유클리드 정역

대수 구조
군 관련 범주  · 마그마  · 반군  · 모노이드  · 준군  · 아벨 군  · 위상군  · 리 군
환 관련 유사환  · 가환환  · 정역  · 데데킨트 정역  · 유일 인수 분해 정역  · 주 아이디얼 정역  · 유클리드 정역  · 위상환
체 관련 나눗셈환  · 체  · 순서체  · 대수적 수체
가군 관련 아벨 군 · 자유 가군 · 사영 가군 · 평탄 가군 · 벡터 공간
대수 관련 등급환 · 교대 대수 · 결합 대수 · 리 대수 · 요르단 대수 · 호프 대수 · 양자군
격자 관련 반격자 · 모듈러 격자 · 분배 격자 · 완비 격자 · 헤이팅 대수 · 불 대수
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유클리드 정역(Euclid整域, Euclidean domain), 또는 유클리드 환(-環, Euclidean ring)은 특수한 구조를 가지고 있어서 유클리드 호제법과 비슷한 과정이 가능한 정역을 부르는 말이다.

정역 ${\displaystyle R}$ 위의 유클리드 함수(영어: Euclidean function) ${\displaystyle f\colon R\setminus \{0\}\to \mathbb {N} }$는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.

• 임의의 ${\displaystyle a\in R}$ 및 ${\displaystyle b\in R\setminus \{0\}}$에 대하여,
  ${\displaystyle a=bq+r}$
  이며 ${\displaystyle r=0}$ 또는 ${\displaystyle f(r)<f(b)}$인 ${\displaystyle q,r\in R}$가 존재한다.

유클리드 정역은 유클리드 함수가 적어도 하나가 존재하는 정역이다.

일부 문헌에서는 유클리드 함수의 정의에 다음 조건을 추가하기도 한다.

• 임의의 ${\displaystyle a,b\in R\setminus \{0\}}$에 대하여, ${\displaystyle f(a)\leq f(ab)}$

그러나 이 조건을 추가해도 유클리드 정역의 정의는 바뀌지 않는다. 즉, (더 약한 정의에 대한) 유클리드 함수를 갖춘 정역은 항상 더 강한 정의에 대한 유클리드 함수를 갖춘다.

모든 체는 자명하게 유클리드 정역을 이루며, 모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이다. 일반적으로, 다음 포함 관계가 성립한다.

가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

• 정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$는 유클리드 정역을 이루며, 이 경우 유클리드 함수를 절댓값 ${\displaystyle |\cdot |}$으로 잡을 수 있다. 절댓값이 유클리드 함수라는 것은 나눗셈 정리의 따름정리다.
• 체 ${\displaystyle K}$ 위의 다항식환 ${\displaystyle K[x]}$는 유클리드 정역이다. 이 경우, 유클리드 함수는 다항식의 차수 ${\displaystyle \deg p\in \mathbb {N} }$이다.
• 체 ${\displaystyle K}$ 위의 형식적 거듭제곱 급수의 환 ${\displaystyle K[[x]]}$ 역시 유클리드 정역이다. 이 경우, 유클리드 함수는 형식적 거듭제곱 급의 차수 ${\displaystyle \deg p\in \mathbb {Z} }$이다.
• 가우스 정수의 환 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$은 유클리드 정역이다. 이 경우 유클리드 함수는
  ${\displaystyle f(a+bi)=a^{2}+b^{2}\in \mathbb {N} }$
  와 같이 정의할 수 있다.

다항식환 ${\displaystyle K[x]}$에서, 차수 ${\displaystyle \deg }$가 유클리드 함수를 이룬다는 사실은 다음과 같이 보일 수 있다. ${\displaystyle f,g\in K[x]}$이며, ${\displaystyle g\neq 0}$이라고 하자. 이 경우,

${\displaystyle f=gq+r}$

이며 ${\displaystyle \deg r<\deg g}$인 ${\displaystyle q,r\in K[x]}$의 존재를 보이면 된다.

집합 ${\displaystyle S\subset K[x]}$를

${\displaystyle S=\{f-gh\colon h\in K[x]\}}$

와 같이 정의하자. 자명하게, ${\displaystyle S}$가 공집합일 수는 없다. ${\displaystyle r}$를 ${\displaystyle S}$의 원소 중 차수가 제일 작은 다항식이라 하자. 그렇다면

${\displaystyle f=gq+r}$

를 만족시키는 ${\displaystyle q\in K[x]}$가 존재한다. 이제, ${\displaystyle \deg r<\deg g}$이거나 ${\displaystyle \deg r\geq \deg g}$이다. 귀류법을 사용해, ${\displaystyle \deg r\geq \deg g}$라고 가정하자.

${\displaystyle r=ax^{\deg r}+\cdots }$

${\displaystyle g=bx^{\deg g}+\cdots }$

라면,

${\displaystyle {\tilde {r}}=r-(a/b)x^{\deg r-\deg g}g\in S}$

이지만

${\displaystyle \deg {\tilde {r}}<\deg r}$

이므로 모순이다.

허수 이차 수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$의 대수적 정수환 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}}$는 유클리드 정역을 이룬다.
• 체 노름 ${\displaystyle f(a+b{\sqrt {-d}})=a^{2}+b^{2}d}$은 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}}$의 유클리드 함수이다.
• ${\displaystyle d=1,2,3,7,11}$

실수 이차 수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$의 대수적 정수환 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 체 노름의 절댓값 ${\displaystyle f(a+b{\sqrt {d}})=|a^{2}-b^{2}d|}$은 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}}$의 유클리드 함수이다.
• ${\displaystyle d=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73}$ (OEIS의 수열 A003174)

만약 ${\displaystyle d=14}$일 경우, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {14}})}}$는 체 노름이 아닌 유클리드 함수를 갖는다.

• 나눗셈 정리

• “Euclidean ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Euclidean ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “What is the Euclidean function for Z[√14]?”. 《Mathematics Stack Exchange》 (영어).