집합족

수학에서 집합족(集合族, 영어: family of sets)은 집합들을 원소로 하여 구성된 집합이다.

정의

집합 $X$ 속의 집합족은 $X$ 의 (일부 또는 전체) 부분 집합들로 이루어진 집합을 뜻한다. 즉, 집합 $X$ 속의 집합족은 $X$ 의 멱집합 ${\mathcal {P}}(X)$ 의 부분 집합 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 을 뜻한다.

종류

집합 $X$ 속의 집합족 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 에 대하여, 다음과 같은 성질들을 정의할 수 있다.

집합 반환(集合半環, 영어: semiring of sets): $\varnothing \in {\mathcal {F}}$ 이며, 유한 교집합에 대하여 닫혀 있으며, 임의의 $A,B\in {\mathcal {F}}$ 에 대하여, $A\setminus B=C_{1}\cup \cdots \cup C_{n}$ 인 유한 개의 서로소 집합 $C_{1},\dots ,C_{n}\in {\mathcal {F}}$ 가 존재한다.^[1]^{:166, §11}
집합환(集合環, 영어: ring of sets): $\varnothing \in {\mathcal {F}}$ 이며, 유한 합집합, 유한 교집합, 차집합에 대하여 닫혀 있다.
σ환(-環, 영어: σ-ring): ${\mathcal {F}}$ 는 집합환이며, 가산 합집합에 대하여 닫혀 있다.
δ환(-環, 영어: δ-ring): ${\mathcal {F}}$ 는 집합환이며, 가산 교집합에 대하여 닫혀 있다.
집합 반대수(集合半代數, 영어: semialgebra of sets): ${\mathcal {F}}$ 는 집합 반환이며, $X\in {\mathcal {F}}$ 이다.
집합 대수(集合代數, 영어: algebra of sets) 또는 집합체(集合體, 영어: field of sets): ${\mathcal {F}}$ 는 집합환이며, $X\in {\mathcal {F}}$ 이다. 즉, ${\mathcal {F}}$ 는 ${\mathcal {P}}(X)$ 의 부분 불 대수를 이룬다.
시그마 대수(σ代數, 영어: σ-algebra): ${\mathcal {F}}$ 는 σ환이자 δ환이며, $X\in {\mathcal {F}}$ 이다.
π계(-系, 영어: π-system): ${\mathcal {F}}$ 는 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다.
λ계(-系, 영어: λ-system): $X\in {\mathcal {F}}$ 이며, 여집합에 대하여 닫혀 있으며, 가산 개의 서로소 집합들의 합집합에 대하여 닫혀 있다. 이와 동치로, $X\in {\mathcal {F}}$ 이며, 만약 $A,B\in {\mathcal {F}}$ 이며 $A\subseteq B$ 라면 $B\setminus A\in {\mathcal {F}}$ 이며, 만약 $A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {F}}$ 이며 $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots$ 라면 $\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {F}}$ 이다.
단조류(單調類, 영어: monotone class): 만약 $A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {F}}$ 이며 $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots$ 라면 $\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {F}}$ 이며, 만약 $A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {F}}$ 이며 $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq \cdots$ 라면 $\textstyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {F}}$ 이다.

성질

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

π계	⇐	집합 반환	⇐	집합환	⇐	σ환 또는 δ환
						⇑
		⇑		⇑		σ환 + δ환	⇒	단조류
						⇑		⇑
		집합 반대수	⇐	집합 대수	⇐	시그마 대수	⇒	λ계

또한, 집합족에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

시그마 대수이다.
집합 대수이자 σ환이다.
집합 대수이자 δ환이다.
π계이자 λ계이다.
집합 대수이자 단조류이다.

집합족으로 생성된 집합환

임의의 유한 또는 무한 개의 집합환, σ환, δ환, 집합 대수, 시그마 대수, π계, λ계, 단조류의 교집합은 각각 집합환, σ환, δ환, 집합 대수, 시그마 대수, π계, λ계, 단조류이다. 따라서, 임의의 집합 $X$ 속의 집합족 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 에 대하여, ${\mathcal {F}}$ 를 포함하는 최소의 집합환, σ환, δ환, 집합 대수, 시그마 대수, π계, λ계, 단조류가 존재하며, 이는 각각 ${\mathcal {F}}$ 를 포함하는 모든 집합환, σ환, δ환, 집합 대수, 시그마 대수, π계, λ계, 단조류의 교집합과 같다. 이를 각각 ${\mathcal {F}}$ 로 생성된 집합환, σ환, δ환, 집합 대수, 시그마 대수, π계, λ계, 단조류라고 한다.

