Covarianza e controvarianza

• Affinché un vettore sia indipendente dalla base (sistema di riferimento) in cui viene ambientato è necessario che le sue componenti subiscano una trasformazione "contraria" a quella che subiscono i vettori di base ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$  quando si cambia la base. Un vettore è per questo motivo detto vettore controvariante, e le sue componenti contravariano al fine di mantenerne l'invarianza rispetto al sistema di riferimento: la trasformazione delle coordinate avviene in maniera opposta rispetto al cambio di base, il quale rappresenta la rispettiva trasformazione inversa. Esempi di vettori contravarianti sono la posizione di un oggetto relativamente ad un osservatore e le sue derivate rispetto al tempo, come la velocità e l'accelerazione.
• Affinché un vettore duale ${\displaystyle \alpha }$ , ovvero appartenente allo spazio duale dello spazio di partenza, sia indipendente dalla base in cui viene scritto è necessario che le sue componenti subiscano la stessa trasformazione dei vettori (funzioni lineari) di base ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}}$  quando si cambia la base. Un vettore duale è perciò detto vettore covariante, e le sue componenti covariano al fine di mantenerne l'invarianza rispetto al sistema di riferimento: la trasformazione delle coordinate è la stessa del cambio di base. Esempi di vettori covarianti si ottengono solitamente applicando il gradiente ad una funzione.

Se quindi il sistema di riferimento subisce una trasformazione descritta dalla matrice invertibile ${\displaystyle M}$  in modo che le coordinate ${\displaystyle \mathbf {x} }$  di un vettore diventano ${\displaystyle \mathbf {x} '=M\mathbf {x} }$ , un vettore covariante ${\displaystyle \mathbf {v} }$  si trasforma nello stesso modo, ovvero ${\displaystyle \mathbf {v} '=M\mathbf {v} }$ .

Il concetto di covarianza e controvarianza è di grande importanza nell'ambito dei tensori, oggetti matematici che sono in generale caratterizzati sia da componenti covarianti che controvarianti, e che per tale motivo sono detti avere varianza mista.

Dato uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$  con una base ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}\}}$  e il suo spazio duale ${\displaystyle V^{*}}$  con la base duale ${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{i}\}}$ , in relazione a tale dualità gli elementi di ${\displaystyle V^{*}}$  si dicono covettori in quanto sono dei funzionali lineari sullo spazio ${\displaystyle V}$  che, grazie al teorema di Riesz, possono essere "combinati" con gli elementi di ${\displaystyle V}$ , cioè i vettori, per dare uno scalare. Dopodiché i vettori e i covettori restano due oggetti distinti, definiti in spazi distinti, aventi ognuno le proprie componenti rispetto alla base data:

• le componenti del vettore ${\displaystyle \mathbf {v} }$  rispetto a ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}\}}$  vengono indicate con ${\displaystyle v^{i}}$  e si dicono componenti controvarianti;
• le componenti di una applicazione ${\displaystyle f}$  rispetto alle funzioni ${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{i}\}}$  vengono indicate con ${\displaystyle f_{i}}$  e si dicono componenti covarianti.

Sia ${\displaystyle V}$  uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo ${\displaystyle S}$ , e siano ${\displaystyle \mathbf {f} =(\mathbf {X} _{1},\dots ,\mathbf {X} _{n})}$  e ${\displaystyle \mathbf {f} '=(\mathbf {X} '_{1},\dots ,\mathbf {X} '_{n})}$  basi di ${\displaystyle V}$ . Sia il cambio di base da ${\displaystyle \mathbf {f} }$  a ${\displaystyle \mathbf {f} '}$  dato da:

${\displaystyle \mathbf {X} '_{j}=\sum _{i}a_{j}^{i}\mathbf {X} _{i}}$ 

ovvero:

${\displaystyle \mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} '=\left(\sum _{i}a_{1}^{i}\mathbf {X} _{i},\dots ,\sum _{i}a_{n}^{i}\mathbf {X} _{i}\right)=\mathbf {f} A}$ 

dove ${\displaystyle A}$  è la matrice di cambiamento di base, una matrice invertibile di dimensione ${\displaystyle n\times n}$  e di elementi ${\displaystyle a_{j}^{i}}$ .

Se in uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$  su un campo ${\displaystyle K}$  è definita una forma bilineare ${\displaystyle g:V\times V\to K}$ , allora è possibile identificare vettori con covettori. In pratica, ad un vettore ${\displaystyle \mathbf {v} }$  si associa in modo unico il covettore ${\displaystyle \alpha }$  dato da:

${\displaystyle \alpha (\mathbf {w} )=g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\qquad \forall \mathbf {w} }$ 

e tale corrispondenza è biunivoca. In questo modo si può parlare di componente covariante e componente controvariante di uno stesso vettore (covettore).

Data una base ${\displaystyle \mathbf {f} =(X_{1},\dots ,X_{n})}$  di ${\displaystyle V}$ , esiste quindi un'unica base duale ${\displaystyle \mathbf {f} ^{\sharp }=(Y^{1},\dots ,Y^{n})}$  di ${\displaystyle V}$  determinata da:

${\displaystyle Y^{i}(\mathbf {X} _{j})=\delta _{j}^{i}}$ 

dove ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$  è il delta di Kronecker. Un generico vettore ${\displaystyle \mathbf {v} }$  può essere quindi scritto come:

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i}v^{i}[\mathbf {f} ]\mathbf {X} _{i}=\mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]=\sum _{i}v_{i}[\mathbf {f} ]Y^{i}=\mathbf {f} ^{\sharp }\mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} ]}$ 

dove le componenti ${\displaystyle v^{i}[\mathbf {f} ]}$  e ${\displaystyle v_{i}[\mathbf {f} ]}$  di ${\displaystyle \mathbf {v} }$  sono rispettivamente controvarianti e covarianti rispetto a ${\displaystyle \mathbf {f} }$ . Applicando un cambio di base si ha infatti:

${\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f} A]=A^{-1}\mathbf {v} [\mathbf {f} ]\qquad \mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} A]=A^{T}\mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} ]}$ 

Un altro modo di esprimere questa complementarità è ottenuto calcolando il prodotto scalare di due vettori ${\displaystyle \mathbf {v} }$  e ${\displaystyle \mathbf {w} }$  in funzione delle componenti dei due vettori. Infatti sviluppando uno dei due vettori rispetto ad una base e l'altro rispetto alla base duale si ha:

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w_{j}\mathbf {X} _{i}\cdot Y^{j}=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w_{j}\delta _{ij}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}w_{i}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}w^{i}}$ 

La scelta della base ${\displaystyle \mathbf {f} }$  dello spazio vettoriale ${\displaystyle V}$  definisce univocamente un set di funzioni coordinate su ${\displaystyle V}$ :

${\displaystyle x^{i}[\mathbf {f} ](\mathbf {v} )=v^{i}[\mathbf {f} ]}$ 

Le coordinate su ${\displaystyle V}$  sono dunque controvarianti:

${\displaystyle x^{i}[\mathbf {f} A]=\sum _{k=1}^{n}{\tilde {a}}_{k}^{i}x^{k}[\mathbf {f} ]}$ 

Un sistema di n quantità ${\displaystyle v^{i}}$  che si trasformano come le coordinate ${\displaystyle x^{i}}$  su ${\displaystyle V}$  definisce un vettore controvariante, mentre un sistema che trasforma in maniera opposta è un vettore covariante.

Data una varietà, dati i vettori tangenti e cotangenti alla varietà in un punto nel quale si definisce un sistema di coordinate locale ${\displaystyle x^{i}}$ , gli assi di riferimento per tale sistema sono i campi vettoriali:

${\displaystyle X_{1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\dots ,X_{n}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}}$ 

che danno luogo al sistema di riferimento ${\displaystyle \mathbf {f} =(X_{1},\dots ,X_{n})}$ , che può essere definito in ogni punto della superficie.

Se si considera un differente sistema di coordinate, con base ${\displaystyle \mathbf {f} '}$  data da:

${\displaystyle Y_{1}={\frac {\partial }{\partial y^{1}}},\dots ,Y_{n}={\frac {\partial }{\partial y^{n}}}}$ 

allora il sistema ${\displaystyle \mathbf {f} }$  è connesso a ${\displaystyle \mathbf {f} '}$  dall'inversa della Jacobiana ${\displaystyle J}$ :

${\displaystyle \mathbf {f} '=\mathbf {f} J^{-1}\qquad J=\left({\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}\right)_{i,j=1}^{n}}$ 

ovvero:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y^{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial x^{j}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}}$ 

Un vettore tangente è una combinazione lineare delle coordinate parziali ${\displaystyle \partial /\partial x^{i}}$ , ed è quindi definito come:

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}v^{i}[\mathbf {f} ]\mathbf {X} _{i}=\mathbf {f} \ \mathbf {v} [\mathbf {f} ]}$ 

Tale vettore è controvariante rispetto al cambio di sistema di riferimento, e rispetto al cambio di coordinate si ha:

${\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f} ']=\mathbf {v} [\mathbf {f} J^{-1}]=J\,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]}$ 

Dunque le componenti del vettore tangente si trasformano secondo la legge:

${\displaystyle v^{i}[\mathbf {f} ']=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}v^{j}[\mathbf {f} ]}$ 

Un sistema di n quantità ${\displaystyle v^{i}}$  che dipendono da coordinate che si trasformano in tale maniera è un vettore controvariante.

La combinazione di due serie "complementari" di oggetti, una covariante ed una controvariante, è definita dalla relazione:

${\displaystyle C=\sum _{i=1}^{n}A_{i}B^{i}=\sum _{i=1}^{n}A^{i}B_{i}}$ 

dove C è un oggetto che è definito in modo indipendente dalla scelta della base. Gli indici delle due serie che vengono combinate possono essere inoltre scambiati, spostando all'apice quelli che erano al pedice e viceversa, e ancora si ottiene lo stesso risultato. Inoltre, combinando indici all'apice e al pedice si ha una "eliminazione" dell'indice, propriamente detta contrazione. Se si ha un prodotto scalare, che corrisponde geometricamente ad una proiezione ortogonale, allora il prodotto con indici all'apice produce indici all'apice e il prodotto con indici al pedice produce indici al pedice.

Nel caso in cui la serie che viene combinata sia una base di vettori, per spostare gli indici dal pedice all'apice e viceversa (operazioni dette di innalzamento e abbassamento degli indici) è necessario costruire la base duale della base considerata.

Invece se la serie che viene combinata è costituita dalle componenti di un vettore, allora per alzare ed abbassare gli indici è necessario ricavare le componenti controvarianti da quelle covarianti e viceversa:

${\displaystyle v^{k}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{k}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}\mathbf {e} ^{i}\cdot e^{k}\qquad v_{k}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{k}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}\mathbf {e} _{i}\cdot e_{k}}$ 

Introducendo due matrici complementari di componenti:

${\displaystyle g_{ik}\equiv \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{k}\qquad g^{ik}\equiv \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{k}}$ 

le precedenti relazioni diventano:

${\displaystyle v^{k}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{k}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}g^{ik}\qquad v_{k}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{k}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}g_{ik}}$ 

Le matrici ${\displaystyle g_{ik}}$  e ${\displaystyle g^{ik}}$  sono le matrici che rappresentano il prodotto scalare dei vettori, e permettono il passaggio dalla formulazione covariante e controvariante di un vettore.

• Artin, Emil, Geometric Algebra, New York, Wiley, 1957, ISBN 0-471-60839-4. See Chapter III for the orthogonal groups O(p,q).
• Carmeli, Moshe, Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field, McGraw-Hill, New York, 1977, ISBN 0-07-009986-3. A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group.
• Frankel, Theodore, The Geometry of Physics (2nd Ed.), Cambridge, Cambridge University Press, 2004, ISBN 0-521-53927-7. An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
• Hall, G. S., Symmetries and Curvature Structure in General Relativity, Singapore, World Scientific, 2004, ISBN 981-02-1051-5. See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
• Hatcher, Allen, Algebraic topology, Cambridge, Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-79540-0. See also the online version, su pi.math.cornell.edu. URL consultato il 3 luglio 2005. See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.
• Naber, Gregory, The Geometry of Minkowski Spacetime, New York, Springer-Verlag, 1992, ISBN 0-486-43235-1, (Dover reprint edition). An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
• Needham, Tristam, Visual Complex Analysis, Oxford, Oxford University Press, 1997, ISBN 0-19-853446-9. See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.

• Base duale
• Coordinate di un vettore
• Covarianza generale
• Funzionale lineare
• Matrice di cambiamento di base
• Sistema di riferimento
• Spazio duale
• Spazio euclideo
• Spazio vettoriale
• Tensore
• Teorema di rappresentazione di Riesz
• Covarianza di Lorentz

• (EN) I.Kh. Sabitov, Covariant tensor, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) I.Kh. Sabitov, Contravariant tensor, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) I.Kh. Sabitov, Covariant vector, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) M.I. Voitsekhovskii, Contravariant vector, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Invariance, Contravariance, and Covariance, su mathpages.com.

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