Arany spirál

A geometriában az arany spirál egy logaritmikus spirál, aminek a tágulási faktora, a b a φ-hez, az aranymetszéshez kötődik.^[1] Egyedi módon, egy arany spirál a φ faktorával szélesedik, vagy kerül távolabb kezdőpontjától minden negyedkör után, amit megtesz.

Egy arany spirál poláris egyenlete ugyanaz, mint más logaritmikus spiráloké, de egy b különleges értékkel:^[2]

${\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}$

vagy

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}$

ahol az ${\displaystyle e}$ a természetes logaritmusok alapja, az ${\displaystyle a}$ egy tetszőleges pozitív valódi állandó, és a ${\displaystyle b}$ pedig (amikor a ${\displaystyle \theta }$ egy derékszög (mindkét irányban egy negyed fordulat)):

${\displaystyle e^{b\theta _{\mathrm {right} }}\,=\phi }$

Így, a ${\displaystyle b}$

${\displaystyle b={\ln {\phi } \over \theta _{\mathrm {right} }}.}$

A ${\displaystyle b}$ számértéke függ attól, hogy a derékszöget 90 foknak, vagy ${\displaystyle \textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ radiánnak vesszük; és mivel a szög mindkét irányban lehet, könnyebb a ${\displaystyle b}$ abszolútértékével leírni a képletet (${\displaystyle b}$ lehet ennek az értéknek az ellentettje is):

${\displaystyle |b|={\ln {\phi } \over 90}=0,0053468\,}$ ${\displaystyle \theta }$ foknál;

${\displaystyle |b|={\ln {\phi } \over \pi /2}=0,306349\,}$ ${\displaystyle \theta }$ radiánnál

Egy logaritmikus és egy arany spirál másik képlete:^[3]

${\displaystyle r=ac^{\theta }\,}$

ahol a ${\displaystyle c}$ állandó

${\displaystyle c=e^{b}\,}$

ami az arany spirálnál a ${\displaystyle c}$ ilyen értékeit adja meg:

${\displaystyle c=\phi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1,0053611}$

ha a ${\displaystyle \theta }$ fokokban mérendő, és

${\displaystyle c=\phi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1,358456}$

ha ${\displaystyle \theta }$ radiánokban mérendő.

Sok hasonló spirál van, ami megközelíti, de nem éri el az arany spirált.^[4] Ezeket sokszor tévesztik össze az arany spirállal.

Egy arany spirált meg lehet közelíteni egy „örvénylő téglalap-diagrammal”, ahol a négyzetek ellenkező sarkai, amiket kígyózó arany téglalapok alkotnak, negyedkörökkel vannak összekötve. A végeredmény nagyon hasonló egy valódi arany spirálhoz (lásd a jobb felső sarokban lévő képet).

Egy másik közelítés a Fibonacci-spirál, ami nem valódi logaritmikus spirál. Minden negyedfordulat után a Fibonacci-spirál nem φ-vel lesz szélesebb, hanem egy változó tényezővel, ami a Fibonacci-számok egymást követő tagjaival van összefüggésben. Az egymást követő tagok a Fibonacci-sorozatban megközelítik a φ-t, tehát a két spirál nagyon hasonló lesz. (lásd a jobb alsó sarokban lévő képet).

A természetben megközelítő logaritmikus spirálok előfordulhatnak (például a spirális galaxisok elágazásai). Néha azt mondják, hogy a nautilus kagylói az arany spirál mintájára tágulnak, és így nem csak a φ-hez kötődnek, de a Fibonacci-sorozathoz is. Az igazság az, hogy a nautilus-kagylók, és sok más puhatestű kagylói egy logaritmikus spirál tágulási mintáját követik, de egy megkülönböztethetően más szögben, mint ami az arany spirálnál van.^[5] Ez a minta engedi meg az élőlénynek, hogy alakváltozás nélkül növekedjen. Sok spirál fordul elő a természetben; az arany spirál csak egy speciális fajta.

• Aranymetszés
• Arany téglalap
• Arany szög
• Logaritmikus spirál

• Falus Róbert: Az aranymetszés legendája; 2. jav. kiad.; Magyar Könyvklub, Budapest, 2001 (Tudományos kaleidoszkóp)
• Kovács Ádám–Vámos Attila: Aranyháromszög. Aranymetszés, Fibonacci-sorozat, szabályos ötszög; Műszaki, Budapest, 2007