집합 $X$ 속의 집합족 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 으로 생성된 집합 대수는

a({\mathcal {F}})=\left\{\bigcup _{i=1}^{m}\bigcap _{j=1}^{n}A_{ij}\colon m,n\in \mathbb {N} ,\;A_{ij}\in {\mathcal {F}}\cup \{\varnothing \}\cup (X\setminus ({\mathcal {F}}\cup \{\varnothing \})\right\}

이다.

반면, ${\mathcal {F}}$ 로 생성된 시그마 대수 $\sigma ({\mathcal {F}})$ 는 명시적으로 나타낼 수 없다.

집합 $X$ 속의 집합 반환 ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 으로 생성된 집합환 $r({\mathcal {S}})$ 은 ${\mathcal {S}}$ 속 유한 개의 서로소 집합들의 합집합으로 구성된다. 만약 ${\mathcal {S}}$ 가 집합 반대수라면, $r({\mathcal {S}})$ 는 집합 대수이다.^[2]^{:33, §1.5, Problem 1.19}

r({\mathcal {S}})=\left\{\bigcup _{i=1}^{n}S_{i}\colon n\in \mathbb {N} ,\;S_{i}\in {\mathcal {S}},\;i=j\lor S_{i}\cap S_{j}=\varnothing \right\}

증명:

우선

{\mathcal {R}}=\left\{\bigcup {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {R}}_{0},\;|{\mathcal {F}}|<\aleph _{0}\right\}

라고 하고, ${\mathcal {R}}=r({\mathcal {R}}_{0})$ 임을 보이자. 자명하게 ${\mathcal {R}}\subseteq r({\mathcal {R}}_{0})$ 이므로, ${\mathcal {R}}$ 가 집합환을 이룸을 보이면 된다. 자명하게 ${\mathcal {R}}_{0}\subseteq {\mathcal {R}}$ 이며, 특히 $\varnothing \in {\mathcal {R}}$ 이다. 또한 ${\mathcal {R}}$ 는 유한 합집합에 대하여 닫혀 있다. 따라서 임의의 $A,B\in {\mathcal {R}}$ 에 대하여 $A\setminus B\in {\mathcal {R}}$ 임을 보이면 된다.

A=\bigcup {\mathcal {F}}

B=\bigcup {\mathcal {G}}

인 유한 서로소 집합 ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {R}}_{0}$ 을 취하고, 임의의 $F\in {\mathcal {F}}$ 및 $G\in {\mathcal {G}}$ 에 대하여

F\setminus G=\bigcup {\mathcal {H}}_{F,G}

인 유한 서로소 집합 ${\mathcal {H}}_{F,G}\subseteq {\mathcal {R}}_{0}$ 을 취하자. 그렇다면

{\begin{aligned}A\setminus B&=\bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}\left(F\setminus \bigcup {\mathcal {G}}\right)\\&=\bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}\bigcap _{G\in {\mathcal {G}}}(F\setminus G)\\&=\bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}\bigcap _{G\in {\mathcal {G}}}\bigcup {\mathcal {H}}_{F,G}\\&=\bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}\bigcup _{H\in \prod _{G\in {\mathcal {G}}}{\mathcal {H}}_{F,G}}\bigcap _{G\in {\mathcal {G}}}H_{G}\\\end{aligned}}

이다. 임의의

H=(H_{G})_{G\in {\mathcal {G}}}\in \prod _{G\in {\mathcal {G}}}{\mathcal {H}}_{F,G}

에 대하여,

\bigcap _{G\in {\mathcal {G}}}H_{G}\in {\mathcal {R}}_{0}

이므로, $A\setminus B\in {\mathcal {R}}_{0}$ 이다.

이제, $r({\mathcal {R}}_{0})$ 속 모든 원소 $A\in r({\mathcal {R}}_{0})$ 이 ${\mathcal {R}}_{0}$ 속 서로소 원소의 유한 합집합임을 보이자.

A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}

인 유한 개의 서로소 원소 $A_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {R}}_{0}$ 을 취하고, 임의의 $i,j\in \{1,\dots ,n\}$ 에 대하여

A_{i}\setminus A_{j}=\bigcup _{k=1}^{n_{ij}}B_{ijk}

인 유한 개의 서로소 원소 $B_{ij1},\dots ,B_{ijn_{ij}}\in {\mathcal {R}}_{0}$ 을 취하자. 그렇다면

{\begin{aligned}A&=\bigsqcup _{i=1}^{n}\left(A_{i}\setminus \bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}\right)\\&=\bigsqcup _{i=1}^{n}\bigcap _{j=1}^{i-1}(A_{i}\setminus A_{j})\\&=\bigsqcup _{i=1}^{n}\bigcap _{j=1}^{i-1}\bigsqcup _{k=1}^{n_{ij}}B_{ijk}\\&=\bigsqcup _{i=1}^{n}\bigsqcup _{k_{1}=1}^{n_{i1}}\cdots \bigsqcup _{k_{i-1}=1}^{n_{i,i-1}}\bigcap _{j=1}^{i-1}B_{ijk_{j}}\end{aligned}}

