Simmetria (statistica)

L'indice più utilizzato, noto semplicemente come indice di asimmetria o skewness, è definito come

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {m_{3}}{m_{2}^{3/2}}}}$ 

tramite i momenti centrali ${\displaystyle m_{k}=E[{\bar {X}}^{k}]}$ , ossia i valori attesi delle potenze della variabile aleatoria centrata ${\displaystyle {\bar {X}}=X-E[X].}$ 

Poiché il primo momento centrale è sempre nullo ed il secondo momento centrale (la varianza) è nullo solo per le distribuzioni concentrate su un unico valore, il terzo momento centrale ${\displaystyle m_{3}}$  è quello di ordine più basso che può "sperare" di misurare l'asimmetria di una distribuzione. Inoltre il riscalamento per ${\displaystyle m_{2}^{3/2}}$  permette all'indice ${\displaystyle \gamma _{1}}$  di restare invariato per trasformazioni lineari ${\displaystyle Y=aX+b,}$  che trasformano i momenti centrali come ${\displaystyle m_{k}(aX+b)=a^{k}m_{k}(X).}$ 

Talvolta viene utilizzato al posto di ${\displaystyle \gamma _{1}}$  l'indice

${\displaystyle \beta _{1}=\gamma _{1}^{2}={\frac {m_{3}^{2}}{m_{2}^{3}}},}$ 

che tuttavia perde l'informazione sul segno dell'asimmetria.

In statistica l'indice di asimmetria calcolato su un campione osservato ${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$  di media ${\displaystyle {\bar {x}}}$  segue la formula

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}(x_{i}-{\bar {x}})^{3}}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{3/2}}}.}$ 

Il successivo momento centrale ${\displaystyle m_{4}}$  viene invece utilizzato per calcolare la curtosi (che vuole "misurare" l'allontanamento della distribuzione dalla distribuzione normale).

Ogni distribuzione simmetrica ha indice di asimmetria 0.

La somma ${\displaystyle Y=X_{1}+\ldots +X_{n}}$  di ${\displaystyle n}$  variabili aleatorie variabili indipendenti con la stessa distribuzione ha momenti centrali ${\displaystyle m_{k}(Y)=nm_{k}(X);}$  in particolare

${\displaystyle \gamma _{1}(Y)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\gamma _{1}(X).}$ 

Una convinzione sbagliata ma diffusa (e "sostenuta" da alcuni testi che la riportano come "regola indicativa") è che il segno del coefficiente ${\displaystyle \gamma _{1}}$  possa determinare le posizioni reciproche del valore atteso, della mediana e della moda (se questa è unica) di una distribuzione, in particolare che esse debbano coincidere se ${\displaystyle \gamma _{1}=0}$ .^[1]

Alcuni indici di asimmetria alternativi per un campione statistico sono stati proposti da Karl Pearson; coinvolgono la media (il valore atteso), la mediana, la moda e lo scarto quadratico medio (la radice quadrata della varianza):

• l'asimmetria di moda di Pearson

${\displaystyle {\frac {{\text{media}}-{\text{moda}}}{\text{scarto quadratico medio}}};}$ 

• il primo coefficiente di asimmetria di Pearson

${\displaystyle {\frac {3({\text{media}}-{\text{moda}})}{\text{scarto quadratico medio}}};}$ 

• il secondo coefficiente di asimmetria di Pearson

${\displaystyle {\frac {3({\text{media}}-{\text{mediana}})}{\text{scarto quadratico medio}}}.}$ 

Poiché la media e la mediana sono uniche per ogni distribuzione e coincidono per distribuzioni simmetriche, il segno del secondo coefficiente di Pearson dà informazioni sul tipo di asimmetria. Nel caso in cui il segno sia positivo, ossia la media è maggiore della mediana, il picco della distribuzione è spostato verso destra; verso sinistra se il segno è negativo.

Un altro indice di asimmetria, basato sui quantili, introdotto da Bowley e riproposto da Yule usa la formula

${\displaystyle \gamma ={\frac {(x_{(0,75)}-x_{(0,5)})-(x_{(0,5)}-x_{(0,25)})}{x_{(0,75)}-x_{(0,25)}}}={\frac {q_{1}+q_{3}-2M}{q_{3}-q_{1}}},}$ 

dove ${\displaystyle x_{(\alpha )}}$  indica il quantile di ordine ${\displaystyle \alpha }$ , ${\displaystyle q_{1}}$  e ${\displaystyle q_{3}}$  identificano rispettivamente il primo e il terzo quartile di ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle M=q_{2}}$  è la mediana della distribuzione.^[2]

Talvolta questa quantità viene generalizzata nella forma

${\displaystyle \gamma _{\alpha }={\frac {x_{(\alpha )}+x_{(1-\alpha )}-2M}{x_{(1-\alpha )}-x_{(\alpha )}}},\qquad }$  con ${\displaystyle 0\leq \alpha <0,5.}$ 

Un esempio di distribuzione non simmetrica con coefficiente di asimmetria 0 è la distribuzione discreta

${\displaystyle P(-4)={\tfrac {1}{3}},\quad P(1)={\tfrac {1}{2}},\quad P(5)={\tfrac {1}{6}},}$ 

che può essere visualizzata come il lancio di un dado le cui sei facce presentino i numeri "-4, -4, 1, 1, 1, 5".

Questa distribuzione è chiaramente non simmetrica, tuttavia ha valore atteso uguale a 0 (è centrata) e terzo momento centrale uguale a ${\displaystyle {\tfrac {-64-64+1+1+1+125}{6}}=0,}$  pertanto ha indici di asimmetria ${\displaystyle \gamma _{1}=\beta _{1}=0.}$ 

Nell'esempio la moda e la mediana non coincidono con la media, ma questo si può ottenere aggiungendo altre 4 "facce" con valore 0; in questo modo anche gli indici di Pearson diventano nulli e la distribuzione resta non simmetrica.

• Curtosi
• Momento (statistica)
• Simmetria (matematica)
• Valore atteso
• Varianza

•   Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla simmetria

• (EN) skewness, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Simmetria, su MathWorld, Wolfram Research.  

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