Serie convergente

In matematica, una serie convergente è una serie tale che il limite delle sue somme parziali è finito. Questo vuol dire che, data una successione $a_{i}$ , la serie $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ è convergente se la successione delle somme parziali

S_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i},

ha un limite finito, cioè se esiste finito $S$ tale che per ogni $\varepsilon >0$ esiste $N$ tale che per ogni $n>N$

|S_{n}-S|<\varepsilon .

Il numero $S$ è detto somma della serie: spesso è difficile trovare questo numero, sebbene possa essere facile capire che una serie è convergente.

La somma di due serie convergenti è ovviamente ancora convergente, così come la serie prodotta dalla moltiplicazione di una serie per uno scalare; le serie convergenti formano quindi uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali.

Una serie non convergente non è necessariamente detta divergente, ad esempio la serie $\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}$ non è né convergente né divergente, in quanto la sua successione delle somme parziali oscilla tra i valori $0$ e $1$ e quindi non ammette limite.

Esempi

Un esempio tipico di serie convergente è la serie geometrica di parametro $q<1$ : ad esempio
${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}=2,$
Anche la somma dei reciproci dei quadrati converge (trovare il suo limite è stato il famoso problema di Basilea):
${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+\cdots =\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}},$
Mediante lo sviluppo in serie di Taylor è possibile mostrare che
${\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {1}{2i+1}}={\frac {\pi }{4}},$
Una serie non convergente è invece la serie dei reciproci dei numeri primi (dimostrazione):
${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{p}},$

dove

\mathbb {P}

indica l'insieme dei numeri primi.

Assoluta convergenza

Una serie è detta assolutamente convergente se converge la serie dei valori assoluti, cioè se la serie

\sum _{i=0}^{\infty }|a_{i}|,

converge.

Si dimostra facilmente che una serie assolutamente convergente è convergente: infatti, se si definiscono due nuove successioni

b_{i}={\begin{cases}a_{i}\mathrm {~se~} a_{i}>0\\0\mathrm {~altrimenti} \end{cases}}

c_{i}={\begin{cases}-a_{i}\mathrm {~se~} a_{i}<0\\0\mathrm {~altrimenti} \end{cases}}

risulta evidente che le loro serie $\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}$ e $\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}$ sono a termini positivi e convergono, poiché ogni loro termine è minore o uguale del corrispondente termine di $|a_{i}|$ . Quindi la loro differenza è anch'essa convergente, e quindi la serie originale converge, perché $a_{i}=b_{i}-c_{i}$

Il viceversa non è vero: la serie

$-{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-\cdots =\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {1}{i}},$

converge a $-\ln 2$ , ma la serie dei valori assoluti

${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}},$

è la serie armonica, che diverge.

Criteri di convergenza

Per stabilire se una serie converge o meno è possibile usare dei criteri di convergenza, che consentono spesso di stabilire velocemente il carattere di una serie (specialmente se è a termini positivi, cioè se $S_{n}>S_{n-1}$ per ogni $n$ sufficientemente grande) senza tuttavia permettere di calcolarne effettivamente la somma.

Il metodo principale, che viene usato per dimostrare molti altri è il criterio del confronto: se $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ e $\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}$ sono due serie a termini positivi tali che $b_{i}>a_{i}$ per ogni $n$ sufficientemente grande e la seconda serie converge, allora converge anche la prima. Inversamente, se la prima diverge così farà la seconda.

Altri criteri molto usati sono il criterio del rapporto e il criterio della radice: nel primo si studia il comportamento della quantità ${\frac {a_{i+1}}{a_{i}}}$ , mentre nel secondo della quantità ${\sqrt[{i}]{a_{i}}}$ al tendere di $i$ a $+\infty$ . In entrambi i casi, se questo limite è minore di $1$ la serie converge, se è maggiore diverge, mentre se è uguale a $1$ il criterio fallisce e non dà informazioni sul comportamento della serie.

Per serie a termini di segno alterno è disponibile il criterio di Leibniz, il quale afferma che se $a_{i}$ è decrescente e tende a $0$ , allora la serie $\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}a_{i}$ converge.