Omeomorfismo locale

In topologia, un omeomorfismo locale è una funzione continua fra spazi topologici che si comporta localmente (ma non necessariamente globalmente) come un omeomorfismo.

Più precisamente, una funzione continua f : X → Y è un omeomorfismo locale se ogni punto x di X ha un intorno U tale che f(U) è aperto in Y e la restrizione di f da U in f(U) è un omeomorfismo.

• Ogni omeomorfismo è un omeomorfismo locale, ma non è vero il viceversa: ad esempio la mappa

  ${\displaystyle {\begin{matrix}f:&\mathbb {R} &\longrightarrow &S^{1}\\&x&\longmapsto &e^{2\pi ix}\end{matrix}}}$

in cui la retta reale riveste la circonferenza S¹ è un omeomorfismo locale (suriettivo) ma non un omeomorfismo (perché non è iniettiva).

• Se U è un sottoinsieme aperto di X, dotato della topologia del sottospazio, la mappa di inclusione i : U → X è un omeomorfismo locale. Questo non è vero se U non è aperto.

• Per il teorema di invertibilità locale, una funzione derivabile f:U → Rⁿ definita su un aperto U di Rⁿ è un omeomorfismo locale se il Jacobiano di f è invertibile in ogni punto.

• Una funzione olomorfa da un aperto di C in C è un omeomorfismo locale se e solo se ha derivata non nulla in ogni punto. Ad esempio, la funzione

  ${\displaystyle {\begin{matrix}f:&\mathbb {C} ^{*}&\longrightarrow &\mathbb {C} ^{*}\\&z&\longmapsto &z^{n}\end{matrix}}}$

definita sull'aperto C^* = C \ {0} è un omeomorfismo locale per ogni n naturale positivo.

• Un rivestimento è un omeomorfismo locale.

• Ogni omeomorfismo locale è una funzione continua e aperta.
• Un omeomorfismo locale bigettivo è un omeomorfismo.
• Un omeomorfismo locale f : X → Y suriettivo preserva le proprietà topologiche "locali": lo spazio X è localmente connesso, compatto, contraibile, se e solo se lo è Y. Si osservi, tuttavia, che la suriettività di un omeomorfismo locale f non è sufficiente a preservare la proprietà di uno spazio di essere semplicemente connesso: si veda il primo esempio riportato sopra.
• La composizione di due omeomorfismi locali è un altro omeomorfismo locale.
• Due spazi topologici fra i quali si possa stabilire un omeomorfismo locale si dicono localmente omeomorfi. Per quanto detto, due spazi omeomorfi sono localmente omeomorfi, ma il viceversa non è sempre vero. Generalmente due spazi topologici localmente omeomorfi condividono tutte le proprietà locali ma non quelle globali; ad esempio uno spazio semplicemente connesso può essere localmente omeomorfo (ma solo localmente) a uno spazio non semplicemente connesso; infatti il toro è localmente omeomorfo al piano.

• E. Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 8833955486.

• Diffeomorfismo locale
• Omeomorfismo
• Rivestimento (topologia)

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica