Συνδιακύμανση και αντιδιακύμανση διανυσμάτων

Στη γραμμική άλγεβρα και στην ανάλυση τανυστών η συνδιακύμανση και η αντιδιακύμανση περιγράφουν πώς αλλάζει η ποσοτική περιγραφή συγκεκριμένων γεωμετρικών ή φυσικών μεγεθών με αλλαγή της βάσης. Στη Φυσική κάποιες φορές μια βάση θεωρείται ένα σύστημα αξόνων. Μια αλλαγή της κλίμακας στους άξονες αναφοράς αντιστοιχεί σε μια αλλαγή των μονάδων στο πρόβλημα. Για παράδειγμα, αλλάζοντας την κλίμακα από μέτρα σε εκατοστά (δηλαδή διαιρώντας την κλίμακα των αξόνων αναφοράς με το 100) τα στοιχεία μιας μετρούμενης ταχύτητας διανύσματος θα πολλαπλασιαστούν με το 100. Τα διανύσματα παρουσιάζουν αυτήν την συμπεριφορά της αλλαγής κλίμακας αντίστροφα με τις αλλαγές των κλιμάκων των αξόνων αναφοράς: είναι αντιδιακυμενόμενα. Ως αποτέλεσμα, τα διανύσματα συχνά έχουν μονάδες απόστασης ή την απόσταση πολλαπλασιαζόμενη με μια άλλη μονάδα (όπως η ταχύτητα).

Αντίθετα, τα διπλά διανύσματα τυπικά έχουν μονάδες αντίστροφες τις απόστασης ή το αντίστροφο της απόστασης πολλαπλασιαζόμενο με μια άλλη μονάδα. Ένα παράδειγμα ενός διπλού διανύσματος είναι η παράγωγος η οποία έχει μονάδες χωρικής παραγώγου ή απόσταση⁻¹. Τα στοιχεία των διπλών διανυσμάτων αλλάζουν όμοια με τις αλλαγές των κλιμάκων των αξόνων αναφοράς: είναι συνδιακύμενα. Τα στοιχεία των διανυσμάτων και των διπλών διανυσμάτων επίσης μεταλλάσσονται με τον ίδιο τρόπο υπό γενικότερες αλλαγές βάσης.

• Ένα διάνυσμα (όπως ένα προσανατολισμένο διάνυσμα ή ένα διάνυσμα ταχύτητας), για να είναι ανεξάρτητο βάσης, τα στοιχεία του διανύσματος θα πρέπει να αντιδιακυμαίνονται με μια αλλαγή βάσης. Δηλαδή ο πίνακας που μετατρέπει τα διανύσματα των στοιχείων πρέπει να είναι αντίστροφος από τον πίνακα που μετατρέπει τα διανύσματα της βάσης. Τα στοιχεία των διανυσμάτων (αντίθετα με αυτά των διπλών διανυσμάτων) λέγονται αντιδιακύμενα. Παραδείγματα διανυσμάτων με αντίστροφα στοιχεία περιλαμβάνουν τη θέση ενός αντικειμένου αναφορικά με έναν παρατηρητή ή οποιαδήποτε παράγωγο της απόστασης σε σχέση με τον χρόνο, περιλαμβάνοντας την ταχύτητα, την επιτάχυνση και την κίνηση. Στην σημειογραφεία του Αϊνστάιν, τα αντιδιακύμενα στοιχεία συμβολίζονται με άνω δείκτες όπως στο

  ${\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}.}$

• Ένα διπλό διάνυσμα, για να είναι ανεξάρτητο βάσης, θα πρέπει τα στοιχεία τού διπλού διανύσματος να συνδιακυμαίνονται με μια αλλαγή βάσης, ώστε να αναπαριστούν το ίδιο διπλό διάνυσμα. Δηλαδή τα στοιχεία πρέπει να μετατρέπονται από πίνακα ίδιο με αυτόν της αλλαγής της βάσης. Τα στοιχεία των διπλών διανυσμάτων (αντίθετα με αυτά των απλών διανυσμάτων) λέγονται συνδιακύμενα. Παραδείγματα συνδιακυμένων διανυσμάτων γενικά εμφανίζονται, όταν παίρνουμε την παράγωγο μιας συνάρτησης. Στην σημειογραφία του Αϊνστάιν, τα συνδιακύμενα στοιχεία συμβολίζονται με κάτω δείκτες όπως στο

• ${\displaystyle \mathbf {v} =v_{i}\mathbf {e} ^{i}.}$

Καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων, όπως κυλινδρικές ή σφαιρικές συντεταγμένες, χρησιμοποιούνται συχνά σε γεωμετρικά προβλήματα και προβλήματα φυσικής. Σε σύνδεση με κάθε σύστημα συντεταγμένων είναι μία φυσική επιλογή της βάσης των συντεταγμένων για διανύσματα που βασίζονται σε κάθε σημείο του χώρου και η συνδιακύμανση και η αντιδιακύμανση είναι ιδιαίτερα σημαντικές, για να καταλάβουμε πώς αλλάζει η περιγραφή των συντεταγμένων ενός διανύσματος, καθώς μεταπηδούμε από το ένα σύστημα συντεταγμένων στο άλλο.

Οι όροι συνδιακύμανση και αντιδιακύμανση εισήχθησαν από τον James Joseph Sylvester το 1853 με σκοπό να μελετήσει την αλγεβρική αμετάβλητη θεωρία. Στο πλαίσιο αυτό, για παράδειγμα, ένα σύστημα ταυτόχρονων εξισώσεων είναι αντιδιακύμενο στις μεταβλητές. Οι πίνακες είναι αντικείμενα στην γραμμική άλγεβρα που μπορούν να έχουν απόψεις συνδιακύμανσης και αντιδιακύμανσης. Η χρήση και των δυο όρων στο σύγχρονο πλαίσιο της γραμμικής άλγεβρας είναι ένα συγκεκριμένο παράδειγμα αντίστοιχων εικόνων στη θεωρία κατηγοριών.

Στη Φυσική, ένα διάνυσμα συνήθως προκύπτει ως αποτέλεσμα μιας μέτρησης ή σειράς μετρήσεων και αναπαρίσταται ως λίστα (ή πλειάδα) αριθμών, όπως

${\displaystyle (v_{1},v_{2},v_{3}).\,}$

Οι αριθμοί στη λίστα εξαρτώνται από την επιλογή του συστήματος συντεταγμένων. Για παράδειγμα, αν ένα διάνυσμα αναπαριστά κίνηση σε σχέση με έναν παρατηρητή (διάνυσμα θέσης), τότε το σύστημα συντεταγμένων μπορεί να ληφθεί από ένα σύστημα άκαμπτων ράβδων ή αξόνων αναφοράς κατά μήκος των οποίων τα στοιχεία v₁, v₂, και v₃ μετριούνται. Ένα διάνυσμα για να αναπαριστά ένα γεωμετρικό αντικείμενο θα πρέπει να είναι δυνατό να περιγράψει πώς είναι σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα συντεταγμένων. Δηλαδή, τα στοιχεία των διανυσμάτων μετατρέπονται με ένα συγκεκριμένο τρόπο με το πέρασμα από το ένα σύστημα συντεταγμένων στο άλλο.

