시그마 대수

측도론에서 시그마 대수(σ代數, 영어: sigma-algebra)는 가산 상한과 하한을 갖는 불 대수이다. 시그마 대수의 원소 위에 측도를 정의할 수 있다.

불 대수 ${\displaystyle \Sigma }$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 불 대수를 (추상적) 시그마 대수(영어: (abstract) sigma-algebra)라고 한다.^{[1]:§2.3[2]:Definition 1}

• (가산 상완비성) ${\displaystyle \Sigma }$의 임의의 가산 부분 집합은 상한을 갖는다.
• (가산 하완비성) ${\displaystyle \Sigma }$의 임의의 가산 부분 집합은 하한을 갖는다.

두 시그마 대수 ${\displaystyle \Sigma }$, ${\displaystyle \Sigma '}$ 사이의 시그마 대수 준동형(영어: sigma-algebra homomorphism) ${\displaystyle f\colon \Sigma \to \Sigma '}$은 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.

• 임의의 가산 부분 집합 ${\displaystyle A\subseteq \Sigma }$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle f(\bigvee A)=\bigvee f(A)}$이다. (특히, ${\displaystyle A=\varnothing }$일 경우, ${\displaystyle f(\bot _{\Sigma })=\bot _{\Sigma '}}$이다.)
• 임의의 가산 부분 집합 ${\displaystyle A\subseteq \Sigma }$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle f(\bigwedge A)=\bigwedge f(A)}$이다. (특히, ${\displaystyle A=\varnothing }$일 경우, ${\displaystyle f(\top _{\Sigma })=\top _{\Sigma '}}$이다.)
• 임의의 원소 ${\displaystyle s\in \Sigma }$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle f(\lnot s)=\bigvee f(\lnot s)}$이다.

여기서 ${\displaystyle \top }$과 ${\displaystyle \bot }$은 각각 최대 원소와 최소 원소를 뜻한다.

시그마 대수와 시그마 대수 준동형은 구체적 범주 ${\displaystyle \operatorname {\sigma Alg} }$를 이룬다.

시그마 대수 ${\displaystyle \Sigma }$의 시그마 아이디얼(영어: sigma-ideal)은 다음 조건들을 만족시키는 순서 아이디얼 ${\displaystyle I\subseteq \Sigma }$이다.^{[1]:Definition 2.3.7}

• 가산 상한에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 가산 부분 집합 ${\displaystyle I'\subseteq I}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \sup _{\Sigma }I'\in I}$이다.

불 대수는 가환환을 이루며, 불 대수의 순서 아이디얼은 아이디얼을 이룬다. 따라서 몫 불 대수 ${\displaystyle \Sigma /I}$를 정의할 수 있으며, ${\displaystyle I}$가 시그마 아이디얼이라면 이는 시그마 대수를 이룬다. 이를 몫 시그마 대수 ${\displaystyle \Sigma /I}$라고 한다.^{[1]:Definition 2.3.7}

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

				완비 격자	⇐	완비 헤이팅 대수	⇐	완비 불 대수
								⇓
				⇓		⇓		시그마 대수
								⇓
원순서 집합	⇐	부분 순서 집합	⇐	유계 격자	⇐	헤이팅 대수	⇐	불 대수

시그마 대수 ${\displaystyle \Sigma }$의 원소 ${\displaystyle a,b_{0},b_{1},\dots \in \Sigma }$에 대하여, 다음이 성립한다.^[2]:(1)

${\displaystyle a\land \bigvee _{i=0}^{\infty }b_{i}=\bigvee _{i=0}^{\infty }(a\land b_{i})}$

${\displaystyle a\lor \bigwedge _{i=0}^{\infty }b_{i}=\bigwedge _{i=0}^{\infty }(a\lor b_{i})}$

기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.^[3][4][5]

• ${\displaystyle |B|=\kappa }$인 완비 불 대수 ${\displaystyle B}$가 존재한다.
• ${\displaystyle |B|=\kappa }$인 시그마 대수 ${\displaystyle B}$가 존재한다.
• 만약 ${\displaystyle \kappa }$가 무한 기수라면, ${\displaystyle \kappa ^{\aleph _{0}}=\kappa }$이다. 만약 ${\displaystyle \kappa }$가 유한 기수라면, ${\displaystyle \kappa =2^{n}}$인 기수 ${\displaystyle n}$이 존재한다.

특히, 무한 시그마 대수의 크기는 항상 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ 이상이며, 가산 무한 시그마 대수는 존재하지 않는다. (직접적으로, 이는 모든 무한 불 대수는 가산 무한 반사슬을 갖는데, 가산 완비성에 따라 이 반사슬의 부분 집합들의 상한(또는 하한)들의 수는 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$이기 때문이다.)

특히, 모든 유한 시그마 대수는 (유한 불 대수이므로) 그 크기가 2의 거듭제곱이며, 어떤 유한 집합 ${\displaystyle S}$의 멱집합 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$와 동형이다.

루미스-시코르스키 표현 정리(Loomis-Sikorski表現定理, 영어: Loomis–Sikorski representation theorem)에 따르면, 임의의 (추상적) 시그마 대수 ${\displaystyle \Sigma }$에 대하여,

${\displaystyle \Sigma \cong \Sigma '/I}$

가 되는

• 집합 ${\displaystyle X}$
• 시그마 대수 ${\displaystyle \Sigma '\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$
• ${\displaystyle \Sigma '}$의 시그마 아이디얼 ${\displaystyle I\subseteq \Sigma '}$

가 존재한다.^{[1]:2.3.10[6]:167, Theorem 5.8[7]:255, Theorem XI.3[8]} 그러나 일반적으로 ${\displaystyle I=\varnothing }$이 아닐 수 있다. 즉, 멱집합의 부분 시그마 대수로 나타낼 수 없는 시그마 대수가 존재한다.

시그마 대수의 범주는 (가산 무한 개의 항을 가진 연산을 갖는) 대수 구조 다양체 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 또한 자유 시그마 대수가 존재한다.

집합 ${\displaystyle X}$의 멱집합은 완비 불 대수이므로 시그마 대수이다.

가측 공간 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$에서, ${\displaystyle \Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)}$는 정의에 따라 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$의 부분 시그마 대수이다.

측도 공간 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$에서, ${\displaystyle \mu }$-영집합들의 족

${\displaystyle \operatorname {Null} (X,\Sigma ,\mu )=\{S\in \Sigma \colon \mu (S)=0\}}$

은 ${\displaystyle \Sigma }$의 시그마 아이디얼을 이루며, ${\displaystyle \Sigma /\operatorname {Null} (X,\Sigma ,\mu )}$는 시그마 대수를 이룬다.

폐구간의 보렐 시그마 대수 ${\displaystyle \operatorname {Borel} ([0,1])}$에서, 르베그 측도가 0인 보렐 집합들의 족은 시그마 아이디얼 ${\displaystyle \operatorname {Null} ([0,1])\subseteq \operatorname {Borel} ([0,1])}$을 이룬다. 그 몫 시그마 대수 ${\displaystyle \operatorname {Borel} ([0,1])/\operatorname {Null} ([0,1])}$는 멱집합 시그마 대수의 부분 시그마 대수로 나타낼 수 없다.^{[1]:Proposition 2.3.9}

"시그마 대수"라는 이름에서, 시그마(σ)는 "가산 무한"을 뜻한다.^{[9]:Remark 1.4.13} 즉, 임의의 불 대수에서 유한 집합의 상한·하한이 존재하는 조건을 가산 집합으로 강화한 것이다.

루미스-시코르스키 표현 정리는 린 해럴드 루미스(영어: Lynn Harold Loomis, 1915~1994)^[8]와 로만 시코르스키(폴란드어: Roman Sikorski, 1925~1983)^{[10]:256, Theorem 5.3}가 증명하였다.

• “Algebra of sets”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Sigma-algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Sigma-algebra”. 《nLab》 (영어). 
• Tao, Terry. “245A, Notes 3: Integration on abstract measure spaces, and the convergence theorems”. 《What’s New》 (영어). 
• Tao, Terry. “245B notes 4: The Stone and Loomis-Sikorski representation theorems (optional)”. 《What’s New》 (영어). 
• “Definition: sigma-algebra”. 《ProofWiki》 (영어). 2013년 9월 15일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 30일에 확인함. 
• “Equivalence of definitions of sigma-algebra”. 《ProofWiki》 (영어). 2020년 12월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 30일에 확인함.