Spirale aurea

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In geometria, la spirale aurea è un tipo particolare di spirale logaritmica con fattore di accrescimento b pari a φ, la sezione aurea.^[1]

L'equazione polare di una spirale aurea è la stessa delle altre spirali logaritmiche, ma con un particolare valore di b:^[2]

${\displaystyle r=ae^{b\theta }}$

oppure

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}$

dove e è la base dei logaritmi naturali, a è una costante reale arbitraria, ma positiva, e b è tale che quando θ è un angolo retto, la quantità:

${\displaystyle e^{b\theta _{\mathrm {right} }}\,=\phi }$

La quantità ${\displaystyle \phi }$ è il fattore che descrive di quanto aumenta il raggio della spirale dopo aver compiuto un angolo retto, ovvero un quarto di giro. Se per esempio imponiamo ${\displaystyle \phi =2}$, ciò significa che in questo caso la spirale raddoppia il proprio raggio ad ogni quarto di giro e quindi ad ogni giro completo le sue dimensioni aumentano di un fattore ${\displaystyle 16=\phi ^{4}=2^{4}}$.

Perciò, b è dato da

${\displaystyle b={\ln {\phi } \over \theta _{\mathrm {right} }}.}$

Utilizzando questa definizione l'equazione della spirale logaritmica diventa^[3]:

${\textstyle r(\theta )=ae^{{\frac {\ln {\phi }}{\theta _{right}}}\theta }=a\phi ^{\frac {\theta }{\theta _{right}}}=a\phi ^{\frac {2\theta }{\pi }},}$

in quanto ${\displaystyle \theta _{right}={\frac {\pi }{2}}}$.

Calcolando il rapporto tra ${\displaystyle r(\theta +{\dfrac {\pi }{2}})}$e ${\displaystyle r(\theta )}$infatti si ottiene:

${\displaystyle {\dfrac {r(\theta +{\dfrac {\pi }{2}})}{r(\theta )}}={\dfrac {a\phi ^{\frac {2(\theta +{\frac {\pi }{2}})}{\pi }}}{a\phi ^{\frac {2\theta }{\pi }}}}={\dfrac {a\phi ^{\frac {2\theta }{\pi }}\phi }{a\phi ^{\frac {2\theta }{\pi }}}}=\phi }$

Il che dimostra come nella forma ${\textstyle r(\theta )=a\phi ^{\frac {2\theta }{\pi }},}$la quantità ${\textstyle \phi }$ sia il fattore che descrive di quanto aumenta il raggio ogni quarto di giro.

La spirale aurea è quindi un caso particolare della spirale logaritmica, ovvero il caso in cui ${\displaystyle \phi }$, al posto di essere un numero reale positivo generico, assume il valore della sezione aurea:

${\displaystyle \phi ={\dfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Il valore numerico del modulo di b per la spirale aurea vale:

${\displaystyle |b|={\ln {\phi } \over 90}=0.0053468}$ per θ espresso in gradi;

${\displaystyle |b|={\ln {\phi } \over \pi /2}=0.306349}$ per θ espresso in radianti.

• Sezione aurea
• Rettangolo aureo
• Angolo aureo
• Spirale logaritmica

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla spirale aurea

• (EN) Eric W. Weisstein, Spirale aurea, su MathWorld, Wolfram Research.

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