지로, 정수 집합은 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있다. 하지만 자연수 집합과 다르게, 뺄셈에도 닫혀 있다. 나눗셈에는 닫혀 있지 않다.

유리수와 정수의 관계는 대수적 수와 대수적 정수의 관계까지 일반화될 수 있다.

• 수학
• 음수
• 양수
• 유리수

 

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정수

• “Integer”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Integer”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Integer”. 《nLab》 (영어). 

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