Biforcazione a forcone

In matematica una biforcazione a forcone (o biforcazione pitchfork) è una biforcazione locale con la particolarità di essere simmetrica. Tale simmetria è dovuta al fatto che le equazioni differenziali ordinali che rappresentano le biforcazioni sono funzioni dispari, ovvero –${\displaystyle f(-x)=f(x)}$

Vi sono due tipi di biforcazioni a forcone, molto diverse tra loro: la supercritica e la subcritica.

La forma normale della biforcazione a forcone supercritica è:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=rx-x^{3}}$

Studiando il campo vettoriale al variare di ${\displaystyle r}$ si vede:

• quando il parametro è negativo si ha un solo punto di equilibrio stabile in ${\displaystyle x=0}$.
• Superato il valore critico ${\displaystyle r=0}$ (in cui vi è sempre il punto di equilibrio ${\displaystyle x=0}$ il quale ha però stabilità molto debole) nascono due nuovi punti equilibrio stabili in corrispondenza dei punti ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {r}}}$, mentre il punto ${\displaystyle x=0}$ diventa instabile.

Dal diagramma di biforcazione si evince che ${\displaystyle x=0}$ è stabile per tutti gli ${\displaystyle r}$ negativi, mentre diventa instabile appena ${\displaystyle r}$ diventa positivo. Inoltre per ${\displaystyle r>0}$ nascono due nuovi rami che seguono rispettivamente le leggi ${\displaystyle {\sqrt {r}}}$ e ${\displaystyle -{\sqrt {r}}}$ che donano al diagramma la classica forma di tridente o forcone, da cui il nome.

La forma normale della biforcazione a forcone subcritica è:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=rx+x^{3}}$

Lo studio del campo vettoriale mostra che:

• Per ${\displaystyle r<0}$ vi sono 3 punti di equilibrio: uno stabile ad ${\displaystyle x=0}$ e due instabili a ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {r}}}$.
• Nel valore critico di ${\displaystyle r=0}$ i 3 punti di equilibrio collidono in un unico punto instabile ${\displaystyle x=0}$.
• Per ${\displaystyle r>0}$ vi è come unico punto di equilibrio ${\displaystyle x=0}$, instabile.

Il diagramma di biforcazione ottenuto è simmetrico a quello della supercritica, con però stavolta i due rami iperbolici instabili. Il ramo ${\displaystyle x=0}$ invece resta stabile fino al valore ${\displaystyle r=0}$ per poi proseguire instabile.

In presenza di una biforcazione a forcone subcritica, per ogni ${\displaystyle r>0}$ si ha un esplosione della popolazione a ${\displaystyle +\infty }$ o a ${\displaystyle -\infty }$ a seconda delle condizioni iniziali e, nel caso questa sia ${\displaystyle x=0}$, delle perturbazioni.

Poiché biologicamente non ha senso considerare popolazioni infinite, per ovviare all'imperfezione del modello si aggiunge un termine di grado superiore. Per semplicità si sceglie il termine con arturino più basso. Questo è di quinto grado, e non di quarto, al fine di conservare la simmetria caratteristica delle biforcazioni di tipo a forcone. In tal caso la forma normale sarà dunque:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=rx+x^{3}-x^{5}}$.

Mentre localmente il diagramma di biforcazione è uguale a quello della subcritica a forcone classica, all'aumentare di ${\displaystyle x}$ si assiste ad una deviazione dei rami simmetrici ad ${\displaystyle x=0}$ che, inoltre, diventano stabili. Tale deviazione avviene, nella forma normale, nel valore critico di ${\displaystyle r_{c}=-{\frac {1}{4}}}$. Per tale valore si ha, in ognuno dei due rami, una biforcazione locale del tipo nodo sella.

Sempre dal diagramma di biforcazione, inoltre, è possibile vedere un esempio di isteresi. Infatti, facendo crescere il valore di ${\displaystyle r}$ si nota che:

• per ${\displaystyle r<r_{c}}$ la popolazione resta in equilibrio sul ramo ${\displaystyle x=0}$;
• per ${\displaystyle r_{c}<r<0}$ la popolazione rimane prossima ad ${\displaystyle x=0}$, poiché pur essendoci altri due nuovi rami stabili, il sistema non si accorge di esse, a meno di grandi perturbazioni;
• ad ${\displaystyle r=0}$ la popolazione salta ad uno dei rami stabili.

Facendo in seguito decrescere il valore di ${\displaystyle r}$ osserviamo che:

• per ${\displaystyle r>0}$ la popolazione resta in equilibrio nel ramo stabile;
• per ${\displaystyle r_{c}<r<0}$, pur essendoci un nuovo ramo stabile ad ${\displaystyle x=0}$, il sistema resta presso il ramo esterno, a meno di grandi perturbazioni;
• per ${\displaystyle r=r_{c}}$ si ha la scomparsa dei due rami stabili esterni ed il sistema salta al valore di popolazione ${\displaystyle x=0}$.

Data un'equazione differenziale

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,r)}$

con ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$, tale che:

${\displaystyle \,f(-x,r)=-f(x,r)}$

ovvero ${\displaystyle f}$ sia una funzione dispari, e

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(0,r_{o})=0,&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(0,r_{o})=0,&\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{o})\neq 0,\\[15pt]\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial r}}(0,r_{o})=0,&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial r\partial x}}(0,r_{o})\neq 0.\end{array}}}$

ovvero ${\displaystyle f}$ sia approssimabile secondo Taylor a meno del terzo ordine per ${\displaystyle x}$ e del secondo ordine per ${\displaystyle r}$ nel punto ${\displaystyle \left(0,r_{0}\right)}$ (Nelle forme normali si considera ${\displaystyle r_{0}=0}$).

Sotto tali ipotesi si dice che la funzione ammette una biforcazione a forcone nel punto ${\displaystyle \left(0,r_{0}\right)}$, la quale è del tipo

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\mathrm {supercritica} &\quad \mathrm {se} \quad {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{o})<0,\\\mathrm {subcritica} &\quad \mathrm {se} \quad {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{o})>0,\end{matrix}}\right.\,\,}$

• Strogatz S.H. (1994), Nonlinear Dynamics and Chaos (Perseus Books, Cambridge)

• Biforcazione a nodo sella
• Biforcazione transcritica
• Biforcazione imperfetta
• Diagramma di biforcazione
• Teoria delle biforcazioni

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