장소 (수학)

일반위상수학에서 장소(場所, 영어: locale 로케일^[*])는 위상 공간의 열린집합의 부분 순서 집합을 추상화한 구조이다. 장소의 범주의 대상은 완비 헤이팅 대수와 같지만, 장소의 사상은 헤이팅 대수의 사상과 다르다.

완비 헤이팅 대수는 완비 격자인 헤이팅 대수이다. 두 완비 헤이팅 대수 사이의 완비 헤이팅 대수 준동형(영어: complete Heyting algebra homomorphism)은 모든 만남과 이음을 보존하는 함수이다. 완비 헤이팅 대수와 완비 헤이팅 대수 준동형은 범주 ${\displaystyle \operatorname {CHey} }$를 이룬다.

두 완비 헤이팅 대수 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 사이의 틀 사상(영어: frame morphism) ${\displaystyle f\colon X\to Y}$은 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.

• 유한 만남을 보존한다. 즉, 유한 부분 집합 ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i\in I}\subseteq X}$에 대하여 ${\displaystyle \textstyle \bigwedge _{i\in I}f(x_{i})=f\left(\bigwedge _{i\in I}x_{i}\right)}$이다.
• 임의의 이음을 보존한다. 즉, 부분 집합 ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i\in I}\subseteq X}$에 대하여 ${\displaystyle \textstyle \bigvee _{i\in I}f(x_{i})=f\left(\bigvee _{i\in I}x_{i}\right)}$이다.

틀(영어: frame)은 완비 헤이팅 대수와 같다. 틀과 틀 사상은 범주 ${\displaystyle \operatorname {Frm} }$을 이룬다.

장소의 범주는 틀의 범주의 반대 범주이다.

${\displaystyle \operatorname {Loc} =\operatorname {Frm} ^{\operatorname {op} }}$

즉, 장소는 틀 또는 완비 헤이팅 대수와 같으며, 두 장소 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 사이의 장소 사상(영어: locale morphism) ${\displaystyle f\colon X\to Y}$은 반대 방향의 틀 사상 ${\displaystyle f^{\operatorname {op} }\colon Y\to X}$과 같다.

장소 ${\displaystyle L}$의 열린집합(영어: open)은 ${\displaystyle L}$의 (부분 순서 집합으로서의) 원소이다. 한원소 공간 ${\displaystyle \{\bullet \}}$은 위상 공간의 범주의 끝 대상이며, 위상 공간 ${\displaystyle X}$의 점은 한원소 공간으로부터 오는 연속 함수 ${\displaystyle f\colon \{\bullet \}\to X}$로 생각할 수 있다. 한원소 공간에 대응하는 위치 ${\displaystyle \operatorname {Open} (\{\bullet \})=\{\varnothing ,\{\bullet \}\}}$는 두 개의 원소를 갖는 불 대수이며, 장소의 범주의 끝 대상이다. 장소 ${\displaystyle L}$의 점(點, 영어: point)은 장소 사상 ${\displaystyle \operatorname {Open} (\{\bullet \})\to L}$로 정의한다. 점 ${\displaystyle p\colon \operatorname {Open} (\{\bullet \})\to L}$ 및 열린집합 ${\displaystyle U\in L}$에 대하여, ${\displaystyle p}$가 ${\displaystyle L}$에 속한다(영어: belongs to)는 것은 틀 사상 ${\displaystyle p^{\operatorname {op} }\colon L\to \operatorname {Open} (\{\bullet \})}$ 아래 ${\displaystyle p^{\operatorname {op} }\colon U\mapsto \{\bullet \}\in \operatorname {Open} (\{\bullet \}}$인 것이다.

장소 ${\displaystyle L}$의 부분 장소(영어: sublocale)는 정칙 부분 대상이다. 보다 구체적으로, ${\displaystyle L}$의 부분 장소들은 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수 ${\displaystyle \nu \colon L\to L}$와 일대일 대응한다.

• ${\displaystyle \nu (U\wedge V)=\nu (U)\vee \nu (V)}$
• ${\displaystyle U\leq j(U)}$
• (멱등성) ${\displaystyle \nu \circ \nu =\nu }$

이는 ${\displaystyle L}$ 위의 만남을 보존하는 모나드와 같다. 이러한 함수를 부분 장소의 핵(核, 영어: nucleus)이라고 한다.

부분 장소는 점들로 결정되지 않는다. 즉, 같은 점 집합을 갖는 부분 장소가 서로 다를 수 있다.

위상 공간의 경우, 조밀 집합의 교집합은 일반적으로 조밀 집합이 아니다. 그러나 장소의 경우, 조밀 부분 장소의 교차는 항상 조밀 부분 장소이며, 특히 가장 작은 조밀 부분 장소가 존재한다.^{[1][2]:40, §8.3}

장소의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Loc} }$는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.^{[2]:59, §4.3.5}

장소의 범주는 데카르트 닫힌 범주를 이루지 않는다. 장소 ${\displaystyle L}$에 대하여, 지수 대상 ${\displaystyle (-)^{L}}$이 항상 존재할 필요충분조건은 ${\displaystyle L}$이 국소 콤팩트 장소인 것이다.^[3]

점을 충분히 가지는 장소들의 쌍대곱은 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$의 쌍대곱과 일치한다.

점을 충분히 가지는 장소들의 (무한할 수 있는) 곱의 점 집합은 각 장소의 점 집합들의 곱집합과 같다. 그러나 그 위의 위상은 일반적으로 곱위상과 다르다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 그 열린집합들의 부분 순서 집합은 장소 ${\displaystyle \operatorname {Open} (X)}$를 이룬다. 또한, 위상 공간의 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 열린집합의 원상

${\displaystyle f^{-1}\colon \operatorname {Open} (Y)\to \operatorname {Open} (X)}$

${\displaystyle f^{-1}\colon U\mapsto f^{-1}(U)}$

은 역방향의 틀 사상, 즉 순방향의 장소 사상을 이루며, 이는 위상 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$에서 장소의 범주로 가는 함자

${\displaystyle \operatorname {Open} \colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Loc} }$

를 정의한다. 이 함자는 오른쪽 수반 함자

${\displaystyle \operatorname {Point} \colon \operatorname {Loc} \to \operatorname {Top} }$

${\displaystyle \operatorname {Open} \dashv \operatorname {Point} }$

를 갖는다. 이 함자 아래, 장소 ${\displaystyle L}$에 대응하는 위상 공간 ${\displaystyle \operatorname {Point} (L)}$은 집합으로서 ${\displaystyle L}$의 점들의 집합 ${\displaystyle \hom _{\operatorname {Loc} }(\operatorname {Open} (\{\bullet \}),L)}$이며, 그 위의 열린집합은 ${\displaystyle L}$의 열린집합에 속하는 점들의 집합이다.

장소 ${\displaystyle L}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle L\cong \operatorname {Open} (X)}$인 위상 공간 ${\displaystyle X}$가 존재한다. 즉, 함자 ${\displaystyle \operatorname {Open} }$의 치역(의 동형에 대한 폐포)에 속한다.
• 임의의 ${\displaystyle U,V\in L}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle U}$와 ${\displaystyle V}$가 같은 점들을 갖는다면 ${\displaystyle U=V}$이다.

이러한 장소를 점을 충분히 가지는 장소(영어: locale with enough points)라고 한다. 점을 충분히 가지는 장소들의 충만한 부분 범주를 ${\displaystyle \operatorname {ptLoc} }$로 쓰자.

사실, 위상 공간과 장소 사이의 수반 함자 ${\displaystyle \operatorname {Open} \dashv \operatorname {Point} }$는 다음과 같이 분해할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Top} {\to \atop \hookleftarrow }\operatorname {Sober} \simeq \operatorname {ptLoc} {\hookrightarrow \atop \leftarrow }\operatorname {Loc} }$

여기서

• ${\displaystyle \operatorname {Sober} }$는 차분한 공간과 연속 함수의 범주이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Sober} }$는 위상 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$의 반사 부분 범주이다. 즉, 충실충만한 포함 함자 ${\displaystyle \operatorname {Sober} \hookrightarrow \operatorname {Top} }$ 및 그 왼쪽 수반 함자가 존재한다.
• 차분한 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Sober} }$는 점을 충분히 가지는 장소의 범주 ${\displaystyle \operatorname {ptLoc} }$와 동치이다.
• ${\displaystyle \operatorname {ptLoc} }$는 장소의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Loc} }$의 쌍대 반사 부분 범주이다. 즉, 충실충만한 포함 함자 ${\displaystyle \operatorname {Sober} \hookrightarrow \operatorname {Top} }$ 및 그 오른쪽 수반 함자가 존재한다.

장소 ${\displaystyle L}$이 주어졌다고 하자. 부분 순서 집합으로서, 이는 작은 범주로 여길 수 있다. 이 위에는 다음과 같은 표준적인 그로텐디크 준위상이 존재한다.

