Con il termine costanti trigonometriche esatte si indicano espressioni riguardanti valori o combinazioni di valori di funzioni trigonometriche costruite a partire da numeri interi con le operazioni razionali e le operazioni di estrazione di radice. Queste espressioni numeriche sono utilizzate principalmente per semplificare le soluzioni di problemi geometrici fornite mediante radicali .
Tutti i valori delle funzioni sin, cos e tan di angoli multipli di 3° sono ottenibili servendosi delle identità di bisezione , duplicazione , addizione/sottrazione e dei valori corrispondenti agli angoli di 0°, 30°, 36° e 45°. Si ricorda che 1° = π/180 radianti .
Valori esatti di seno e coseno per angoli multipli di 3 gradi. I valori relativi ad angoli non contenuti nell'intervallo [0° ... 45°] si possono ricavare da quelli qui forniti mediante semplici osservazioni sulla circonferenza di raggio 1 e sugli effetti di opportune rotazioni e riflessioni .
sin
0
∘
=
0
{\displaystyle \sin 0^{\circ }=0}
cos
0
∘
=
1
{\displaystyle \cos 0^{\circ }=1}
tan
0
∘
=
0
{\displaystyle \tan 0^{\circ }=0}
sin
π
60
=
sin
3
∘
=
2
5
+
5
(
1
−
3
)
+
2
(
5
−
1
)
(
3
+
1
)
16
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\,(1-{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)}{16}}}
cos
π
60
=
cos
3
∘
=
2
5
+
5
(
1
+
3
)
+
2
(
5
−
1
)
(
3
−
1
)
16
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\,(1+{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}-1)}{16}}}
tan
π
60
=
tan
3
∘
=
[
(
2
−
3
)
(
3
+
5
)
−
2
]
(
2
−
2
(
5
−
5
)
)
4
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{60}}=\tan 3^{\circ }={\frac {\left[(2-{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2\right]\left(2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}}
sin
π
30
=
sin
6
∘
=
6
(
5
−
5
)
−
(
5
+
1
)
8
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}-({\sqrt {5}}+1)}{8}}}
cos
π
30
=
cos
6
∘
=
2
(
5
−
5
)
+
3
(
5
+
1
)
8
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)}{8}}}
tan
π
30
=
tan
6
∘
=
(
5
−
2
5
)
(
5
+
1
)
+
3
(
1
−
5
)
2
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{30}}=\tan 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {(}}5-2{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}+1)+{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {5}})}{2}}}
sin
π
20
=
sin
9
∘
=
−
2
5
−
5
+
2
(
5
+
1
)
8
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\frac {-2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)}{8}}}
cos
π
20
=
cos
9
∘
=
+
2
5
−
5
+
2
(
5
+
1
)
8
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\frac {+2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)}{8}}}
tan
π
20
=
tan
9
∘
=
−
5
−
2
5
(
2
+
5
)
+
(
5
+
1
)
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{20}}=\tan 9^{\circ }=-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\;(2+{\sqrt {5}})+({\sqrt {5}}+1)}
sin
π
15
=
sin
12
∘
=
2
(
5
+
5
)
−
3
(
5
−
1
)
8
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}}
cos
π
15
=
cos
12
∘
=
6
(
5
+
5
)
+
(
5
−
1
)
8
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+({\sqrt {5}}-1)}{8}}}
tan
π
15
=
tan
12
∘
=
5
−
2
5
(
2
+
5
)
+
(
5
+
1
)
2
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{15}}=\tan 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}(2+{\sqrt {5}})+({\sqrt {5}}+1)}{2}}}
sin
π
12
=
sin
15
∘
=
2
⋅
(
3
−
1
)
4
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)}{4}}}
cos
π
12
=
cos
15
∘
=
2
⋅
(
3
+
1
)
4
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)}{4}}}
tan
π
12
=
tan
15
∘
=
2
−
3
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{12}}=\tan 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}}}
cot
π
12
=
cot
15
∘
=
2
+
3
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{12}}=\cot 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}}
sin
π
10
=
sin
18
∘
=
5
−
1
4
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}
cos
π
10
=
cos
18
∘
=
2
(
5
+
5
)
4
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}{4}}}
tan
π
10
=
tan
18
∘
=
5
