값매김환

추상대수학에서 값매김환(-環, 영어: valuation ring) 또는 부치환(賦値環)은 정수의 환의 국소화 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$와 유사한 성질을 가지는 정역이다.

정역 ${\displaystyle D}$ 위의 값매김(영어: valuation) ${\displaystyle (\Gamma ,\leq ,\nu )}$은 다음과 같은 순서쌍이다.

• 아벨 군 ${\displaystyle \Gamma }$. 이를 값군(값群, 영어: value group)이라고 한다.
• ${\displaystyle \Gamma }$ 위의 전순서 ${\displaystyle \leq \subseteq \Gamma ^{2}}$
• 군 준동형 ${\displaystyle \nu \colon (\operatorname {Frac} D)^{\times }\to \Gamma }$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• (전순서의 병진 불변성) 임의의 ${\displaystyle g,h,k\in \Gamma }$에 대하여, ${\displaystyle g\leq h}$라면 ${\displaystyle g+k\leq h+k}$이다.
• ${\displaystyle D=\{x\in (\operatorname {Frac} D)^{\times }\colon 0\leq \nu (x)\}\cup \{0\}}$

${\displaystyle D}$가 정역이고, 그 분수체가 ${\displaystyle \operatorname {Frac} D}$이라고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 값매김환이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in \operatorname {Frac} D}$에 대하여, ${\displaystyle x=0}$이거나 ${\displaystyle x\in D}$이거나 ${\displaystyle x^{-1}\in D}$이다.
• 베주 정역이자 국소환이다.
• ${\displaystyle D}$의 아이디얼들은 포함 관계에 대하여 전순서 집합을 이룬다.
• ${\displaystyle D}$의 주 아이디얼들은 포함 관계에 대하여 전순서 집합을 이룬다.
• 임의의 ${\displaystyle a,b\in D}$에 대하여, ${\displaystyle a\mid b}$이거나 ${\displaystyle b\mid a}$이다.
• 적어도 하나 이상의 값매김을 갖는다.

임의의 값매김환 ${\displaystyle D}$에 대하여, 다음과 같은 표준적인 값매김을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \Gamma =(\operatorname {Frac} D)^{\times }/D^{\times }}$

${\displaystyle \nu \colon (\operatorname {Frac} D)^{\times }\to G}$

${\displaystyle \nu \colon x\mapsto [x]=x+D^{\times }}$

${\displaystyle [x]\leq [y]\iff xy^{-1}\in D}$

즉, 값군 ${\displaystyle G}$는 분수체 가역원군의, 정역 가역원군에 대한 몫환이며, 값매김 ${\displaystyle \nu }$는 몫환의 자연스러운 사영 준동형이며, 값군에서 양의 원소들은 ${\displaystyle (D\setminus \{0\})/D^{\times }}$이다.

또한, 통상적으로 ${\displaystyle \nu (0)=\infty }$이며, ${\displaystyle \nu (0)>\nu (a)\forall a\neq 0}$이라고 하자. 그렇다면 값매김 ${\displaystyle \nu }$는 다음과 같은 성질을 만족한다.

• ${\displaystyle \nu (ab)=\nu (a)+\nu (b)}$
• ${\displaystyle \nu (a+b)\geq \min\{\nu (a),\nu (b)\}}$
• ${\displaystyle \nu (a)=\infty }$일 필요충분조건은 ${\displaystyle a=0}$

이 가운데, 두 번째는 삼각 부등식 ${\displaystyle -|a+b|\geq -|a|-|b|}$를 강화한 것이다.

모든 값매김환은 국소환이며, 베주 정역이다.

값매김환에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 뇌터 환이다.
• 주 아이디얼 정역이다.
• 체이거나 아니면 이산 값매김환이다.

값매김 ${\displaystyle (\Gamma ,\nu )}$를 갖춘 값매김환 ${\displaystyle D}$의 아이디얼은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

값군 ${\displaystyle \Gamma }$의 선분(영어: segment)은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 ${\displaystyle \Delta \subseteq \Gamma }$이다.

• 임의의 ${\displaystyle \delta \in \Delta }$에 대하여, ${\displaystyle [-\delta ,\delta ]\subseteq \Delta }$이다. 여기서 ${\displaystyle [,]}$는 전순서에 대한 닫힌구간이다.

값군 ${\displaystyle \Gamma }$의 고립 부분군(영어: isolated subgroup)은 선분이자 부분군인 진부분 집합이다.

${\displaystyle D}$의 진 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subsetneq D}$에 대하여, 다음과 같은 함수를 생각하자.

${\displaystyle {\mathfrak {a}}\mapsto \Gamma \setminus \bigcup _{a\in {\mathfrak {a}}\setminus \{0\}}\{\nu (a),-\nu (a)\}}$

그렇다면, 이 함수는 다음과 같은 성질을 가진다.

• 이 함수는 ${\displaystyle D}$의 진 아이디얼들과, ${\displaystyle \Gamma }$의 선분들 사이의 일대일 대응을 정의한다.
• 이 함수는 ${\displaystyle D}$의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼들과, ${\displaystyle \Gamma }$의 고립 부분군들 사이의 일대일 대응을 정의한다.

원점에서 극점을 갖지 않는, 복소평면 위의 유리형 함수들의 환은 값매김환이며, 그 분수체는 모든 복소 평면 위의 유리형 함수들의 체다. 이 경우, 값매김은 원점에서의 영점의 계수 (또는 극점의 계수 × −1)이다.

${\displaystyle p}$가 임의의 소수라고 하자. 그렇다면 국소화 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$는 이산 값매김환이며, 그 분수체는 유리수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, 값매김군은 ${\displaystyle \mathbb {Z} \cong \{p^{n}\colon n\in \mathbb {Z} \}}$이다. 이 경우, 그 값매김은 ${\displaystyle \nu (p^{n}(a/b))=n}$ (${\displaystyle a,b}$는 ${\displaystyle p}$와 서로소)가 된다. 이를 p진 값매김(영어: p-adic valuation)이라고 하며, 이는 대수적 수론에서 오스트롭스키 정리에 따라 유리수체의 유한 자리들을 구성한다.

p진 정수 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$들의 가환환은 이산 값매김환이며, 그 분수체는 p진수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$다.

모든 체는 값매김환이다. 체 ${\displaystyle K}$의 경우 값매김군은 자명군이다. 자명군의 선분은 ${\displaystyle [0,0]=\{0\}}$밖에 없으며, 이는 체의 영 아이디얼에 대응한다. 자명군은 고립 부분군을 갖지 않는데, 이는 체의 소 아이디얼이 영 아이디얼밖에 없음과 대응한다.

임의의 체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 1변수 형식적 멱급수환 ${\displaystyle K[[x]]}$은 값매김환이다. 그 분수체는 형식적 로랑 급수의 체 ${\displaystyle K((x))}$이며, 그 위의 값매김은 다음과 같다.

${\displaystyle \nu \left(\sum _{i\in \mathbb {Z} }p_{i}x^{i}\right)=\min\{i\in \mathbb {Z} \colon p_{i}\neq 0\}}$

(형식적 로랑 급수의 정의에 따라 우변은 유한하다.)

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Valuation ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.