• 열린집합 ${\displaystyle U\in L}$의 덮개는 ${\displaystyle \textstyle \bigvee _{i\in I}U_{i}=U}$인 부분 집합 ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}\subseteq L}$이다.

이에 따라, 모든 장소 ${\displaystyle L}$은 위치를 이루며, 장소 ${\displaystyle L}$위의 (집합 값의) 층들의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Sh} (L)}$는 그로텐디크 토포스를 이룬다. 위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, ${\displaystyle X}$ 위의 층의 개념은 장소 ${\displaystyle \operatorname {Open} (X)}$ 위의 층의 개념과 일치한다.

토포스와 기하학적 사상들의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Topos} }$를 생각하자. (집합론적인 문제를 무시하자.) 이 경우, 장소의 범주로부터 토포스의 범주로 가는 함자

${\displaystyle \operatorname {Sh} \colon \operatorname {Loc} \to \operatorname {Topos} }$

가 존재하며, 이는 충실충만한 함자이다.

일반위상수학에서 위상 공간에 대하여 정의되는 대부분의 성질들은 열린집합을 통해 나타낼 수 있으며, 따라서 장소에 대하여 쉽게 일반화될 수 있다. 예를 들어, 장소 ${\displaystyle L}$의 열린 덮개는 그 만남이 최대 원소를 이루는 만족시키는 부분 집합 ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}\subseteq L}$이다.

${\displaystyle \bigvee _{i\in I}U_{i}=\max L=\bigvee _{U\in L}U}$

콤팩트 장소는 모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 갖는 장소이다.

1928년에 카를 멩거(독일어: Karl Menger, 1902~1985)는 공간의 개념을 점을 사용하지 않고 정의할 수 있다는 아이디어를 제시하였다.^[4][5] 1930년대에 마셜 하비 스톤은 격자 이론을 연구하였으며, 위상 공간의 성질이 그 열린집합들의 완비 헤이팅 대수와 관련된다는 사실을 발견하였다.

샤를 에레스만과 그 제자 장 베나부(프랑스어: Jean Bénabou)는 위상 공간의 열린집합의 격자와 같은 성질을 갖는 격자 (즉, 완비 헤이팅 대수)를 "국소 격자"(프랑스어: treillis local)로 명명하였다. 클리퍼드 휴 다우커(영어: Clifford Hugh Dowker, 1912~1982)와 도나 앤셜 패퍼트 스트라우스(영어: Dona Anschel Papert Strauss)는 이를 대신하여 "틀"(영어: frame)이라는 용어를 도입하였다.^[6][7] 이후 존 이스벨(영어: John R. Isbell, 1931~2005)이 틀의 범주의 반대 범주를 지칭하는 장소(영어: locale)라는 용어를 도입하였다.^[1][7]

• Johnstone, Peter T. (1991). 〈The art of pointless thinking: a student’s guide to the category of locales〉 (PDF). Herrlich, H.; Porst, H.-E. 《Category theory at work》 (영어). Springer. 85–107쪽. 
• Johnstone, Peter T. (2001). 〈Elements of the history of locale theory〉. Aull, C. E.; Lowen, R. 《Handbook of the history of general topology》. History of Topology (영어) 3. Springer. 835-851쪽. doi:10.1007/978-94-017-0470-0_2. ISBN 978-90-481-5704-4. ISSN 1388-4336. 
• Johnstone, Peter T. (1983년 4월). 《Stone spaces》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 3. Cambridge University Press. ISBN 978-052123893-9. MR 0698074. Zbl 0499.54001. 

• “Locale”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Locale”. 《nLab》 (영어). 
  • “Loc”. 《nLab》 (영어). 
• “Frame”. 《nLab》 (영어). 
  • “Frm”. 《nLab》 (영어). 
• “Sublocale”. 《nLab》 (영어). 
• “Nucleus”. 《nLab》 (영어). 
• “Point of a locale”. 《nLab》 (영어). 
• “Frame of opens”. 《nLab》 (영어). 
• “Topological locale”. 《nLab》 (영어). 
• “Locally compact locale”. 《nLab》 (영어). 
• “Uniform locale”. 《nLab》 (영어). 
• “Measurable locale”. 《nLab》 (영어). 
• “Pointless topology”. 《nLab》 (영어). 
• “Localic topos”. 《nLab》 (영어). 
• “Locales and topology” (영어). Math Overflow.