(
5
−
2
5
)
5
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}{5}}}
cot
π
10
=
cot
18
∘
=
5
+
2
5
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{10}}=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}
sin
7
π
60
=
sin
21
∘
=
2
5
−
5
(
3
+
1
)
−
2
(
3
−
1
)
(
1
+
5
)
16
{\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\,({\sqrt {3}}+1)-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)(1+{\sqrt {5}})}{16}}}
cos
7
π
60
=
cos
21
∘
=
2
5
−
5
(
3
−
1
)
+
2
(
3
+
1
)
(
1
+
5
)
16
{\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\,({\sqrt {3}}-1)+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)(1+{\sqrt {5}})}{16}}}
tan
7
π
60
=
tan
21
∘
=
5
−
2
5
(
1
+
2
3
−
5
)
+
(
2
+
3
)
(
5
−
3
)
+
2
2
{\displaystyle \tan {\frac {7\pi }{60}}=\tan 21^{\circ }={\frac {{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,(1+2{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})+(2+{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-3)+2}{2}}}
sin
π
8
=
sin
22.5
∘
=
2
−
2
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22.5^{\circ }={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}
cos
π
8
=
cos
22.5
∘
=
2
+
2
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22.5^{\circ }={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}
tan
π
8
=
tan
22.5
∘
=
2
−
1
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{8}}=\tan 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1}
cot
π
8
=
cot
22.5
∘
=
2
+
1
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{8}}=\cot 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1}
sin
24
∘
=
2
(
5
+
5
)
(
1
−
5
)
+
2
3
(
1
+
5
)
)
16
{\displaystyle \sin 24^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\,(1-{\sqrt {5}})+2{\sqrt {3}}(1+{\sqrt {5}}))}{16}}}
cos
24
∘
=
6
(
5
+
5
)
(
5
−
1
)
+
2
(
1
+
5
)
)
16
{\displaystyle \cos 24^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}\,({\sqrt {5}}-1)+2(1+{\sqrt {5}}))}{16}}}
tan
24
∘
=
(
10
+
2
5
−
2
3
)
(
3
+
5
)
4
{\displaystyle \tan 24^{\circ }={\frac {\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}-2{\sqrt {3}}\right)\,(3+{\sqrt {5}})}{4}}}
cot
24
∘
=
(
10
+
2
5
+
2
3
)
(
5
−
1
)
4
{\displaystyle {\mbox{cot}}\,24^{\circ }={\frac {\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+2{\sqrt {3}}\right)\,({\sqrt {5}}-1)}{4}}}
sin
27
∘
=
2
5
+
5
+
2
(
1
−
5
)
8
{\displaystyle \sin 27^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}(1-{\sqrt {5}})}{8}}}
cos
27
∘
=
2
5
+
5
+
2
(
5
−
1
)
8
{\displaystyle \cos 27^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}}
tan
27
∘
=
−
5
−
2
5
+
(
5
−
1
)
{\displaystyle \tan 27^{\circ }=-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {5}}-1)}
sin
π
6
=
sin
30
∘
=
1
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}}}
cos
π
6
=
cos
30
∘
=
3
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}}
tan
π
6
=
tan
30
∘
=
3
3
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{6}}=\tan 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}}
cot
π
6
=
cot
30
∘
=
3
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{6}}=\cot 30^{\circ }={\sqrt {3}}}
sin
33
∘
=
2
5
+
5
(
−
1
+
3
)
+
2
(
5
−
1
)
(
1
+
3
)
16
{\displaystyle \sin 33^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\,(-1+{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)(1+{\sqrt {3}})}{16}}}
cos
33
∘
=
2
5
+
5
(
+
1
+
3
)
+
2
(
5
−
1
)
(
1
−
3
)
16
{\displaystyle \cos 33^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\,(+1+{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)(1-{\sqrt {3}})}{16}}}
tan
33
∘
=
5
(
5
−
2
5
)
(
−
15
+
10
3
−
7
5
+
4
15
)
+
5
(
(
−
2
+
3
)
(
3
+
5
)
+
2
)
10
{\displaystyle \tan 33^{\circ }={\frac {{\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}\,\left(-15+10{\sqrt {3}}-7{\sqrt {5}}+4{\sqrt {15}}\right)+5\left((-2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})+2\right)}{10}}}
sin
π
5
=
sin
36
∘
=
2
(
5
−
5
)
4
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}{4}}}
cos
π
5
=
cos
36
∘
=
5
+
1
4
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}
tan
π
5
=
tan
36
∘
=
5
−
2
5
)
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}})}}}
sin
39
∘
=
2
5
−
5
(
1
−
3
)
+
2
(
+
1
+
3
)
(
1
+
5
)
16
{\displaystyle \sin 39^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\,(1-{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}(+1+{\sqrt {3}})(1+{\sqrt {5}})}{16}}}
cos
39
∘
=
2
5
−
5
(
1
+
3
)
+
2
(
−
1
+
3
)
(
1
+
5
)
16
{\displaystyle \cos 39^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\,(1+{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}\,(-1+{\sqrt {3}})(1+{\sqrt {5}})}{16}}}
tan
39
∘
=
(
2
(
5
+
5
)
−
2
)
(
(
2
−
3
)
(
−
3
+
5
)
+
2
)
4
{\displaystyle \tan 39^{\circ }={\frac {\left({\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-2\right)\left((2-{\sqrt {3}})(-3+{\sqrt {5}})+2\right)}{4}}}
sin
42
∘
=
6
(
5
−
5
)
(
1
+
5
)
+
2
(
1
−
5
)
16
{\displaystyle \sin 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}\;(1+{\sqrt {5}})+2(1-{\sqrt {5}})}{16}}}
cos
42
∘
=
2
(
5
−
5
)
(
1
+
5
)
+
2
3
(
−
1
+
5
)
16
{\displaystyle \cos 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\;(1+{\sqrt {5}})+2{\sqrt {3}}(-1+{\sqrt {5}})}{16}}}
tan
42
∘
=
−
1
−
2
1
(
3
+
5
)
+
3
(
1
+
5
)
2
{\displaystyle \tan 42^{\circ }={\frac {-{\sqrt {1-2{\sqrt {1}}}}\;(3+{\sqrt {5}})+{\sqrt {3}}(1+{\sqrt {5}})}{2}}}
sin
π
4
=
sin
45
∘
=
2
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}}
cos
π
4
=
cos
45
∘
=
2
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}}
tan
π
4
=
tan
45
∘
=
1
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{4}}=\tan 45^{\circ }=1}
cot
π
4
=
cot
45
∘
=
1
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{4}}=\cot 45^{\circ }=1}
Una grandezza come il volume di un dodecaedro è data dalla seguente espressione:
V
=
5
e
3
cos
36
∘
/
tan
2
36
∘
{\displaystyle V=5e^{3}\cos 36^{\circ }/\tan ^{2}36^{\circ }}
Usando
cos
36
∘
=
5
+
1
4
{\displaystyle \cos \,36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}
tan
36
∘
=
5
−
2
5
{\displaystyle \tan \,36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}
l'espressione precedente può essere semplificata nella:
V
=
e
3
(
15
+
7
5
)
4
{\displaystyle V={\frac {e^{3}(15+7{\sqrt {5}})}{4}}}
La derivazione dei valori particolari delle funzioni sin, cos e tan nella forma radiale è basata sulla costruibilità di triangoli rettangoli che conviene individuare come sezioni simmetriche di poligoni regolari. Ciascuno dei triangoli rettangoli considerati ha come vertici 3 punti di un poligono regolare: un suo vertice V , il punto medio M di un lato che ha come estremo V e il centro C del poligono. Per N=3, 4, 5, ... si considera un N-agono regolare suddiviso in 2*N triangoli rettangoli aventi angoli di 180°/N (vertice C ), 90° (vertice M ) e 90°-180°/N (vertice V ).
Ci si basa sulla costruibilità con riga e compasso di poligoni a 3, 4, 5, e 15 lati e si utilizzano le bisettrici per ricavare anche i multipli di due.
Costruibili
Poligoni regolari a 3*2X lati, X=0,1,2,3,...
4*2X lati
45°-45°-90° triangolo - quadrato (4 lati)
67.5°-22.5°-90° triangolo - ottagono (8 lati)
88.75°-11.25°-90° triangolo - esadecagono (16 lati)
...
5*2X lati
15*2X lati
... (Poligoni regolari di grado superiore costruibili non possono essere fatte per angoli di grado intero: 17, 51, 85, 255, 257...)
Non costruibili (con angoli di grado intero o di mezzo grado) - Le forme radiali non limitate per queste proporzioni di taglio del triangolo sono note.
La semplificazione di un radicale annidato, ovvero un radicale doppio , non è banale e non sempre può essere effettuata.
Esempio:
4
sin
18
∘
=
2
(
3
−
5
)
=
5
−
1
{\displaystyle 4\sin 18^{\circ }={\sqrt {2(3-{\sqrt {5}})}}={\sqrt {5}}-1}
Non è così evidente che questa uguaglianza sia vera, ed in generale i radicali doppi non possono essere ridotti.
Però si ha
a
+
b
c
=
d
+
e
c
se
a
2
−
b
2
c
{\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {c}}}}=d+e{\sqrt {c}}\quad {\mbox{se}}\quad a^{2}-b^{2}c}
quadrato perfetto 
