Momento angolare

 

Nella meccanica newtoniana il momento angolare ${\displaystyle \mathbf {L} }$  rispetto ad un polo ${\displaystyle O}$  di un punto materiale è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore che esprime la posizione ${\displaystyle \mathbf {r} }$  del punto rispetto a ${\displaystyle O}$  e il vettore quantità di moto ${\displaystyle \mathbf {p} }$ :^[4]

${\displaystyle \mathbf {L} _{O}=\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} }$ 

Il modulo di ${\displaystyle \mathbf {L} _{O}}$  è quindi definito da:^[5]

${\displaystyle \|\mathbf {L} _{O}\|=\|\mathbf {r} \|\cdot \|\mathbf {p} \|\sin {\theta }=\mathbf {p} \cdot \mathbf {b} =m\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} }$ 

La direzione di ${\displaystyle \mathbf {L} _{O}}$  è perpendicolare al piano definito da ${\displaystyle \mathbf {p} }$  e da ${\displaystyle \mathbf {r} }$  e il verso è quello di un osservatore che vede ruotare ${\displaystyle \mathbf {p} }$  in senso antiorario. Il vettore ${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {r} \sin {\theta }}$ , che rappresenta la distanza dell'asse di rotazione dalla retta su cui giace ${\displaystyle \mathbf {p} }$ , è detto braccio di ${\displaystyle \mathbf {p} }$ .

Se ${\displaystyle \mathbf {p} }$  e ${\displaystyle \mathbf {r} }$  sono tra loro perpendicolari, si ha che ${\displaystyle \sin \theta =1}$ , pertanto il momento angolare è massimo. Il momento angolare è nullo invece se la quantità di moto o il braccio sono nulli, oppure se ${\displaystyle \mathbf {p} }$  è parallelo ad ${\displaystyle \mathbf {r} }$ , in tal caso infatti ${\displaystyle \sin \theta =0}$ .

Poiché il prodotto di due variabili coniugate, ad esempio posizione e impulso, deve essere un'azione, questo ci dice che la variabile coniugata al momento angolare deve essere adimensionale: infatti è l'angolo di rotazione attorno al polo.

Si definisce momento angolare assiale rispetto a un asse ${\displaystyle {\hat {z}}}$  passante per un punto ${\displaystyle O}$  la componente ortogonale del momento angolare su un particolare asse ${\displaystyle {\hat {z}}}$ , detto asse centrale:

${\displaystyle \mathbf {L} _{\hat {z}}:=[(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )\cdot {\hat {\mathbf {z} }}]{\hat {\mathbf {n} }}}$ 

dove ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$  è un versore, vettore di lunghezza unitaria, che identifica l'asse. Il modulo sarà:

${\displaystyle L_{\hat {n}}=|\mathbf {L} _{O}|\cdot \cos \varphi =|\mathbf {r} |\cdot |\mathbf {p} |\sin \vartheta \cos \varphi =(\mathbf {p} \cdot \mathbf {b} )\cos \varphi }$ 

dove ${\displaystyle \varphi }$  è l'angolo formato dal vettore momento angolare ${\displaystyle \mathbf {L} _{O}}$  con l'asse ${\displaystyle {\hat {n}}}$ . In pratica è la proiezione ortogonale del momento angolare sull'asse ${\displaystyle {\hat {n}}}$ . Per questo il momento angolare assiale è nullo se l'angolo ${\displaystyle \varphi =\pi /2}$  e massimo quando l'asse ${\displaystyle {\hat {z}}}$  coincide con l'asse di ${\displaystyle \mathbf {L} _{O}}$ , in tal caso infatti: ${\displaystyle \varphi =0}$ .

  Lo stesso argomento in dettaglio: Primo teorema di König.

Per sistemi discreti il momento angolare totale è definito dalla somma dei singoli momenti angolari:^[6]

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {L} _{i}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}}$ 

dove ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$  è il vettore posizione del punto i-esimo rispetto all'origine, ${\displaystyle m_{i}}$  è la sua massa, e ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$  è la sua velocità. Sapendo che la massa totale di tutte le particelle è data da:

${\displaystyle m=\sum _{i}m_{i}}$ 

si ha che il centro di massa è definito da:

${\displaystyle \mathbf {r} _{\text{CM}}={\frac {1}{m}}\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}}$ 

ne consegue che la velocità lineare del centro di massa è:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\text{CM}}={\frac {1}{m}}\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}.\,}$ 

Se si definiscono ${\displaystyle \mathbf {r} '_{i}}$  il vettore posizione della particella , e ${\displaystyle \mathbf {v} '_{i}}$  la sua velocità rispetto al centro di massa, si ha:

${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{\text{CM}}+\mathbf {r} '_{i}}$  e ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}=\mathbf {v} _{\text{CM}}+\mathbf {v} '_{i}}$ 

si può vedere che:

${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {r} '_{i}=0}$    e    ${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {v} '_{i}=0}$ 

cosicché il momento angolare totale rispetto all'origine è:

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}=\left(\mathbf {r} _{\text{CM}}\times m\mathbf {v} _{\text{CM}}\right)+\sum _{i}(\mathbf {r} '_{i}\times m_{i}\mathbf {v} '_{i})=\mathbf {L} _{CM}+\mathbf {L} '_{i}}$ 

Il primo termine è semplicemente il momento angolare del centro di massa. È il medesimo momento angolare che si otterrebbe se ci fosse una sola particella di massa ${\displaystyle m}$ , posta nel centro di massa, che si muove con velocità ${\displaystyle \mathbf {v} }$ . Il secondo termine è il momento angolare delle particelle relativamente al proprio centro di massa.^[7] Nei sistemi continui si estende in modo naturale la definizione introducendo la densità ${\displaystyle \rho }$  e il campo di velocità ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {r} )}$ :

${\displaystyle \mathbf {L} =\int _{V}\rho \,\mathbf {r} \times \mathbf {v} \ \mathrm {d} V}$ 

Se le particelle formano un corpo rigido, il termine che descrive il loro momento angolare rispetto al centro di massa può essere ulteriormente semplificato. In questo caso, infatti, è possibile legare la sua espressione alla descrizione del moto rotatorio, ovvero alla velocità angolare ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$  e alla velocità areolare ${\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}}$ . Se la componente rotatoria è l'unica presente, ovvero nel caso in cui il corpo rigido si muova di moto circolare, è pari al prodotto del tensore di inerzia ${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {I} }}}}$  e della velocità angolare:

${\displaystyle \mathbf {L} ={\underline {\underline {\mathbf {I} }}}{\boldsymbol {\omega }}}$ 

oppure, analogamente, come il doppio del prodotto tra la massa totale e la velocità areolare:

${\displaystyle \mathbf {L} =2m{\dot {\mathbf {A} }}}$ 

Lo stesso risultato si ottiene se al sistema di punti materiali discreti esaminato sopra si sostituisce una distribuzione continua di massa.

  Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni cardinali della dinamica § Seconda equazione cardinale.

 

Per quanto riguarda la dinamica dei sistemi di punti materiali, il momento angolare è una caratteristica fondamentale del moto.^[8] Infatti se un punto materiale ${\displaystyle P}$  si muove con quantità di moto: ${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$ , il momento angolare del punto rispetto a un polo ${\displaystyle O}$  è dato da:

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} (t)\times \mathbf {p} (t)}$ 

se il polo ${\displaystyle O}$  è in moto con velocità ${\displaystyle \mathbf {v} _{O}}$ , allora il momento angolare varia nel tempo:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}$ 

dove:

• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}}$  rappresenta la velocità relativa del punto ${\displaystyle P}$  rispetto alla velocità di ${\displaystyle O}$ 
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}$  per il secondo principio della dinamica rappresenta la forza totale risultante.

Allora da questa relazione si ricava la seconda equazione cardinale della dinamica:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{O})\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {v} \times \mathbf {p} -\mathbf {v} _{O}\times \mathbf {p} +\mathbf {M} _{O}}$ 

essendo ${\displaystyle \mathbf {v} }$  e ${\displaystyle \mathbf {p} }$  paralleli, il loro prodotto vettoriale è nullo, dunque si ottiene:

${\displaystyle \mathbf {M} _{O}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} _{O}\times \mathbf {p} }$ 

dove ${\displaystyle \mathbf {M} _{O}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$  è il momento meccanico. Nel caso di un corpo rigido rotante, si può osservare che ${\displaystyle \mathbf {v} _{O}}$  rappresenta la velocità tangenziale del corpo rotante, pertanto si ha che:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M} -\mathbf {v} _{O}\times \mathbf {p} =\mathbf {M} -{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {M} -{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} }$ 

Nei casi in cui:

• il polo sia fermo
• il polo coincida con il centro di massa
• il polo si muova parallelamente alla traiettoria del centro di massa

allora ci si riconduce alla più familiare:^[9]

${\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}$ 

Il momento di una forza è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione del punto di applicazione della forza, e la forza stessa. Il suo modulo risulta quindi uguale al modulo della forza per il braccio. Si può dimostrare che se il polo è immobile, la derivata rispetto al tempo del momento angolare è uguale al momento delle forze applicate, cosicché se quest'ultimo momento è nullo allora il momento angolare si conserva.^[8]

Il momento angolare è importante in tutti i moti dipendenti da variazioni che riguardano variabili angolari, inoltre resta fondamentale perché nei sistemi isolati, cioè non soggetti a momenti di forze esterne, vale la legge di conservazione del momento angolare.^[10]

  Lo stesso argomento in dettaglio: Urto fra corpi rigidi.

Viene definito impulso angolare la variazione del momento angolare di un corpo che viene sottoposto ad un urto con un altro corpo. In altre parole è il momento angolare effettivamente trasmesso al momento dell'urto. Il momento angolare iniziale e finale, utili per calcolare l'impulso angolare, consistono nei momenti della quantità di moto finale e della quantità di moto iniziale.^[11] Dunque per calcolare l'impulso angolare in genere si usa misurare massa e velocità del corpo prima del contatto e trarre i dati iniziali e ripetere l'operazione dopo il contatto. Sfruttando la seconda equazione cardinale della dinamica di Eulero e la legge della cinematica di un moto circolare uniforme si ha che:

${\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}$ 

Integrando rispetto al tempo entrambi i membri si ottiene l'impulso angolare:

${\displaystyle \Delta \mathbf {L} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {M} \,\mathrm {d} t}$ 

Nello studio dei moti in campi di forze centrali, la conservazione del momento angolare è fondamentale, poiché è legata alla costanza della velocità areolare. Esempi di questo tipo si riscontrano in meccanica newtoniana, ad esempio nello studio del moto del pendolo, e in meccanica celeste, dove il momento angolare orbitale, definito come il prodotto vettoriale tra la posizione e la quantità di moto del corpo orbitante al tempo di riferimento, riveste un ruolo chiave per le leggi di Keplero e lo studio dei moti dei pianeti, infatti il momento angolare orbitale specifico rappresenta una costante vettoriale di moto di un'orbita, cioè si conserva nel tempo.^[12]

• Sergio Rosati, Fisica Generale, Milano, Casa Editrice Ambrosiana, 1990, ISBN 88-408-0368-8.
• Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Fisica - Volume I (seconda edizione), Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1.
• Gian Paolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Onori, L'Evoluzione della Fisica-Volume 1, Paravia, 2006, ISBN 978-88-395-1609-1.
• David Halliday, Robert Resnick, Fundamentals of Physics, John Wiley & Sons, 1960-2007, pp. Chapter 10.

• Momento meccanico
• Operatore momento angolare
• Momento angolare specifico
• Primo teorema di König

•   Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul momento angolare

• (EN) angular momentum, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• Momento angolare su Treccani.it, novembre 2013

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