Ένα αντιδιακύμενο διάνυσμα έχει στοιχεία που μετατρέπονται εν σχέση με τις συντεταγμένες υπό την αλλαγή των συντεταγμένων (και αντίστροφα με την μετατροπή των αξόνων αναφοράς) περιλαμβάνοντας την περιστροφή και την διαστολή. Το ίδιο το διάνυσμα δεν αλλάζει υπό αυτές τις λειτουργίες: αντίθετα, τα στοιχεία ενός διανύσματος κάνουν αλλαγές που ακυρώνουν την αλλαγή χωρικών αξόνων με τον ίδιο τρόπο που αλλάζουν οι συντεταγμένες. Με άλλα λόγια, αν οι άξονες αναφοράς περιστραφούν κατά μια κατεύθυνση, η αναπαράσταση των στοιχείων του διανύσματος θα περιστραφεί κατά τον αντίθετο τρόπο. Όμοια αν οι άξονες αναφοράς τεντωθούν κατά μια κατεύθυνση, τα στοιχεία ενός διανύσματος, όπως οι συντεταγμένες, θα μειωθούν με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Από μαθηματική άποψη, αν το σύστημα συντεταγμένων υποστεί μια μετατροπή που περιγράφεται από έναν αντιστρέψιμο πίνακα M, έτσι ώστε ένα συντεταγμένο διάνυσμα x να μετατρέπεται σε x′ = Mx, τότε ένα αντιδιακύμενο διάνυσμα v πρέπει να μετατραπεί όμοια μέσω του v′ = Mv. Αυτή η σημαντική απαίτηση είναι αυτό που διακρίνει ένα αντιδιακύμενο διάνυσμα από οποιαδήποτε άλλη τριάδα φυσικών σημαντικών μεγεθών. Για παράδειγμα, αν το v αποτελείται από τα στοιχεία x, y, και z της ταχύτητας, τότε το v είναι ένα αντιδιακύμενο διάνυσμα: αν οι συντεταγμένες του χώρου τεντωθούν, περιστραφούν ή στρίψουν, τότε τα στοιχεία της ταχύτητας μετατρέπονται κατά τον ίδιο τρόπο. Παραδείγματα αντιδιακύμενων διανυσμάτων περιλαμβάνουν τη μετατόπιση, την ταχύτητα, την επιτάχυνση. Από την άλλη πλευρά, για παράδειγμα, μια τριάδα αποτελούμενη από το μήκος, το πλάτος και το ύψος ενός ορθογώνιου κουτιού θα μπορούσε να αποτελέσει τα τρία στοιχεία ενός αφηρημένου διανύσματος, αλλά αυτό το διάνυσμα δε θα ήταν αντιδιακύμενο, από τη στιγμή που μια αλλαγή συντεταγμένων του χώρου δεν αλλάζει το μήκος, το πλάτος και το ύψος του κουτιού: αντίθετα, αυτά είναι βαθμωτά. Από την άλλη , ένα συνδιακύμενο διάνυσμα έχει στοιχεία που αλλάζουν αντίθετα με τις συντεταγμένες ή, ισοδύναμα, μετατρέπονται όπως οι άξονες αναφοράς. Για παράδειγμα, τα στοιχεία ενός παράγωγου διανύσματος μιας συνάρτησης

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{1}}}{\widehat {x}}^{1}+{\frac {\partial f}{\partial x^{2}}}{\widehat {x}}^{2}+{\frac {\partial f}{\partial x^{3}}}{\widehat {x}}^{3}}$

μετατρέπονται όπως οι ίδιοι οι άξονες αναφοράς. Όταν συμβαίνουν μόνο περιστροφές αξόνων, τα στοιχεία των αντιδιακύμενων και συνδιακύμενων διανυσμάτων συμπεριφέρονται με τον ίδιο τρόπο. Μόνο όταν οι μετατροπές επιτρέπονται, τότε η διαφορά γίνεται εμφανής.

Ο γενικός τύπος της συνδιακύμανσης και της αντιδιακύμανσης αναφέρεται στο πώς τα στοιχεία ενός συντεταγμένου διανύσματος κάτω από μια αλλαγή βάσης (παθητική μετατροπή). Έτσι, έστω V ένας διανυσματικός χώρος διαστάσεων n πάνω από ένα πεδίο βαθμωτών S και έστω ότι καθένα από τα f = (X₁,...,X_n) και f' = (Y₁,...,Y_n) είναι μια βάση του V. Επίσης έστω η αλλαγή βάσης από το f στο f′ να δίνεται από τον τύπο

${\displaystyle \mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} '=\left(\sum _{i}a_{1}^{i}X_{i},\dots ,\sum _{i}a_{n}^{i}X_{i}\right)=\mathbf {f} A}$

(1)

για κάποιον αντιστρέψιμο πίνακα A με εισόδους ${\displaystyle a_{j}^{i}}$. Εδώ κάθε διάνυσμα Y_j της f' βάσης είναι γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων X_i της f βάσης έτσι ώστε

${\displaystyle Y_{j}=\sum _{i}a_{j}^{i}X_{i}.}$

Η επιλογή της βάσης f στον διανυσματικό χώρο V ένα σύνολο συναρτήσεων με συντεταγμένες στον V μέσω

${\displaystyle x^{i}[\mathbf {f} ](v)=v^{i}[\mathbf {f} ].}$

Οι συντεταγμένες στον V είναι επομένως αντιδιακύμενες με την έννοια ότι

${\displaystyle x^{i}[\mathbf {f} A]=\sum _{k=1}^{n}{\tilde {a}}_{k}^{i}x^{k}[\mathbf {f} ].}$

Αντίθετα, ένα σύστημα n ποσοτήτων vⁱ που μετατρέπεται όπως οι συντεταγμένες xⁱ στον V ορίζει ένα αντιδιανυσματικό διάνυσμα. Ένα σύστημα n ποσοτήτων που μετατρέπεται αντίθετα στις συντεταγμένες είναι ένα συνδιανυσματικό διάνυσμα.

