Operatore unitario

In geometria, un operatore unitario, detto anche trasformazione unitaria, è un isomorfismo tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare, e si tratta pertanto della generalizzazione del concetto di isometria al campo complesso.

Gli operatori unitari su spazi di Hilbert finito-dimensionali costituiscono l'insieme delle matrici unitarie. Nel caso possiedano tutti gli elementi reali, le matrici unitarie sono dette matrici ortogonali e sono corrispondenti agli operatori unitari su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Si definisce operatore unitario un isomorfismo ${\displaystyle U:{\mathcal {H}}_{1}\rightarrow {\mathcal {H}}_{2}}$ tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare:^[1]

${\displaystyle (\phi ,\psi )=(U\phi ,U\psi )\qquad \forall \phi ,\psi \in {\mathcal {H}}_{1}}$

In modo equivalente, un operatore unitario è un operatore tale che:

${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=1}$

dove si indica con ${\displaystyle U^{\dagger }}$ l'aggiunto dell'operatore ${\displaystyle U}$.

In particolare, la norma di un operatore unitario è unitaria:

${\displaystyle \|U\|=1}$

In spazi vettoriali a dimensione finita la suriettività è garantita dal fatto che un operatore unitario è un isomorfismo, e da essa discende l'invertibilità.

Lo spettro di un operatore unitario ${\displaystyle U}$ giace sulla circonferenza unitaria, ovvero per ogni numero ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ nello spettro si ha ${\displaystyle |\lambda |=1}$. Questo fatto può essere visto come una conseguenza del teorema spettrale per operatori normali, che stabilisce che ${\displaystyle U}$ è unitariamente equivalente alla moltiplicazione per una funzione ${\displaystyle f\in L^{2}(\mu )}$ misurabile rispetto alla sigma-algebra di uno spazio di misura finito ${\displaystyle (X,\mu )}$ con misura di Borel ${\displaystyle \mu }$. Allora, dal momento che ${\displaystyle UU^{\dagger }=I}$ implica ${\displaystyle |f(x)|^{2}=1}$ quasi ovunque rispetto a ${\displaystyle \mu }$, lo spettro essenziale di ${\displaystyle f}$, e dunque lo spettro di ${\displaystyle U}$, è contenuto nella circonferenza unitaria.

La linearità di un operatore unitario può essere derivata a partire dalla linearità del prodotto interno definito positivo:

${\displaystyle \langle \lambda \cdot Ux-U(\lambda \cdot x),\lambda \cdot Ux-U(\lambda \cdot x)\rangle }$

${\displaystyle =\|\lambda \cdot Ux\|^{2}+\|U(\lambda \cdot x)\|^{2}-\langle U(\lambda \cdot x),\lambda \cdot Ux\rangle -\langle \lambda \cdot Ux,U(\lambda \cdot x)\rangle }$

${\displaystyle =|\lambda |^{2}\cdot \|Ux\|^{2}+\|U(\lambda \cdot x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\cdot \langle U(\lambda \cdot x),Ux\rangle -\lambda \cdot \langle Ux,U(\lambda \cdot x)\rangle }$

${\displaystyle =|\lambda |^{2}\cdot \|x\|^{2}+\|\lambda \cdot x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\cdot \langle \lambda \cdot x,x\rangle -\lambda \cdot \langle x,\lambda \cdot x\rangle }$

${\displaystyle =0}$

In modo analogo si ottiene:

${\displaystyle \langle U(x+y)-(Ux+Uy),U(x+y)-(Ux+Uy)\rangle =0}$

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
• (EN) Serge Lang, Differential manifolds, Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont., Addison-Wesley Publishing Co., Inc., 1972.
• (EN) Paul Halmos, A Hilbert space problem book, Springer, 1982.

• Isomorfismo
• Matrice invertibile
• Matrice trasposta coniugata
• Operatore aggiunto
• Operatore autoaggiunto

• (EN) Eric W. Weisstein, Operatore unitario, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) V.I. Sobolev, Unitary operator, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) V.I. Sobolev, Unitarily-equivalent operators, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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