이며,

\left\{A_{i}\setminus \bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}\colon i\in \{1,\dots ,n\}\right\}

\left\{\bigcap _{j=1}^{i-1}B_{ijk_{j}}\colon \forall j\in \{1,\dots ,i-1\}\colon k_{j}\in \{1,\dots ,n_{ij}\}\right\}\qquad (i\in \{1,\dots ,n\})

는 모두 서로소 집합족이므로,

\left\{\bigcap _{j=1}^{i-1}B_{ijk_{j}}\colon i\in \{1,\dots ,n\},\;\forall j\in \{1,\dots ,i-1\}\colon k_{j}\in \{1,\dots ,n_{ij}\}\right\}

역시 서로소 집합족이다.

딘킨 π-λ 정리(-定理, 영어: Dynkin π–λ theorem)에 따르면, 임의의 π계 ${\mathcal {P}}$ 및 λ계 ${\mathcal {L}}$ 에 대하여, 만약 ${\mathcal {P}}\subseteq {\mathcal {L}}$ 라면, $\sigma ({\mathcal {P}})\subseteq {\mathcal {L}}$ 이다. 단조류 정리(單調類定理, 영어: monotone class theorem)에 따르면, 임의의 집합 대수 ${\mathcal {A}}$ 및 단조류 ${\mathcal {M}}$ 에 대하여, 만약 ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {M}}$ 이라면, $\sigma ({\mathcal {A}})\subseteq {\mathcal {M}}$ 이다.

예

집합 $\{\{2,\{3\}\},\{1\},\{5,6\}\}$ 은 모든 원소가 집합이므로 집합족이다. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 같은 순수 집합론의 경우, 논의 영역 속 모든 대상이 집합이므로, 집합족인 집합과 아닌 집합의 구분이 없다.

임의의 집합 $X$ 에 대하여, 공집합 $\varnothing$ 과 $X$ 의 멱집합 ${\mathcal {P}}(X)$ 은 $X$ 속의 집합족이다.

실수 구간 $[0,1]\subseteq \mathbb {R}$ 의 부분 구간들의 집합족은 $[0,1]$ 속의 집합 반대수를 이루며, 이는 집합 대수가 아니다.^[1]^{:166, §11} 실수선 $\mathbb {R}$ 속의 유계 집합들의 집합족은 $\mathbb {R}$ 속의 δ환이지만, 집합 대수나 σ환이 아니다.^[3]^{:8, §1.2}

같이 보기

각주

↑ ^가 ^나 Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (영어) 3판. New York, N.Y.: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-00710-4.
↑ Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001.
↑ Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume I》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8. LCCN 2006933997.

[Billingsley-1] 가 ^나 Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (영어) 3판. New York, N.Y.: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-00710-4.

[Athreya-2] Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001.

[Bogachev-3] Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume I》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8. LCCN 2006933997.

[1]

[2]

[3]

v t e 집합론
집합	원소 공집합 한원소 집합 부분집합 교집합 합집합 여집합 대칭차 멱집합 곱집합 순서쌍 유한 집합 무한 집합 무한 공리 가산 집합 드 모르간의 법칙
함수	정의역 공역 치역 상 전사 함수 단사 함수 전단사 함수 다가 함수 역함수 항등 함수 상수 함수 지시 함수 함수의 합성
기수	집합의 크기 칸토어의 정리 대각선 논법 알레프 수 베트 수 극한 기수 기멜 함수 가능 공종도
순서수	정렬 순서 초한귀납법 공종도 쾨니그의 정리 하르톡스 수 정규 함수
역설의 해소	소박한 집합론 러셀의 역설 칸토어 역설 부랄리포르티 역설 모임 유형 이론 《수학 원리》 체르멜로-프렝켈 집합론 새 기초 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론 모스-켈리 집합론
선택 공리	가산 선택 공리 의존적 선택 공리 초른 보조정리 슈필라인 확장정리 바나흐-타르스키 역설 티호노프 정리
집합론의 모형	구성 가능 전체 추이적 집합 추이적 모형 순서수 정의 가능 집합 강제법
큰 기수	도달 불가능한 기수 가측 기수 약콤팩트 기수 강콤팩트 기수 초콤팩트 기수
ZF와 독립된 명제	연속체 가설 특이 기수 가설 수슬린 가설 화이트헤드 문제 결정 공리 마틴 공리 다이아몬드 원리