Unita operatoro

En funkcionala analitiko, unita operatoro estas barita lineara operatoro U sur hilberta spaco tia ke

U^*U = UU^* = I

kie U^* estas la hermita adjunkto de U, kaj I estas la identa operatoro. Ĉi tiu propraĵo estas ekvivalento al ĉiu el jenaj kondiĉoj:

• U estas surĵeta izometrio

• U estas surĵeta kaj konservas la enan produton <  ,  > sur la Hilberta spaco, tiel ke por ĉiuj vektoroj x kaj y en la hilberta spaco,

<Ux, Uy> = <x, y>

Unitaj operatoroj prezentas izomorfiojn inter operatoraj algebroj.

• La identa funkcio estas bagatele unita operatoro.
• Sur la aro C de kompleksaj nombroj, multipliko per nombro de absoluta valoro 1, tio estas, nombro de la formo e^iθ por reela θ, estas unita operatoro.
• Unita matrico estas unuargumenta operatoro sur iu finidimensia hilberta spaco Cⁿ, tiel la nocio de unita operatoro estas ĝeneraligo de la nocio de unuargumenta matrico al malfinidimensiaj spacoj. Perpendikularaj matricoj estas la speciala okazo de unita matricoj en kiu ĉiuj elementoj estas reelaj. Perpendikularaj matricoj estas la unuargumentaj operatoroj sur Rⁿ.
• La ambaŭflanka ŝovo sur la vica spaco ${\displaystyle \ell ^{2}}$ indeksita per la entjeroj estas unita. Ĝenerale, ĉiuoperatoro en hilberta spaco kiu agas kiel miksanta ĉirkaŭ ortnormala bazo estas unita.
• Konverto de Fourier kun pozitiva normaligo estas unita operatoro. Ĉi tiu sekvas de teoremo de Parseval.

• La spektro de unuargumenta operatoro kuŝas sur la unuobla cirklo. Tio estas, por ĉiu kompleksa nombro λ en la spektro, veras |λ|=1. Ĉi tio estas simpla konsekvenco de tio ke unuitaj operatoroj estas izometrioj.

La postulo de lineareco en la difino de unita operatoro povas esti forigita, car ĝi sekvas el la propraĵoj de la ena produto:

${\displaystyle \langle \lambda \cdot Ux-U(\lambda \cdot x),\lambda \cdot Ux-U(\lambda \cdot x)\rangle }$

${\displaystyle =\|\lambda \cdot Ux\|^{2}+\|U(\lambda \cdot x)\|^{2}-\langle U(\lambda \cdot x),\lambda \cdot Ux\rangle -\langle \lambda \cdot Ux,U(\lambda \cdot x)\rangle }$

${\displaystyle =|\lambda |^{2}\cdot \|Ux\|^{2}+\|U(\lambda \cdot x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\cdot \langle U(\lambda \cdot x),Ux\rangle -\lambda \cdot \langle Ux,U(\lambda \cdot x)\rangle }$

${\displaystyle =|\lambda |^{2}\cdot \|x\|^{2}+\|\lambda \cdot x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\cdot \langle \lambda \cdot x,x\rangle -\lambda \cdot \langle x,\lambda \cdot x\rangle }$

${\displaystyle =0}$

Analoge

${\displaystyle \langle U(x+y)-(Ux+Uy),U(x+y)-(Ux+Uy)\rangle =0}$

• Antiunita operatoro - tia ke

  ${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}=\langle y,x\rangle }$

• Unita matrico
• Perpendikulara matrico