Αυτός ο ορισμός της αντιδιακύμανσης και της συνδιακύμανσης είναι συχνά πιο φυσικός σε εφαρμογές όπου υπάρχει χώρος συντεταγμένων στον οποίο τα διανύσματα είναι εφαπτόμενα ή συνεφαπτόμενα. Δοθέντος ενός πολλαπλού xⁱ οι άξονες αναφοράς για το σύστημα συντεταγμένων είναι τα διανυσματικά πεδία.

${\displaystyle X_{1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\dots ,X_{n}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}.}$

Αυτό δημιουργεί το πλαίσιο f = (X₁,...,X_n) σε κάθε σημείο του συντεταγμένου χωρίου.

Αν yⁱ είναι ένα διαφορετικό σύστημα συντεταγμένων και

${\displaystyle Y_{1}={\frac {\partial }{\partial y^{1}}},\dots ,Y_{n}={\frac {\partial }{\partial y^{n}}},}$

τότε το πλαίσιο f' σχετίζεται με το πλαίσιο f με τον αντίστροφο πίνακα Τζακόμπιαν της μετάβασης συντεταγμένων:

${\displaystyle \mathbf {f} '=\mathbf {f} J^{-1},\quad J=\left({\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}\right)_{i,j=1}^{n}.}$

Ή, σε δείκτες,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y^{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial x^{j}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}.}$

Εξ ορισμού ένα εφαπτόμενο διάνυσμα είναι γραμμικός συνδυασμός των μερικών συντεταγμένων ${\displaystyle \partial /\partial x^{i}}$. Έτσι, ένα εφαπτόμενο διάνυσμα ορίζεται από

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}[\mathbf {f} ]X_{i}=\mathbf {f} \ \mathbf {v} [\mathbf {f} ].}$

Ένα τέτοιο διάνυσμα είναι αντιδιακύμενο σε σχέση με τον χρόνο του πλαισίου. Κάτω από τις αλλαγές του συστήματος συντεταγμένων, έχει

${\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f} ']=\mathbf {v} [\mathbf {f} J^{-1}]=J\,\mathbf {v} [\mathbf {f} ].}$

Επομένως, τα στοιχεία ενός εφαπτόμενου διανύσματος μετατρέπονται μέσω

${\displaystyle v^{i}[\mathbf {f} ']=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}v^{j}[\mathbf {f} ].}$

Κατά συνέπεια, ένα σύστημα n ποσοτήτων vⁱ που εξαρτάται από τις συντεταγμένες που μετατρέπονται με αυτόν τον τρόπο περνώντας από το ένα σύστημα συντεταγμένων στο άλλο λέγεται αντιδιακύμενο διάνυσμα.

Σε έναν διανυσματικό χώρο V πάνω από ένα πεδίο K με μια διγραμμική μορφή g : V × V → K (η οποία μπορεί να αναφέρεται ως γραμμικός τανυστής), υπάρχει μικρή διάκριση μεταξύ συνδιακύμενων και αντιδιακύμενων διανυσμάτων, επειδή η διγραμμική μορφή επιτρέπει στα διπλά διανύσματα να ταυτίζονται με απλά διανύσματα. Δηλαδή, ένα διάνυσμα v καθορίζει μοναδικά ένα διπλό διάνυσμα α μέσω

${\displaystyle \alpha (w)=g(v,w)}$

για όλα τα διανύσματα w. Αντίστροφα, κάθε διπλό διάνυσμα α καθορίζει μοναδικό διάνυσμα V από αυτή την εξίσωση. Λόγω αυτής της ταυτοποίησης των διανυσμάτων με τα διπλά διανύσματα κάποιος μπορεί να μιλήσει για συνδιακύμενα στοιχεία ή αντιδιακύμενα στοιχεία ενός διανύσματος, δηλαδή είναι απλώς αναπαραστάσεις του ίδιου διανύσματος με τη χρήση αμοιβαίων βάσεων.

Δοθείσας μιας βάσης f = (X₁,...,X_n) του V, υπάρχει αμοιβαία βάση f^# = (Y¹,...,Yⁿ) του V καθοριζόμενη από την ανάγκη ότι πρέπει να ισχύει

${\displaystyle Y^{i}(X_{j})=\delta _{j}^{i}.}$

Στο πλαίσιο αυτών των βάσεων, κάθε διάνυσμα V μπορεί να γραφεί με δύο τρόπους:

${\displaystyle {\begin{aligned}v&=\sum _{i}v^{i}[\mathbf {f} ]X_{i}=\mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]\\&=\sum _{i}v_{i}[\mathbf {f} ]Y^{i}=\mathbf {f} ^{\sharp }\mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} ].\end{aligned}}}$

Τα στοιχεία vⁱ[f] είναι τα αντιδιακύμενα στοιχεία του διανύσματος v στην βάση f και τα στοιχεία v_i[f] είναι τα συνδιακύμενα στοιχεία του v στην βάση f. Η ορολογία δικαιολογείται, επειδή κάτω από μια αλλαγή της βάσης

${\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f} A]=A^{-1}\mathbf {v} [\mathbf {f} ],\quad \mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} A]=A^{T}\mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} ].}$

Στο ευκλείδειο επίπεδο το εξωτερικό γινόμενο επιτρέπει στα διανύσματα να ταυτοποιούνται με τα διπλά διανύσματα. Αν ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}}$ είναι μια βάση, τότε η διπλή βάση ${\textstyle \mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}}$ ικανοποιεί

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} ^{1}\cdot \mathbf {e} _{1}=1,&\quad \mathbf {e} ^{1}\cdot \mathbf {e} _{2}=0\\\mathbf {e} ^{2}\cdot \mathbf {e} _{1}=0,&\quad \mathbf {e} ^{2}\cdot \mathbf {e} _{2}=1.\end{aligned}}}$

Έτσι, τα e¹ και e₂ είναι κάθετα, όπως και τα e² και e₁, και τα μήκη των e¹ και e² ομαλοποιημένα έναντι των e₁ και e₂, αντίστοιχα.

Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται μια βάση e₁, e₂ αποτελούμενη από ένα ζεύγος διανυσμάτων που σχηματίζουν γωνία 45° μεταξύ τους έτσι ώστε e₁ έχει μήκος 2 και e₂ έχει μήκος 1. Τότε διανύσματα διπλής βάσης δίνονται ως:

• e² είναι το αποτέλεσμα της περιστροφής του e₁ κατά 90° , και στη συνέχεια ανακατασκευάζουμε έτσι ώστε να ισχύει e²•e₂ = 1.
• e¹ είναι το αποτέλεσμα της περιστροφής του e₂ κατά 90° , και στη συνέχεια ανακατασκευάζουμε έτσι ώστε να ισχύει e¹•e₁ = 1.

Εφαρμόζοντας αυτούς τους κανόνες βρίσκουμε

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {1}{2}}\mathbf {e} _{1}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{2}}$

και

${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{1}+2\mathbf {e} _{2}.}$

Έτσι, η αλλαγή από τον πίνακα βάσης από την αρχική βάση στην αμοιβαία είναι

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}1/2&-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}&2\end{bmatrix}},}$

αφού

${\displaystyle [\mathbf {e} ^{1}\ \mathbf {e} ^{2}]=[\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}]{\begin{bmatrix}1/2&-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}&2\end{bmatrix}}.}$

Για παράδειγμα, το διάνυσμα

${\displaystyle v={\frac {3}{2}}\mathbf {e} _{1}+2\mathbf {e} _{2}}$

είναι ένα διάνυσμα με αντιδιακύμενα στοιχεία

${\displaystyle v^{1}={\frac {3}{2}},\quad v^{2}=2.}$

Τα συνδιακύμενα στοιχεία λαμβάνονται εξισώνοντας τις 2 εκφράσεις του v:

${\displaystyle v=v_{1}\mathbf {e} ^{1}+v_{2}\mathbf {e} ^{2}=v^{1}\mathbf {e} _{1}+v^{2}\mathbf {e} _{2}}$

έτσι

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}&=R^{-1}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}4&{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6+2{\sqrt {2}}\\2+3/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}.}$

Στις τρεις διαστάσεις, κάποιος να καθορίσει την διπλή βάσης σε ένα δοθέν σύνολο e₁, e₂, e₃ του E₃ που δεν είναι απαραίτητα ορθογώνια ούτε κανονική μονάδα. Τα διανύσματα διπλής βάσης είναι

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})}};\qquad \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})}};\qquad \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})}}.}$

Ακόμη και όταν το e_i και το eⁱ δεν είναι ορθοκανονικά, εξακολουθούν να είναι αμοιβαίως διπλά:

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{j}^{i},}$

Τότε οι αντιδιακύμενες συντεταγμένες οποιουδήποτε v μπορούν να ληφθούν από το εξωτερικό γινόμενο του v με τα αντιδιακύμενα διανύσματα βάσης:

${\displaystyle q^{1}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{1};\qquad q^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{2};\qquad q^{3}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{3}.\,}$

Επίσης, τα συνδιακύμενα στοιχεία του v μπορούν να ληφθούν από το εξωτερικό γινόμενο του v με συνδιακύμενα στοιχεία βάσης

${\displaystyle q_{1}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1};\qquad q_{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2};\qquad q_{3}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{3}.\,}$

Τότε το V μπορεί να εκφραστεί με δυο (αμοιβαίους) τρόπους:

${\displaystyle \mathbf {v} =q_{i}\mathbf {e} ^{i}=q_{1}\mathbf {e} ^{1}+q_{2}\mathbf {e} ^{2}+q_{3}\mathbf {e} ^{3}\,}$

ή

${\displaystyle \mathbf {v} =q^{i}\mathbf {e} _{i}=q^{1}\mathbf {e} _{1}+q^{2}\mathbf {e} _{2}+q^{3}\mathbf {e} _{3}.\,}$

Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις έχουμε

${\displaystyle \mathbf {v} =(\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}\,}$

και μπορούμε να μετατρέψουμε την συνδιακύμενη βάση σε αντιδιακύμενη με

${\displaystyle q_{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i}=(q^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=(\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i})q^{j}\,}$

και

${\displaystyle q^{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(q_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i})q_{j}.\,}$

Οι συνδιακύμενες συντεταγμένες, τα διανύσματα και οι τανυστές έχουν δείκτες, κι όχι εκθέτες. Αν τα αντιδιακύμενα διανύσματα βάσης είναι ορθοκανονικά τότε είναι ίσα με τα συνδιακύμενα διανύσματα βάσης έτσι ώστε δεν υπάρχει ανάγκη να διακρίνουμε μεταξύ των συνδιακύμενων και αντιδιακύμενων συντεταγμένων.

Πιο γενικά σε ένα n-διάστατο Ευκλείδειο επίπεδο V, αν μια βάση είναι

${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}}$,

η αμοιβαία βάση δίνεται από τον τύπο

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=e^{ij}\mathbf {e} _{j}}$

όπου οι συντελεστές e^ij είναι οι καταχωρήσεις του αντίστροφου πίνακα

${\displaystyle e_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}.}$

Πράγματι, τότε έχουμε

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{k}=e^{ij}\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{k}=e^{ij}e_{jk}=\delta _{k}^{i}.}$

Τα συνδιακύμενα και αντιδιακύμενα στοιχεία οποιουδήποτε διανύσματος

${\displaystyle \mathbf {v} =q_{i}\mathbf {e} ^{i}=q^{i}\mathbf {e} _{i}\,}$

συσχετίζονται όπως παραπάνω μέσω του τύπου

${\displaystyle q_{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i}=(q^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=q^{j}e_{ji}}$

και

${\displaystyle q^{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(q_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=q_{j}e^{ji}.\,}$

Στη Φυσική, το επίθετο συνδιακύμενος συχνά χρησιμοποιείται άτυπα ως συνώνυμο του αναλλοίωτος. Για παράδειγμα, η εξίσωση Σρέντινγκερ δεν διατηρεί τη γραπτή μορφή της κάτω από τις μετατροπές των συντεταγμένων της ειδικής σχετικότητας. Άρα, ένας φυσικός θα έλεγε πως η εξίσωση Σρέντινγκερ δεν είναι συνδιακύμενη. Αντιθέτως, η εξίσωση Κλάιν-Γκόρντον και η εξίσωση Ντιράκ πράγματι διατηρούν την γραπτή μορφή τους κάτω από τις μετατροπές των συντεταγμένων. Επομένως, ένας φυσικός θα μπορούσε να πει πως αυτές οι εξισώσεις "είναι συνδιακύμενες".

Παρά τη χρήση αυτή της λέξης "συνδιακύμενος", είναι πιο σαφές να πούμε ότι οι εξισώσεις Κλάιν-Γκόρντον και Ντιράκ είναι αναλλοίωτες και ότι η εξίσωση Σρέντινγκερ δεν είναι αναλλοίωτη. Για να αποφύγουμε την αμφισημία, επίσης, η μετατροπή κατά την οποία το αναλλοίωτο υπολογίζεται πρέπει να υποδεικνύεται.

Επειδή τα στοιχεία των διανυσμάτων είναι αντιδιακύμενα και εκείνα των διπλών διανυσμάτων είναι συνδιακείμενα, τα διανύσματα καθαυτά συχνά αναφέρεται ότι έιναι συνδιακείμενα και τα διπλά διανύσματα ότι είναι συνδιακείμενα.

Η διάκριση μεταξύ συνδιακύμανσης και αντιδιακύμανσης είναι ιδιαίτερα σημαντική για υπολογισμούς με τανυστές, οι οποίοι συχνά έχουν "μικτή διακύμανση". Αυτό σημαίνει ότι έχουν τόσο συνδιακύμενα όσο και αντιδιακύμενα στοιχεία ή στοιχεία τόσο απλών όσο και διπλών διανυσμάτων. Το σθένος ενός τανυστή είναι ο αριθμός της διακύμενων και συνδιακύμενων όρων και, στη σημειογραφία του Αϊνστάιν, τα συνδιακύμενα στοιχεία έχουν δείκτες, ενώ τα αντιδιακύμενα εκθέτες. Η διττότητα μεταξύ συνδιακύμανσης και αντιδιακύμανσης παρεμβάλλεται κάθε φορά που το μέγεθος ενός διανύσματος ή ενός τανυστή αναπαρίσταται από τα στοιχεία του, παρά το γεγονός ότι η σύγχρονη διαφορική γεωμετρία χρησιμοποιεί πιο εκλεπτυσμένες μεθόδους χωρίς δείκτες κι εκθέτες για την αναπαράσταση τανυστών.

Στην ανάλυση με τανυστές, ένα συνδιακύμενο διάνυσμα ποικίλλει αντιστρόφως σε ένα αντίστοιχο αντιδιακύμενο διάνυσμα. Εκφράσεις για το μήκος, το εμβαδόν και τον όγκο αντικειμένων σε έναν διανυσματικό χώρο είναι δυνατό να δοθούν στο πλαίσιο των τανυστών με συνδιακύμενους ή αντιδιακύμενους δείκτες κι εκθέτες. Σε περιπτώσεις απλών διαστολών και συστολών των συντεταγμένων, η αμοιβαιότητα είναι ακριβής: σε περίπτωση ομοπαραλληλικών μετατροπών, τα στοιχεία ενός διανύσματος "μπερδεύονται", ακολουθώντας συνδιακύμενες και αντιδιακύμενες παραστάσεις.

Σε μία πολλαπλότητα, το πεδίο ενός τανυστή θα έχει τυπικά πολλαπλούς δείκτες και/ή εκθέτες. Ακολουθώντας μία ευρέως αποδεκτή σύμβαση, στα συνδιακύμενα διανύσματα χρησιμοποιούνται δείκτες, ενώ στα αντιδιακύμενα εκθέτες. Όταν η πολλαπλότητα έχει εφοδιαστεί με έναν μετρικό τανυστή, οι δείκτες και οι εκθέτες των συνδιακύμενων και των αντιδιακύμενων διανυσμάτων αντίστοιχα αποκτούν μία πολύ στενή σχέση. Οι εκθέτες των αντιδιακύμενων διανυσμάτων δύνανται να μετατραπούν σε δείκτες συνδιακύμενων κατόπιν συστολής με τον μετρικό τανυστή. Και το αντίστροφο είναι δυνατό, δηλαδή με την αντιστροφή του μετρικού τανυστή. Σημειωτέον, ότι γενικά δεν υφίσταται καμία τέτοιου είδους σχέση στον χώρο ο οποίος διαθέτει έναν μετρικό τανυστή. Επιπλέον, εάν το δούμε υπό ένα πιο θεωρητικό πρίσμα, ο τανυστής είναι απλώς "εκεί" και τα στοιχεία του -οιοδήποτε είδους- είναι υπολογιστικά τεχνουργήματα, οι τιμές των οποίων εξαρτώνται από τις εκάστοτε επιλεγμένες συντεταγμένες.

Η διευκρίνιση, μιλώντας με γεωμετρικούς όρους, είναι ότι ένας γενικός τανυστής θα έχει ανδιακύμενους καθώς επίσης και συνδιακύμενους δείκτες και εκθέτες αντίστοιχα, επειδή έχει μέρη που ανήκουν τόσο σε μία εφαπτομένη δεσμίδα όσο και σε μία συνεφαπτομένη δεσμίδα.

Ένα αντιδιακύμενο διάνυσμα είναι εκείνο το οποίο μετατρέπεται ως ${\displaystyle {\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}$, όπου ${\displaystyle x^{\mu }\!}$ είναι οι συντεταγμένες ενός σημείου στον αντίστοιχο χρόνο ${\displaystyle \tau \!}$. Ένα συνδιακύμενο διάνυσμα είναι εκείνο που μετατρέπεται ως ${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}}$, όπου ${\displaystyle \phi \!}$ είναι ένα βαθμωτό σώμα.

Στη θεωρία κατηγοριών υπάρχουν συνδιακύμενοι συναρτητές και αντιδιακύμενοι συναρτητές. Η τοποθέτηση του διπλού χώρου σε έναν διανυσματικό χώρο είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα ενός αντιδιακύμενου συναρτητή. Μερικές δομές της πολυγραμμικής άλγεβρας είναι "μικτής" διακύμανσης, η οποία τις εμποδίζει από το να είναι συναρτητές.

Στη διαφορική γεωμετρία τα στοιχεία ενός διανύσματος σχετικό με μία βάση μιας εφαπτομένης δεσμίδας είναι συνδιακύμενα, εάν αλλάξουν κατόπιν γραμμικής μετατροπής ως αλλαγή της βάσης. Είναι, αντίθετα, αντιδιακύμενα, εάν αλλάξουν με την αντίστροφη μετατροπή. Μερικές φορές αυτή είναι αιτία σύγχυσης για δύο διακριτούς αλλά συναφείς λόγους. Ο πρώτος είναι ότι τα διανύσματα, τα στοιχεία των οποίων είναι συνδιακύμενα (ονομάζονται μονο-μορφικά), στην ουσία "τραβούν" κάτω από επίπεδες συναρτήσεις, που σημαίνει ότι η διαδικασία που αντιστοιχεί στον χώρο των συνδιακύμενων διανυσμάτων σε μία επίπεδη πολλαπλότητα είναι στην πραγματικότητα αντιδιακύμενος συναρτητής. Παρομοίως, διανύσματα, των οποίων τα στοιχεία είναι αντιδιακύμενα "σπρώχνουν" κάτω από επίπεδες απεικονίσεις, ούτως ώστε η διαδικασία που αντιστοιχεί στον χώρο των αντιδιακύμενων διανυσμάτων σε μία επίπεδη πολλαπλότητα να είναι ένας συνδιακύμενος συναρτητής. Κατά δεύτερον, στη διαχρονική προσέγγιση της διαφορικής γεωμετρίας, δεν είναι οι βάσεις μίας εφαπτομένης δεσμίδας εκείνες που αποτελούν το πιο παλιό αντικείμενο, αλλά κάπως αλλάζουν στο σύστημα συντεταγμένων. Διανύσματα με αντιδιακύμενα στοιχεία μετατρέπονται κατά τον ίδιο τρόπο που αλλάζει και στις συντεταγμένες (επειδή οι τελευταίες αλλάζουν αντίθετα με την προηγηθείσα αλλαγή της βάσης). Παρομοίως, διανύσματα με συνδιακύμενα στοιχεία μετατρέπονται κατά τρόπο αντίθετο με αυτόν που αλλάζει στις συντεταγμένες.

• Arfken, George B.; Weber, Hans J. (2005), Mathematical Methods for Physicists (6th έκδοση), San Diego: Harcourt, ISBN 0-12-059876-0 .
• Dodson, C. T. J.; Poston, T. (1991), Tensor geometry, Graduate Texts in Mathematics, 130 (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52018-4 .
• Greub, Werner Hildbert (1967), Multilinear algebra, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 136, Springer-Verlag New York, Inc., New York .
• Sternberg, Shlomo (1983), Lectures on differential geometry, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0316-0 .
• Sylvester, J.J. (1853), «On a Theory of the Syzygetic Relations of Two Rational Integral Functions, Comprising an Application to the Theory of Sturm's Functions, and That of the Greatest Algebraical Common Measure», Philosophical Transactions of the Royal Society of London (The Royal Society) 143: 407–548, doi:10.1098/rstl.1853.0018 .

• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Covariant tensor», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/c026880 
• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Contravariant tensor», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/c025970 
• Weisstein, Eric W., "Covariant Tensor" από το MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Contravariant Tensor" από το MathWorld.
• Invariance, Contravariance, and Covariance