Forma bilineare

Siano ${\displaystyle V}$  e ${\displaystyle W}$  spazi vettoriali su ${\displaystyle K}$  e ${\displaystyle V\times W}$  il loro prodotto cartesiano. Una forma bilineare sul campo ${\displaystyle K}$  è una mappa

${\displaystyle \phi :V\times W\to K}$ 

che associa ad ogni coppia di elementi ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$  e ${\displaystyle \mathbf {w} \in W}$  lo scalare ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\in K}$  ed è lineare su entrambe le componenti, cioè:^[1]

${\displaystyle \phi (\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2},\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {v} _{1},\mathbf {w} )+\phi (\mathbf {v} _{2},\mathbf {w} )\qquad \forall \ \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in V\quad \forall \ \mathbf {w} \in W}$ 

${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{1}+\mathbf {w} _{2})=\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{1})+\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{2})\qquad \forall \ \mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}\in W\quad \forall \ \mathbf {v} \in V}$ 

${\displaystyle \phi (a\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {v} ,a\mathbf {w} )=a\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\qquad \forall \ \mathbf {v} \in V\quad \forall \ \mathbf {w} \in W\quad \forall \ a\in K}$ 

Fissato uno dei due argomenti, la funzione è lineare rispetto all'altro.

Se ${\displaystyle V}$  e ${\displaystyle W}$  coincidono, la forma si dice bilineare su ${\displaystyle V}$  (o su ${\displaystyle W}$ ).^[2]

Se ${\displaystyle V}$  ha dimensione n finita, ogni forma bilineare ${\displaystyle \phi }$  su ${\displaystyle V}$  può essere rappresentata come una matrice quadrata con n righe. Come per le applicazioni lineari, per fare ciò è necessario scegliere una base ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}\}}$  per ${\displaystyle V}$ , in quanto la matrice risultante dipende dalla base scelta.

La matrice ${\displaystyle B}$  è definita per componenti da:

${\displaystyle b_{ij}=\phi (\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j})}$ 

L'azione della forma bilineare su due vettori ${\displaystyle \mathbf {u} }$  e ${\displaystyle \mathbf {w} }$  di ${\displaystyle V}$  si ricava nel modo seguente, tramite moltiplicazione tra matrici:

${\displaystyle \phi (\mathbf {u} ,\mathbf {w} )=\mathbf {\mathbf {u} } ^{T}\mathbf {B\mathbf {w} } =\sum _{i,j=1}^{n}b_{ij}u_{i}w_{j}}$ 

dove ${\displaystyle u_{i}}$  e ${\displaystyle w_{j}}$  sono le coordinate di ${\displaystyle \mathbf {u} }$  e ${\displaystyle \mathbf {w} }$  rispetto alla base.

Ogni forma bilineare ${\displaystyle \phi }$  su ${\displaystyle V}$  definisce una coppia di mappe lineari da ${\displaystyle V}$  nel suo spazio duale ${\displaystyle V^{*}}$ . Si definiscano nel modo seguente:

${\displaystyle \phi _{1}:V\to V^{*}\qquad \phi _{1}(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$ 

${\displaystyle \phi _{2}:V\to V^{*}\qquad \phi _{2}(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {v} )}$ 

In altre parole, ${\displaystyle \phi _{1}(\mathbf {v} )}$  è l'elemento di ${\displaystyle V^{*}}$  che manda ${\displaystyle \mathbf {w} }$  in ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$ .

Per denotare la posizione dell'argomento nella mappa lineare risultante, si usa la notazione:

${\displaystyle \phi _{1}(\mathbf {v} )=\phi (\mathbf {v} ,\cdot )}$ 

${\displaystyle \phi _{2}(\mathbf {v} )=\phi (\cdot ,\mathbf {v} )}$ 

Ogni mappa lineare ${\displaystyle T:V\to V^{*}}$  definisce analogamente una funzione bilineare:

${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=T(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )\ }$ 

Una forma bilineare ${\displaystyle \phi :V\times V\to K}$  è detta simmetrica se:^[3]

${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {v} )\ }$ 

per ogni ${\displaystyle \mathbf {v} }$  e ${\displaystyle \mathbf {w} }$  in ${\displaystyle V}$ . È invece detta antisimmetrica o alternante se:

${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=-\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {v} )\ }$ .

Una forma bilineare ${\displaystyle \phi }$  è simmetrica se e solo se la matrice associata ${\displaystyle B}$  (rispetto ad una base qualsiasi) è simmetrica, ed è antisimmetrica se e solo se la matrice associata è antisimmetrica.

Se la forma bilineare è simmetrica, le due mappe ${\displaystyle \phi _{1}}$  e ${\displaystyle \phi _{2}}$  definite sopra coincidono.

Se ${\displaystyle K}$  non ha caratteristica 2, allora una caratterizzazione equivalente di una forma antisimmetrica è:

${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=0}$ 

per ogni ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ . In caso contrario, la condizione precedente è solo sufficiente.

  Lo stesso argomento in dettaglio: Prodotto scalare.

Una forma bilineare simmetrica è spesso chiamata prodotto scalare.^[3] Altri autori definiscono invece il prodotto scalare come una forma bilineare simmetrica a valori nel campo ${\displaystyle \mathbb {R} }$  dei numeri reali che sia definita positiva, ovvero con ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )>0}$  per ogni ${\displaystyle \mathbf {v} }$  diverso da zero, e ${\displaystyle \phi (\mathbf {0} ,\mathbf {0} )=0}$ .

Una forma bilineare ${\displaystyle \phi }$  definita su uno spazio ${\displaystyle V}$  di dimensione finita è degenere se la matrice ${\displaystyle B}$  che la rappresenta rispetto ad una base ha determinante nullo. Altrimenti, è detta non degenere. La definizione non dipende dalla base scelta per rappresentare la forma come matrice.

I fatti seguenti sono equivalenti:

• La forma bilineare ${\displaystyle \phi }$  è degenere.
• Esiste un vettore ${\displaystyle \mathbf {v} }$  non nullo tale che ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0}$  per ogni ${\displaystyle \mathbf {w} }$ .
• Esiste un vettore ${\displaystyle \mathbf {w} }$  non nullo tale che ${\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0}$  per ogni ${\displaystyle \mathbf {v} }$ .

• Il prodotto scalare canonico fra vettori del piano o dello spazio euclideo è una forma bilineare simmetrica.
• Sia ${\displaystyle C[0,1]}$  lo spazio vettoriale delle funzioni continue sull'intervallo ${\displaystyle [0,1]}$ , a valori reali. Un esempio di forma bilineare simmetrica definita su ${\displaystyle C[0,1]}$  è data da:

${\displaystyle \phi (f,g)=\int _{0}^{1}f(x)g(x)dx}$ 

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.

• Forma quadratica
• Forma sesquilineare
• Prodotto scalare
• Spazio duale
• Trasformazione lineare

•   Wikiversità contiene risorse sulla forma bilineare
•   Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla forma bilineare

• (EN) Eric W. Weisstein, Forma bilineare, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) Forma bilineare, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.  

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica