Teorema delle funzioni implicite

In matematica, in particolare in analisi matematica e geometria, il teorema delle funzioni implicite è un importante strumento che stabilisce quando il luogo di zeri di un'equazione implicita si può esplicitare rispetto a una variabile.

Nella letteratura italiana, il teorema è generalmente detto teorema di Dini in onore del matematico Ulisse Dini, che contribuì ad estenderne la formulazione.^[1]

Il teorema di Dini stabilisce che una funzione reale di classe ${\displaystyle C^{1}}$ di due variabili del tipo:

${\displaystyle F(x,y)}$

definisce implicitamente un'unica funzione del tipo:

${\displaystyle y=f(x)}$

in un intorno di un punto ${\displaystyle (a,b)}$ tale che (esplicitando rispetto alla variabile y):^[2]

${\displaystyle F(a,b)=0,\qquad {\frac {\partial F}{\partial y}}(a,b)\neq 0.}$

Il teorema di Dini fornisce quindi una condizione sufficiente affinché esista un'unica funzione ${\displaystyle y=f(x)}$ tale che

${\displaystyle F(x,f(x))=0}$

sia soddisfatta al variare di ${\displaystyle x}$, oppure un'unica funzione ${\displaystyle x=g(y)}$ tale che

${\displaystyle F(g(y),y)=0}$

sia soddisfatta al variare di ${\displaystyle y}$.

Questo non significa che sia possibile esplicitare una delle due incognite in funzione dell'altra, ossia che sia possibile trovare ${\displaystyle y=f(x)}$ oppure ${\displaystyle x=g(y)}$ in forma esplicita, ma mostra piuttosto che esiste almeno una delle due funzioni, detta funzione implicita.

Se ci si limita all'individuazione di particolari tipi di funzione, ad esempio quelle continue e definite su un intervallo, si può dimostrare anche la loro unicità, il che sancisce un'equivalenza formale tra la scrittura implicita ${\displaystyle F(x,y)=0}$ e quella esplicita ${\displaystyle y=f(x)}$ oppure ${\displaystyle x=g(y)}$. Ad esempio, l'equazione:

${\displaystyle F(x,y)=y+x^{2}e^{y}=0}$

ben definisce un'unica funzione continua ${\displaystyle y=f(x)}$ definita per ogni ${\displaystyle x}$ reale, che tuttavia non può essere scritta esplicitamente.

Sia ${\displaystyle F\colon G\subset \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ una funzione a valori reali, differenziabile e le cui derivate parziali prime siano funzioni continue. Sia inoltre ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in G}$ tale che:

${\displaystyle F(x_{0},y_{0})=0,\qquad {\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0.}$

Il teorema afferma che esiste una funzione derivabile reale:

${\displaystyle g\colon [x_{0}-h,x_{0}+h]\to [y_{0}-k,y_{0}+k],\qquad h,k>0,\quad h,k\in \mathbb {R} ,}$

la cui derivata prima sia continua. Inoltre, il grafico di ${\displaystyle g}$ è l'insieme delle coppie:

${\displaystyle \{(x,y)\in G:F(x,y)=0\}}$

che sono contenute nel rettangolo:

${\displaystyle [x_{0}-h,x_{0}+h]\times [y_{0}-k,y_{0}+k].}$

Si consideri una funzione di classe C¹ ${\displaystyle F\colon A\to \mathbb {R} }$ definita su un insieme aperto ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$, e si consideri l'insieme:

${\displaystyle Z=\{(x,y)\in A:F(x,y)=0\}.}$

Se ${\displaystyle Z}$ è non vuoto esiste un punto ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ tale che:

${\displaystyle F(x_{0},y_{0})=0.}$

Il teorema afferma che se ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ non è un punto critico, ossia:

${\displaystyle \nabla F(x_{0},y_{0})\neq 0,}$

allora esiste un intorno ${\displaystyle U}$ di ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ tale che l'insieme ${\displaystyle Z\cap U}$ è il grafico di una funzione derivabile.

Questo equivale a dire che esiste un'unica funzione del tipo ${\displaystyle y=y(x)}$ o del tipo ${\displaystyle x=x(y)}$ che mette in relazione le due incognite ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$. Si noti che questo non significa che è davvero possibile esplicitare una delle due variabili in funzione dell'altra, ma solo che l'equazione definisce implicitamente un legame tra le due incognite che è univoco.

Sia ${\displaystyle g\colon A\subset \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$ una funzione di classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ nell'aperto ${\displaystyle A}$ e sia ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in A}$ tale che:

${\displaystyle g(x_{0},y_{0})=0,\qquad g_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0.}$

Allora esistono un intervallo reale aperto ${\displaystyle I}$, con ${\displaystyle x_{0}\in I}$, un intervallo reale aperto ${\displaystyle J}$, con ${\displaystyle y_{0}\in J}$, ed una funzione ${\displaystyle y(x)}$ di classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ in ${\displaystyle I}$ a valori in ${\displaystyle J}$ tali che:

${\displaystyle y(x_{0})=y_{0},\qquad y'(x_{0})=-\left({\frac {g_{x}(x_{0},y_{0})}{g_{y}(x_{0},y_{0})}}\right)}$

e tali che per ogni ${\displaystyle x\in I,y\in J}$ la relazione:

${\displaystyle g(x,y)=0}$

si verifica se e solo se:

${\displaystyle y=y(x).}$

Scambiando i ruoli delle variabili si giunge a definire una funzione ${\displaystyle x=x(y)}$.

Sia data una funzione continua ${\displaystyle g\colon A\subset \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ di classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ in ${\displaystyle A}$ tale che ${\displaystyle \nabla g(x,y)\neq 0}$ in tutti i punti tali che ${\displaystyle g(x,y)=0}$, cioè nella curva di livello:

${\displaystyle V=\{(x,y)\in A:g(x,y)=0\}.}$

Sia ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ un punto di ${\displaystyle V}$ e si consideri il relativo sviluppo al primo ordine di Taylor:

${\displaystyle g(x,y)=g(x_{0},y_{0})+g_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+g_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})+o({\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}).}$

Tenendo conto che ${\displaystyle g(x_{0},y_{0})=0}$, uguagliando a zero la prima parte del termine al primo ordine si ottiene:

${\displaystyle g_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+g_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})=0.}$

Per ipotesi, tale equazione di primo grado ha almeno un coefficiente diverso da zero, e si può porre ${\displaystyle g_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0}$. Si può quindi ricavare ${\displaystyle y}$ in funzione di ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle y=y_{0}-{\frac {g_{x}(x_{0},y_{0})}{g_{y}(x_{0},y_{0})}}(x-x_{0}).}$

Il teorema mostra che l'errore nella formula di approssimazione al primo ordine non incide sulla possibilità di esprimere una variabile in funzione dell'altra.

La funzione ottenuta ha sviluppo al primo ordine:

${\displaystyle y=y_{0}-{\frac {g_{x}(x_{0},y_{0})}{g_{y}(x_{0},y_{0})}}(x-x_{0})+o(x-x_{0}).}$

Sia data una funzione continua ${\displaystyle g\colon A\subseteq \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$ di classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ nell'aperto ${\displaystyle A}$ tale che per ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in A}$ si abbia

${\displaystyle {\begin{aligned}g(x_{0},y_{0})=0,\qquad g_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0\end{aligned}}.}$

Sia definita la funzione

${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y)=y-{\frac {g(x,y)}{g_{y}(x_{0},y_{0})}}\end{aligned}}.}$

Allora ${\displaystyle G(x_{0},y_{0})=y_{0}}$ e ${\displaystyle G(x,y)=y}$ per ${\displaystyle (x,y)\in I\times J}$. Dunque trovare gli zeri di ${\displaystyle g(x,y)}$ si riduce a trovare il punto fisso della funzione ${\displaystyle G(x,y)}$.

Grazie al teorema delle contrazioni sappiamo che, definito

${\displaystyle X=\{\psi \colon I\rightarrow J\;|\;\psi \in {\mathcal {C}}^{0}\}.}$

Siccome ${\displaystyle G\in X}$, ${\displaystyle (X,\lVert \cdot \lVert _{\infty })}$ è facile dimostrare che sia uno spazio metrico completo, allora

${\displaystyle \exists !\;y=f(x):G(x,f(x))=f(x).}$

Sia ${\displaystyle H\colon X\rightarrow X}$ una contrazione tale che

${\displaystyle w\mapsto H[w](x)=G(x,w(x))}$

ci basta dimostrare che ${\displaystyle H}$ sia ben definita, cioè che ${\displaystyle H[w]\in X}$. Questa deve avere le seguenti proprietà:

1. ${\displaystyle H[w]}$ è continua in ${\displaystyle I;}$
2. ${\displaystyle \lVert H[w]-y_{0}\rVert _{\infty }\leq \varepsilon .}$

La prima è ovvia siccome l'operatore è composizione di funzioni continue. La seconda può essere dimostrata tramite una catena di disuguaglianze:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lVert H[w]-y_{0}\rVert _{\infty }=\lVert G(x,w(x))-G(x_{0},y_{0})\lVert _{\infty }\leq \lVert G(x,w(x))-G(x,y_{0})\lVert _{\infty }+\lVert G(x,y_{0})-G(x_{0},y_{0})\lVert _{\infty }=\\[10pt]&=\lVert G(x,w(x))-G(x,y_{0})\lVert _{\infty }+\lVert y_{0}-{\frac {g(x,y_{0})}{g_{y}(x_{0},y_{0})}}-y_{0}\lVert _{\infty }\leq \lVert G_{y}(x,\xi _{y})(w(x)-y_{0})\lVert _{\infty }+{\frac {\lVert g(x,y_{0})\lVert _{\infty }}{|g_{y}(x_{0},y_{0})|}}\leq \\[10pt]&\leq {\underset {\xi _{y}\in J}{\sup }}|G_{y}(x,\xi _{y})|\lVert w(x)-y_{0}\lVert _{\infty }+{\frac {\lVert g(x,y_{0})\lVert _{\infty }}{|g_{y}(x_{0},y_{0})|}}\leq \varepsilon ,\end{aligned}}}$

dove si è applicato il teorema di Lagrange ed il fatto che

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {\xi _{y}\in J}{\sup }}G_{y}(x,\xi _{y})\leq {1 \over 2}\;\;{\text{ poiché }}h,k\;{\text{ possono essere piccoli a piacimento}}\\[10pt]&\lVert w(x)-y_{0}\lVert _{\infty }\leq \varepsilon \;\;{\text{ poiché }}w(x)\in X\\[10pt]&{\frac {\lVert g(x,y_{0})\lVert _{\infty }}{|g_{y}(x_{0},y_{0})|}}\leq {\varepsilon \over 2}.\end{aligned}}}$

Ora basta dimostrare che ${\displaystyle H}$ sia una contrazione:

${\displaystyle \lVert H[w]-H[v]\lVert _{\infty }=\lVert G(x,w(x))-G(x,h(x))\lVert _{\infty }\leq {\underset {\xi \in J}{\sup }}|G(x,\xi )|\lVert w-v\lVert _{\infty }\leq {1 \over 2}\lVert w-v\lVert _{\infty }.}$

Sia ${\displaystyle \mathbf {f} \colon E\subset \mathbb {R} ^{n+m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ una funzione di classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$, dove ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m}}$ è il prodotto cartesiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}}$ i cui elementi sono del tipo ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m})}$. Sia inoltre ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b_{1},b_{2},\ldots ,b_{m})\in E}$ un punto tale che ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=0}$.

Data la matrice jacobiana di ${\displaystyle \mathbf {f} }$ in ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$:

${\displaystyle {\begin{matrix}(D\mathbf {f} )(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&=&\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]={\begin{bmatrix}X&|&Y\end{bmatrix}}\\\end{matrix}},}$

si supponga che ${\displaystyle X}$ sia invertibile.

Il teorema delle funzioni implicite afferma che vi sono due insiemi aperti ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n+m}}$ e ${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{m}}$ contenenti rispettivamente ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ e ${\displaystyle \mathbf {b} }$ tali che per ogni ${\displaystyle \mathbf {y} \in V}$ esiste un unico ${\displaystyle \mathbf {x} }$ che soddisfa ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U}$ e ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0}$. Inoltre, la funzione ${\displaystyle \mathbf {g} \colon V\to \mathbb {R} ^{n}}$ tale che ${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {y} )=\mathbf {x} }$ è una funzione di classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ tale che:^[3]

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {b} )=\mathbf {a} ,\qquad (D\mathbf {g} )(\mathbf {b} )=-X^{-1}Y,}$

dove ${\displaystyle (D\mathbf {g} )(\mathbf {b} )}$ è la jacobiana di ${\displaystyle \mathbf {g} }$ in ${\displaystyle \mathbf {b} }$. La relazione:

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {g} (\mathbf {y} ),\mathbf {y} )=0,\qquad \mathbf {y} \in V,}$

definisce implicitamente ${\displaystyle \mathbf {g} }$.

Il teorema stabilisce quindi che il sistema ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} }$:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m})=0\\f_{2}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m})=0\\\vdots \\f_{n}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m})=0\\\end{matrix}}\right.}$

può essere risolto esplicitando ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}$ in funzione di ${\displaystyle (y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m})}$ in un intorno di ${\displaystyle \mathbf {b} }$ se il sistema è risolvibile in ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ e se ${\displaystyle X}$ è invertibile.^[4] Le soluzioni così trovate sono inoltre funzioni di classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$. Il teorema può essere generalizzato al caso di funzioni analitiche.

Il teorema si estende anche agli spazi di Banach.

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
• V.Barutello, M.Conti, D.L.Ferrario, S.Terracini, G.Verzini, Analisi matematica. Con elementi di geometria e calcolo vettoriale, Apogeo Editore, 2008, ISBN 8850324235.

• Derivata
• Derivata direzionale
• Derivata parziale
• Funzione differenziabile
• Funzione implicita
• Gradiente
• Matrice jacobiana
• Teorema della funzione inversa

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema delle funzioni implicite, su MathWorld, Wolfram Research.

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